实验数据处理方法 第一部分:概率论基础 第三章 概率分布的基本性质 本章内容 随机变量的概率分布函数的基本性质:平均值、方差、协方 差矩阵、炬
实验数据处理方法 第一部分：概率论基础 第三章 概率分布的基本性质 • 本章内容： 随机变量的概率分布函数的基本性质：平均值、方差、协方 差矩阵、炬、…
第三章 概率分布的基本性质 3.概率密度函数 Probability Density Function)
第三章 概率分布的基本性质 3.1 概率密度函数 （Probability Density Function)
3.1概率密度函数 I Probability Density Function) 定义: X:连续型随机变量; c2:样本空间(X的值域) X的值落入区间[x,x+x的概率: p(x≤X≤x+ax)=f(x)dhx 其中:∫x)被称为随机变量X的概率密度函数(pdf),表示单位长度 下的概率。 归一化条件( normalization condition) f(x)dx=1表示:在样本空间内,随机变量X总会取某一值 性质: 1.对所有的值,f(x)≥0 2.f(x)是单值函数 3.fx)是非奇异的
3.1 概率密度函数 （Probability Density Function) p(x X x + dx) = f (x)dx f (x)dx =1 f (x) 0 定义： X：连续型随机变量； ：样本空间（X的值域） X的值落入区间[x,x+dx]的概率： 其中：f(x)被称为随机变量X的概率密度函数（p.d.f），表示单位长度 下的概率。 归一化条件（normalization condition）： 表示：在样本空间内，随机变量X总会取某一值 性质： 1. 对所有的x值, 2. f(x)是单值函数 3. f(x)是非奇异的
第三章 概率分布的基本性质 32累积分布函数 Cumulative distribution function)
第三章 概率分布的基本性质 3.2 累积分布函数 （Cumulative distribution function)
32累积分布函数 I Cumulative distribution function). 简称分布函数 定义: F(x)= f(r)dx f 其中:xmi是随机变量X的取值下限 意义 表示随机变量X的取值小于某一值的概率,即 F(x)=p(X≤x)2 ≤x≤ 离散型随机变量可以定义累积分布函数 性质: 1、0≤F(x)≤1 ≤x≤ max 2, F(rmin=0, F(rmmr=1 X max 3、若xxx2则F(x1)<F(x2即F(x)是单调升函数 P(x sxsx2)=F(x2)-F(x) 5、F(x,)-F(x)=imp(x)'=0,即取特定值的几率为0 n→)∞·x
3.2 累积分布函数 （Cumulative distribution function) = x x F x f x dx min ( ) ( ') ' min max F(x) = p(X x), x x x min max 0 F(x) 1, x x x ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 p x x x = F x −F x x f(x) F(x) 1 xmin xmax 简称分布函数 定义： 其中：xmin是随机变量X的取值下限 意义： 表示随机变量X的取值小于某一值x的概率，即 性质： 1、 2、F(xmin)=0, F(xmax) = 1 3、若x1<x2 , 则F(x1 )<F(x2 ),即F(x)是单调升函数 4、 离散型随机变量可以定义累积分布函数 1 1 ( ) ( ) lim ( ) 0 x n n x n F x F x p x dx + + − → − − = = 5、 ，即x取特定值的几率为0
32累积分布函数 I Cumulative distribution function). F(x) 1/360 一个均匀分布的例子 时钟角度X的pdf-fx)(a)和分布函数F(x)(b) 随机变量X的取值x在区间xl的概率是概 率密度函数/x)曲线下相应区间的面积
3.2 累积分布函数 （Cumulative distribution function) 1 一个均匀分布的例子 时钟角度X的p.d.f.—f(x)（a）和分布函数F(x)（b） 0 360° 1/360 f(x) x (a) 0 360° F(x) x (b) f(x) x xmin x0 x1 x2 xmax 随机变量X的取值x在区间[x1 ,x2 ]的概率是概 率密度函数f(x)曲线下相应区间的面积
第三章 概率分布的基本性质 33概率密度函数的性质 (Properties of the Probability)
第三章 概率分布的基本性质 3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the Probability)
3.3概率密度函数的性质 Properties of the probability) f(x)包含了随机变量X的所有信息,其性质确定了X的分布 最可几值(mode):使(x)取极大的x值,x 中位值( median):F( x)=1/2 平均值(mean):x=[Xf(x) Mode(极大值) Median(中位值) 统计物理中,麦克斯韦速度分布律给出: Mean(平均值) 2 v:卩=1 1:1.128
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) f(x)包含了随机变量X的所有信息，其性质确定了X的分布 最可几值(mode)：使f(x)取极大的x值，xp 中位值 (median)：F(xmedian)=1/2 平均值(mean)： Mode（极大值） Median(中位值） Mean(平均值） x f(x) x xf x dx ( ) 统计物理中，麦克斯韦速度分布律给出： 2 v v p : 1: 1:1.128 = =
3.3概率密度函数的性质 Properties of the probability) 、函数的期望值( Expectation) 定义 x):随机变量X的概率密度函数 g(x):随机变量X的函数 g(x)的期望值(对gx)的加权平均值) E[g(x)=g(x)f(x)dr EIg(x)是一个常数,与无关,是函数g(x)的平均值或中值的一个量度 八x)对应于量子力学或统计物理中的态密度(如麦克斯韦分布、玻色 爱因斯坦分布、费米-狄拉克分布) gx)可以理解为一个物理量算符 1=|f(x)dx=x EIg(x)]=n o(x)f(r dc=L<(x)l8(x)I
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 一、函数的期望值（Expectation) 定义： f(x)：随机变量X的概率密度函数 g(x)：随机变量X的函数 g(x)的期望值（对g(x)的加权平均值）： E[g(x)] g(x) f (x)dx E[g(x)]是一个常数，与x无关，是函数g(x)的平均值或中值的一个量度 f(x)对应于量子力学或统计物理中的态密度（如麦克斯韦分布、玻色 －爱因斯坦分布、费米－狄拉克分布） g(x)可以理解为一个物理量算符 1 ( ) ( ) | ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) ˆ f x dx x x dx E g x g x f x dx x g x x dx = = = =
3.3概率密度函数的性质 Properties of the probability) 、函数的期望值( Expectation) 定义 积分学第一中值定理( Mean value theoren) 对连续函数g(x),在区间a,b上存在,使得 b ∫g(x)dx=g(b g(3称为g(x)的积分中值,或平均值。实际上就是算术平均值 对离散的函数g,就很容易看出来。 s;=g·n g(x) 这意味着可以找到一个点ξ,使 得g(x)下的面积等价于一个矩 ￥eam(中值一平均值) 形面积,但这不是统计学中通 常定义的平均值(见下面)
3.3 概率密度函数的性质 (Properties of the probability) 一、函数的期望值（Expectation) 定义： 积分学第一中值定理（Mean Value Theorem） ( ) ( )( ) b a g x dx g b a = − 对连续函数g(x)，在区间[a, b]上存在ξ，使得 g(ξ)称为g(x)的积分中值，或平均值。实际上就是算术平均值， 对离散的函数g，就很容易看出来。 这意味着可以找到一个点ξ，使 得g(x)下的面积等价于一个矩 形面积，但这不是统计学中通 常定义的平均值（见下面）。 x g(x) Mean(中值－平均值） ξ 1 n i i g g n = =