实验数据处理方法 第二部分: Monte carlo模拟 第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
实验数据处理方法 第二部分：Monte Carlo模拟 第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
第八章从率分布函数的抽糕 (Sampling from Probability Distribution functions Monte carlo算法的一个重要组成部分: 描述所要模拟的物理系统的一些概率密度函数(PDF) 描述整个系统在空间、能量、时间或多维相空间中的 发展和演化; Monte carlo模拟的主要任务: ·通过对这些概率密度函数的随机抽样来模拟物理系统的状 态 为描述系统的演化所必需的一些附加运算 物理过程的描述→从描述物理系统的pd出发,随机抽取系统的 可能状态
第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) • Monte Carlo算法的一个重要组成部分： 描述所要模拟的物理系统的一些概率密度函数（PDF) ➔描述整个系统在空间、能量、时间或多维相空间中的 发展和演化； • Monte Carlo模拟的主要任务: • 通过对这些概率密度函数的随机抽样来模拟物理系统的状 态; • 为描述系统的演化所必需的一些附加运算. • 物理过程的描述➔从描述物理系统的pdf出发，随机抽取系统的 可能状态
第八章从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 本章介绍从一个任意的pd获取样本的抽样方法。 1.直接抽样法(反函数法) 2.变换抽样法→直接抽样法的一般式 3.舍选抽样法 4.复合分布的抽样方法 5.混合抽样法 6.近似抽样法(列表法) 7.多维分布的抽样
第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) • 本章介绍从一个任意的pdf获取样本的抽样方法。 1. 直接抽样法（反函数法） 2. 变换抽样法➔直接抽样法的一般形式 3. 舍选抽样法 4. 复合分布的抽样方法 5. 混合抽样法 6. 近似抽样法（列表法) 7. 多维分布的抽样
第八章 从概率分布函数的油样 (Samplingfrom Probability Distribution Functions) 8.1 1等价的连续概率密度函数
第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 8.1 等价的连续概率密度函数
8.1等价的连续率密度函数 随机变量:连续型、分离型 概率密度函数:连续分布、分离分布 Table 1: Important properties of continuous and discrete pdfs. Property Continuous: f(a) Discrete: P: Positivity f(a)≥0,alx Pi>0, all i Normalization -oo f(=,da=1 Interpretation f(adr Pi=prob(i) prob(x≤x'≤x+dz) prob(=;=zi Mean z=coo f(s)dx Va e02=0oo(x-i)f(a)dr 02=2i( a;-ipi 利用δ函数,可将分离型的pdf用连续型的pd描述 少用同样的方式来讨论分离型和连续型随机变量的抽样方法
8.1 等价的连续概率密度函数 • 随机变量：连续型、分离型 • 概率密度函数：连续分布、分离分布 • 利用函数，可将分离型的pdf用连续型的pdf 描述 ➔ 用同样的方式来讨论分离型和连续型随机变量的抽样方法
81等价的连续率密度函数 已知分离型pdf:{P}→分离型随机变量X的取值为x的概率 定义一个等价的连续型pdf: f(x)=∑P(x-x,) x-xi f(xo(x-xidx=f(x 利用与连续型随机变量相同的方式计算分离型随机变量的期望值 和方差: E(X)=x(x)x=x∑p(x-x) ∑x2a(x-x)=∑xP (X)=(x=E(X)(x)k=x=E(X)|∑P(x-x) ∑」(x-E(X)p,(x-x,)d=∑[x,-E(X)p
8.1 等价的连续概率密度函数 = = − N i i i f x p x x 1 ( ) ( ) = = − − = − = − = = = − N i i i N i i i N i i i x p x x dx x p E X x f x dx x p x x dx 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − = − = − − = − = − = − − N i i i N i i i N i i i x E X p x x dx x E X p V X x E X f x dx x E X p x x dx 1 2 1 2 1 2 2 ( ( )) ( ) [ ( )] ( ) ( ( )) ( ) [ ( )] ( ) • 已知分离型pdf: {Pi } ➔ 分离型随机变量X的取值为xi的概率 • 定义一个等价的连续型pdf: − − − = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i i i f x x x dx f x x x dx • 利用与连续型随机变量相同的方式计算分离型随机变量的期望值 和方差：
第八章 从樱率分布函数的油样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 82pd的变换
第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 8.2 pdf的变换
82pdf的变 x:连续型的随机变量,PDF:fx) y=y(x):x的函数也是随机变量求y(x)的概率密度函数g(x) 1、若随机变量和是一一对应的: x,x+axl→Ⅳy+dy X的取值在[x,x+d的概率=Y的取值 在[,y+小的概率: 八()A=80)小今8y)=1空 取绝对值是为了保证g(y)是非负的 g(y)dy=probability that y in dy 2、若随机变量和不是一一对应的 即有n个区间x,x+dx]→Uy+d f(x)dx probability that x 需要对这n个区间求和 is in dx g(y)=∑f(x)
8.2 pdf的变换 x: 连续型的随机变量, PDF: f(x) y = y(x)：x的函数, 也是随机变量. 求y(x)的概率密度函数g(x) 1、若随机变量x和y是一一对应的: 2、若随机变量x和y不是一一对应的: [x, x+dx]→[y, y+dy] X的取值在[x, x+dx]的概率==Y的取值 在[y, y+dy]的概率： dy dx g( y) = f (x) 取绝对值是为了保证g(y)是非负的 f(x)dx=g(y)dy ➔ 即有n个区间[x,x+dx]→[y,y+dy] = dy dx g( y) f (x) 需要对这n个区间求和
82pd的变 3、推广到n个随机变量的情况: 8(y)=f(x)川 x=(x12x2…xn n)→>y=(y1,y2,…yn) y1=y(x),i=1,2,…,n ay a(xi, x Jacobian行列式 ay 4、特例:如果y(x)是x的累积分布函数(cdf) y=y(x)=F(x)=f(x')dx ∴g(y)=1,0≤y≤1 F(x f(x) 即:在0,1区间上均匀分布→不管x)取何种形式累积分布 函数总是在0,区间上均匀分布
8.2 pdf的变换 3、推广到n个随机变量的情况: Jacobian行列式➔ y y x i n x x x x y y y y i i n n ( ), 1,2, , ( , , ) ( , , ) 1 2 1 2 = = = → = n n n n n y x y x y x y x y x y x n n y y y x x x J g y f x J = = = 1 2 1 2 1 1 1 , , ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4、特例：如果y(x)是x的累积分布函数(cdf) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) F x f x dx dy dy dx y y x F x f x dx x = = = = = = − g(y) =1, 0 y 1 即：y在[0,1]区间上均匀分布 ➔ 不管f(x)取何种形式, 累积分布 函数总是在[0,1]区间上均匀分布
第八章 从樱率分布函数的油样 (Samplingfrom Probability Distribution Functions) 83直接抽样法(反函数法) Sampling via Inversion of the edf
第八章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 8.3 直接抽样法（反函数法） （Sampling via Inversion of the cdf）