§3.2可测集合 由定理3.1.1的4)可知:外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是:外测度对一些集合而言无法满足可加性,即人们可构造这样一族互不相 交的集合S(1,2…,满足mUs1对任意AcE,BCE有m(AUB)=mA+mB 证明“=〉”因为E可测,所以对任意AcE,B∈E令T=AUB,则 TnE=A,T∩CE=B,故mT=m(T∩E)+m(T∩CE),即 m(AUB)=m A+m B “CE可测。 证明因为C(CE)=E,于是 E可测mT=m[T∩E]+m[T∩(CE)]
§３.２ 可测集合 由定理３.１.１的 4)可知：外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是：外测度对一些集合而言无法满足可加性，即人们可构造这样一族互不相 交的集合 S i (i=1,2,...,N)满足 m* [U N n=1 S n ]＜∑= N n 1 m* S n ，于是我们只有退而求 其次，探索可以限制在什么范围内满足可加性。 定义３.２.１ 若对任意T有m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，则称 E 为 Lebesgue 可测集。简称 E 可测。并称 m* E 为 E 的测度，简记为 mE。 直观地讲：可测集 E 是具有良好分割性能的集合，它将任意一个集合分成两 部分，一部分在 E 内即 T∩E，另一部分在 E 外即 T∩E c ，两部分外测度之和恒等 于总体 T 的外测度。显然，这是为了满足测度可加性而作出的重要限制。 定理３.２.１ E 可测对任意 A⊂ E，B⊂ E c 有 m* (A∪B)＝m* A＋m* B 证明 “＝>”因为 E 可测，所以对任意 A⊂ E，B⊂ E c 令 T＝A∪B，则 T∩E＝A，T∩CE＝B，故 m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，即 m* (A∪B)＝m* A＋m* B “CE 可测。 证明 因为 C(CE)＝E，于是 E 可测m* T＝m* [T∩E]＋m* [T∩(CE)]
m T=m [TnC(CE)]+m [Tn(CE)] m'T=m'[T∩(CE)]+m'[T∩C(CE)] =>CE可测。证毕 定理3.2.3设S、S2均可测,则S∪S2也可测。如果S∩S2=φ,则 m[Tn(SuUS2)]=m(T∩Su)+m(T∩S2),特别地m(SIUS2)=mS+mS2 证明如图3.2.1所示,对任意的集合T, 令A=T∩[S-S2],B=T∩[S2∩Sn] (图3 C=Tn[S2-SI, D=T-SI-S2, I T=m[ AUBUCUD]=m[A∪B]+m[CUD](因为S可测) m[AUB]+mC+mD(因为S2可测)
m* T＝m* [T∩C(CE)]＋m* [T∩(CE)] m* T＝m* [T∩(CE)]＋m* [T∩C(CE)] CE 可测。 证毕 定理３.２.３ 设 S1、S 2 均可测，则 S1∪S 2 也可测。如果 S1∩S 2 ＝φ，则 m* [T∩(S1∪S 2 )]＝m* (T∩S1 )＋m* (T∩S 2 )，特别地 m(S1∪S 2 )＝mS1＋mS 2 。 证明 如图３.２.１所示，对任意的集合 T， 令 A＝T∩[S1 -S 2 ]，B＝T∩[S 2 ∩S1 ]， (图３.２.１) C＝T∩[S 2 -S1 ]，D＝T－S1 -S 2 ，则 m* T＝m* [A∪B∪C∪D]＝m* [A∪B]＋m* [C∪D] (因为 S1可测) ＝m* [A∪B]＋m* C＋m* D (因为 S 2 可测)
m[ AUBUC]+mD(因为S可测) =m Tn [S! US21)+m TOC[! US2 J1 故S∪S2可测。如果S∩S2=φ,则T∩stss1,T∩S2sCS1,由S可测 知:m[T∩(SUS2)]=m(T∩Su)+m(T∩S2) 令T=R",则m(SUS2)=mS1+m 推论3.2.1设S(i=1,2,…,m)均可测,则S也可测。如果 S∩SJ=中(i,j=1,2,,n;i≠j),则 mn(s)]=∑mTns)。 正是此定理及其推论说明了:可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理3.2.4若S1,S2均为可测集,则交集SI∩S2也是可测集 证明只须证[S∩S2]是可测集,而[S∩s2]=S1US2,由定理3 2.2知:S和S2“均为可测集,由定理3.1.3知:S∪S2可测。证毕 推论3.2.2若S(i=1,2,…,m)均为可测集,则交集∩S也是可测集 推论3.2.3若S1,S2均为可测集,则差集S1-S2也是可测集;如果 S彐S2,且mS2<+∞,则m*[T∩(S1-S2)]=m*(T∩S1)-m*(T∩S2)
＝m* [A∪B∪C] ＋m* D (因为 S1可测) ＝m* {T∩[S1∪S 2 ]}+ m* {T∩C[S1∪S 2 ]} 故 S1∪S 2 可测。如果 S1∩S 2 ＝φ，则 T∩S1 ⊆ S1，T∩S 2 ⊆ CS1，由 S1可测 知： m* [T∩(S1∪S 2 )]＝m* (T∩S1 )＋m* (T∩S 2 ) 令 T＝R n ，则 m(S1∪S 2 )＝mS1＋mS 2 推论３.２.１ 设 S i (i=1,2,...,n)均可测，则U n i=1 S i 也可测。如果 S i ∩S j ＝φ(i，j＝1,2,...,n；i≠j)，则 m* [T∩(U n i=1 S i )]＝∑= n i 1 m* (T∩S i )。 正是此定理及其推论说明了：可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理３.２.４ 若 S1，S 2 均为可测集，则交集 S1∩S 2 也是可测集。 证明 只须证[S1∩S 2 ] c 是可测集，而[S1∩S 2 ] c ＝ S1 c ∪S 2 c ，由定理３. ２.２知：S1 c 和 S 2 c 均为可测集，由定理３.１.３知：S1 c ∪S 2 c 可测。证毕 推论３.２.２ 若 S i (i=1,2,..,n)均为可测集，则交集I n j=1 Sj也是可测集。 推论３.２.３ 若 S1，S 2 均为可测集，则差集 S1 -S 2 也是可测集；如果 S1 ⊇S 2 ，且 mS 2 ＜＋∞，则 m*[T∩(S1 -S 2 )]＝m*(T∩S1 )-m*(T∩S 2 )
证明因为S-S2=S∩CS2,由定理3.2.2和定理3.2.4得S-S2可 测,且m'[T∩S门]=m'[T∩(s-S2)]+m'[T∩s2],移项即得 m[Tn(S-S2)]=m(T∩su)-m(T∩S2),证毕 注3.2.1其条件mS2<+∞在于保证m[T∩S2]<+∞,从而确保移项 可实施。 定理3.2.5(可列可加性)若S1,S2,,S〃,..是一列可测集,则 S=∪丿Sn也是可测集,若S,S2,…,Sn,…是一列互不相交的可测集,则 对任意的T有 US]=∑m(Tnsn 特别地 证明1)假定S,S2,,Sn,.互不相交,要证S可测,只须证对 任意的T有 mT≥mnUs:]+mnUs:1 因为对任意有限数n有mT=moUs:+ m ITn[U S: ∑m[ns]+ m ITA[U Sa]
证明 因为 S1 -S 2 ＝S1∩CS 2 ，由定理３.２.２和定理３.２.４得 S1 -S 2 可 测， 且 m* [T∩S1 ]＝m* [T∩(S1 -S 2 )]＋m* [T∩S 2 ]，移项即得 m* [T∩(S1 -S 2 )]＝m* (T∩S1 )-m* (T∩S 2 )，证毕。 注３.２.１ 其条件 mS 2 ＜＋∞在于保证 m* [T∩S 2 ]＜＋∞，从而确保移项 可实施。 定理３.２.５ (可列可加性)若 S1，S 2 ，...，S n ，...是一列可测集，则 S＝U ∞ n=1 S n 也是可测集，若 S1，S 2 ，...，S n ，...是一列互不相交的可测集， 则 对任意的 T 有 m* [T∩U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 m* (T∩S n ) 特别地 m[U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 mS n 证明 1)假定 S1， S 2 ，...，S n ，...互不相交，要证 S 可测，只须证对 任意的 T 有 m* T≥m* [T∩U ∞ i=1 S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c } 因为对任意有限数n有m* T＝m* [T∩U n i=1 S i ]＋m* {T∩[U n i=1 S i ] c } ≥∑= n i 1 m* [T∩S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c }
令n→∞得mT≥∑mns+mTn[Us: 由次可加性得mT≥m'TnUs]+mTn[Usn},即s=Us可测 Us]≥m[TnUs 令 得mnUS≥∑m(Tns 结合次可加性得 m [TnU S]=∑mTns), 特别地令T=S时得mUsn]=∑m 2)若S1,S2, 可能相交时,考虑 S=∪s"=∪s-sn1-.S],而[SSn1-…S门]互不相交, 由1)知S可测。证毕 注3.2.2由本定理可以看出,区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立,否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为0”的荒谬结果。 事实上,如果对任意多个集合而言都具有可加性,则对任意集合E有: {x}可测,且m=m{x}=0 r∈E 定理3.2.6若E,E2,.,E",是一列可测集,则交集
令 n→∞得 m* T≥∑ ∞ i=1 m* [T∩S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c } 由次可加性得 m* T≥m* [T∩U ∞ i=1 S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c }，即 s＝U ∞ i=1 S i 可测， m*[T∩U ∞ n=1 S n ]≥m* [T∩U m n=1 S n ]＝∑= m n 1 m* (T∩S n )， 令 m→∞，得 m*[T∩U ∞ n=1 S n ]≥∑ ∞ n=1 m* (T∩S n )， 结合次可加性得 m* [T∩U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 m* (T∩S n )， 特别地令 T＝S 时得 m[U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 mS n 2)若 S1，S 2 ，...，S n ，...可能相交时，考虑 S＝U ∞ n=1 S n ＝U ∞ n=1 [S n -S n−1 -...-S1 ]，而[S n -S n−1 -...-S1 ]互不相交， 由 1)知 S 可测。证毕 注３.２.２ 由本定理可以看出， 区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立，否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为 0”的荒谬结果。 事实上，如果对任意多个集合而言都具有可加性，则对任意集合 E 有: E＝ U x∈E {x｝可测，且 mE＝∑x∈E m｛x｝＝0。 定理３.２.６ 若 E1，E 2 ，...，E n ，...是一列可测集，则交集
是可测集 证明与定理3.2.4证明理由相同。 定理3.2.7(外极限定理)设{En}是一列可测集,且ELSE2S., 令E=U En= lim en,则对任意T有 m(T∩E)=limm(T∩En) 证明令Sn=EnEm-1(这里E0=φ),则Sn可测且互不相交,由定理3.1 得mnU(sn)]=∑m*(T∩S T∩(E一E)] limⅢ 显然∪S=∪E=E,即m(T∩B=imm'(TnE),证毕 定理3.2.8(内极限定理)设{En}是一列可测集,且EE2彐 令 E=∩En=imE”,则对任意mT<+∞有m(TnE)=limm(T∩En
E＝I ∞ n=1 E n 是可测集. 证明 与定理３.２.４证明理由相同。 定理３.２.７ (外极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且 E1 ⊆ E 2 ⊆ ...， ⊆ E n ⊆，...令 E＝U ∞ n=1 E n ＝n→∞ lim E n ， 则对任意 T 有 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n ) 证明 令 S n ＝E n -E n−1 (这里 E 0＝ф)，则 S n 可测且互不相交，由定理３.１. ５得 m* [T∩U ∞ n=1 (S n )]＝∑ ∞ n=1 m*(T∩S n ) ＝ ∑= →∞ n i n 1 lim m * [T∩(E i －E i−1 )] ＝n→∞ lim m* U n i=1 [T∩(E i －E i−1 )] ＝n→∞ lim m* (T∩E n )， 显然 U ∞ n=1 S n ＝U ∞ n=1 E n ＝E，即 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n )， 证毕 定理３.２.８ (内极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且 E1 ⊇E 2 ⊇...， ⊇E n ⊇，... 令 E＝I ∞ n=1 E n ＝n→∞ lim E n ， 则对任意 m* T＜＋∞有 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n )
证明因E=E2三,,En,..所以E一ESEI-E2S E 则由外极限定理得mTnE-E]=limm'[T∩(E1-En)],即 m(T∩E)-m(T∩E)=m(T∩E)-limm(T∩En),故m(T∩E)= limm(T∩En),证毕 注3.2.3条件mT<+∞在于保证m(T∩En)<+∞(其实只须将条件 削弱为彐m'(T∩E")<+∞就足以保证结论成立),从而可用推论3 故此条件不能随意去掉,见反例如下 例3.2.1En=[n,+∞],T=(-∞,+∞),m(T∩En)=+∞,但 E=中,故m'(T∩E)=0≠limm(∩En)=+ 定理3.2.9若mE=0,则E可测。 证明对任意T,mT≤m(T∩E)+m(T∩CE)=0+m(T∩CE)≤mT 故mT=m(T∩E)+m(T∩CE),即E可测。证毕 推论3.2.4一切可数集皆可测,且测度为0。 证明E={x1,x2,。..,xn,,.},由外测度定义知:对任意n m{xn}=0,所以单元素集{xn}可测,由可列可加性知:E可测,且测度为0。 证毕 定理3.2.10区间I为可测集,且mI=|Il
证明 因 E1 ⊇E 2 ⊇，...，⊇ E n ⊇，...所以 E1－E1 ⊆ E1－E 2 ⊆，...，⊆ E1 －E n ，... 则由外极限定理得 m* [T∩(E1－E)]＝n→∞ lim m* [T∩(E1－E n )]，即 m* (T∩E1 )－m* (T∩E)＝m* (T∩E1 )－n→∞ lim m* (T∩E n )，故 m* (T∩E)＝ n→∞ lim m* (T∩E n )， 证毕 注３.２. ３ 条件 m* T＜＋∞在于保证 m* (T∩E n )＜＋∞(其实只须将条件 削弱为 ∃ m* (T∩E 0 n )＜＋∞就足以保证结论成立)，从而可用推论３.１. ３， 故此条件不能随意去掉，见反例如下： 例３.２.１ E n ＝[n,+∞]，T＝(-∞,+∞)，m* (T∩E n )＝＋∞，但 E＝ф，故 m* (T∩E)＝0≠n→∞ lim m* (T∩E n )＝＋∞。 定理３.２.９ 若 m* E＝0，则 E 可测。 证明 对任意 T ，m* T≤m* (T∩E)＋m* (T∩CE)＝0＋m* (T∩CE)≤m* T 故 m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，即 E 可测。 证毕 推论３.２.４ 一切可数集皆可测，且测度为 0。 证明 E＝{x1 ,x 2 ,。..,x n ,...}，由外测度定义知：对任意 n m* {x n }＝0，所以单元素集{x n }可测，由可列可加性知：E 可测，且测度为 0。 证毕 定理３.２.１０ 区间 I 为可测集，且 mI＝|I|
证明对任意=1>0存在Inc1,满足叫|>1-1,且 IIsI2s.,sInS...,d(I",CI)>0,任意T, mT≥m[(T∩In)U(T∩CI]=m(T∩In)+m(T∩CI 又因为m(T∩D≤m(T∩In)+m[Tn(I-In)] m(T∩I)-m(T∩In)≤m[T∩(I-In)]≤|(1-1n)|→0 所以m(T∩Im)→m’(T∩I)(n→+∞) 故mT≥m(T∩I)+m(T∩CI 即I为可测集。证毕 推论3.2.5一切开集、闭集均为可测集;且当G为开集时,mG=|G|。 例3.2.1求 Cantor G°,P0集的测度。 解mG°=|G0|=1,mP0=m[0,1]-mGo=1-1=0 此例说明:除了可数集一定测度为0以外,C势集也有可能测度为0
证明 对任意 ε＝ n 1 ＞0 存在 I n ⊂ I，满足|I n |＞|I|- n 1 ，且 I1 ⊆ I 2 ⊆ ...，⊆ I n ⊆．．．,d(I n ,CI)＞0， 任意 T， m* T≥m* [(T∩I n )∪(T∩CI)]＝m* (T∩I n )＋m* (T∩CI) 又因为 m* (T∩I)≤m* (T∩I n )＋m* [T∩（I-I n ）]， m* (T∩I)－m* (T∩I n ) ≤m* [T∩（I-I n ）] ≤|（I-I n ）｜→０ 所以 m* (T∩I n )→m* (T∩I) （n→＋∞） 故 m* T≥m* (T∩I)＋m* (T∩CI) 即 I 为可测集。证毕 推论３.２.５ 一切开集、闭集均为可测集；且当 G 为开集时，mG＝|G|。 例３.２.１ 求 Cantor G 0，P 0集的测度。 解 mG 0＝|G 0 |＝1，mP 0＝m[0,1]－mG 0＝1－1＝0。 此例说明：除了可数集一定测度为 0 以外，C 势集也有可能测度为 0