《经济数学基础》课程教学资源：实验9 整数规划（Integer programming）.pdf_大学文库

1 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验9 整数规划 (Integer Programming) 清华大学数学科学系基本内容 2. 基本原理与解法 3. LINDO / LINGO软件的使用 1. 实例及其数学模型 • 分枝定界法 • 动态规划法实例1：选课问题校规：学生每学期选修的总学分不能少于20，任选课学分不能少于总学分的1/6，也不能超过总学分数的1/3 同时选修要求 8 6 4 5 7 6 学分 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 任选课课号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 同时选修要求 1 2 学分 5 5 4 4 3 3 3 2 限选课课号 1 2 3 4 5 6 7 8 本学期必修课只有一门（2学分）；限选课有8门，任选课有10门，最少应该选几门课？ {0,1} , , , , , , 2, 20, 6 , 3 3 3 3 2 2 2 . . 5 5 4 4 3 3 3 2 4 11 5 12 7 13 6 14 1 5 2 7 8 9 6 10 1 2 2 2 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 2 3 4 5 6 7 8 18 1 ∈ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ = + + ≥ ≤ ≥ = + + + + + + + + + = + + + + + + + ∑= i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y x x x x x x x x x x st y x x x x x x x x Min x 决策变量：xi （=1选修课程i，=0不选修课程i）目标函数：选修课程之和约束条件：选修课程 i 时必须选修课程 j ： xj ≥xi 0-1规划 (一种特殊整数规划) y1，y2 分别表示选修的限选课、任选课的学分数，y 表示总学分数线性规划（LP）最优解：（其他 xi 为0） x1 = x2 = x4 = x11 =1，x3 = 0.0833， x6 = x10 = 0.1111 {0,1} , , , , , , 2, 20, 6 , 3 3 3 3 2 2 2 5 5 4 4 3 3 3 2 4 11 5 12 7 13 6 14 1 5 2 7 8 9 6 10 1 2 2 2 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 2 3 4 5 6 7 8 ∈ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ = + + ≥ ≤ ≥ = + + + + + + + + + = + + + + + + + i x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y x x x x x x x x x x y x x x x x x x x 0 ≤ xi ≤ 1 LP松弛问题 • 四舍五入，选4门课程 1/2/4/11，共19个学分, 太少； • 向上取整，选7门(加 3/6/10)，共27个学分，太多？整数规划一般不能通过解LP松弛问题得到最优解演示： Course.LTX 问题1. 如何下料最节省 ? 实例2：钢管下料问题2. 客户增加需求：原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根客户需求节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？ 5米10根

2 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。切割模式 4米1根 6米1根 8米1根余料1米 4米1根 6米1根 6米1根余料3米合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸 8米1根 8米1根余料3米钢管下料为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式 2. 所用原料钢管总根数最少模式 4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数余料(米) 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 0 0 2 3 钢管下料问题1 两种标准 1. 原料钢管剩余总余量最小 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 约束满足需求决策变量目标1（总余量） 1 1 2 3 4 5 6 7 Min Z = 3x + x +3x +3x + x + x +3x 4 3 2 50 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 2 3 20 x2 + x4 + x5 + x6 ≥ 2 15 x3 + x5 + x7 ≥ 模式 4米根数 6米根数 8米根数余料 1 4 0 0 3 2 3 1 0 1 3 2 0 1 3 4 1 2 0 3 5 1 1 1 1 6 0 3 0 1 7 0 0 2 3 需求 50 20 15 整数约束： xi 为整数以上两个模型均是一般整数线性规划 2 1 2 3 4 5 6 7 目标2（总根数） Min Z = x + x + x + x + x + x + x 钢管下料问题1 约束条件不变 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 2 3 20 x2 + x4 + x5 + x6 ≥ x3 + x5 + 2x7 ≥ 15 xi 为整数当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标钢管下料问题2 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3) r1i , r2i , r3i , r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量满足需求 50 r 11x1 +r 12x2 +r 13x3 ≥ 10 r21 x1 + r22 x2 + r23 x3 ≥ 20 r31x1 + r32 x2 + r33 x3 ≥ r41 x1 + r42 x2 + r43 x3 ≥ 15 模式合理：每根余料不超过3米 16 4 5 6 8 19 ≤ r11 + r21 + r31 + r41 ≤ 16≤ 4r 12 +5r22 +6r32 +8r42 ≤19 16 ≤ 4r13 + 5r23 + 6r33 +8r43 ≤19 整数非线性规划钢管下料问题2 目标函数（总根数） 1 2 3 Min x + x + x 约束条件整数约束： xi ,r1i , r2i , r3i , r4i (i=1,2,3)为整数

3 实例3：饮料的生产批量问题 • 安排生产计划, 满足每周的需求, 使4周总费用最小。生产成本（可变成本）: 50元/箱 (50千元/千箱) 存贮费: 每周每千箱饮料1千元饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料。若某周开工生产某种饮料, 需支出生产准备费3千元。某种饮料4周的需求量周次需求量(千箱) 1 2 2 3 3 2 4 4 合计 11 生产批量问题的一般提法 ct ~时段t 生产费用(元/件)； ht ~时段t (末)库存费(元/件)； st ~时段t 生产准备费(元)； dt ~时段t 市场需求(件)；假设初始库存为0 制订生产计划, 满足需求,并使T个时段的总费用最小。 t t t t I + x − I = d −1 min ( ) 1 t t t t t T t t z =∑ s y + c x + h I = 0, , 0 I0 = IT = xt It ≥ ⎩ ⎨ ⎧ = > = 0, 0, 1, 0, t t t x x y 决策变量 xt ~时段t 生产量； It ~时段t (末)库存量； yt =1 ~时段t 开工生产 (yt =0 ~不开工)。目标约束混合线性0-1规划 0,1. 0 = − ≤ t t t y x My 生产批量问题的一般提法 t t t t I + x − I = d −1 0, , 0 I0 = IT = xt It ≥ ⎩ ⎨ ⎧ = > = 0, 0, 1, 0, t t t x x y min ( ) 1 t t t t t T t t z =∑ s y + c x + h I = M是一个充分大的正数（这里可取M= 11）混合非线性0-1规划？整数规划问题一般形式 g x j l s t h x i m f x j i x Z n ( ) 0, 1,..., . . ( ) 0, 1,..., min ( ) ≤ = = = ∈ • 整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数 • 整数非线性规划(INLP) 目标或约束中存在非线性函数 • 纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数 • 混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数 • 0-1规划决策变量只取0或1 分类取消整数规划中决策变量为整数的限制（松弛），对应的连续优化问题称为原问题的松弛问题整数规划问题对应的松弛问题松弛问题松弛整数规划问题最优解最优解整数非整数舍入整数下界（对Min问题）上界（对Max问题）非最优解原问题松弛对松弛问题的最优解（分量）舍入为整数，得到的往往不是原整数规划问题的最优解（甚至不是可行解） IP可行解对应于整点A(2,2)和B(1,1),而最优解为A点. 但LP松弛的最优解为C(3.5,2.5) 目标函数下降方向 x1 x2 C A B O 整数规划问题对应的松弛问题

4 , 0 且为整数 5 9 45 . . 6 max 5 8 1 2 1 2 1 2 1 2 ≥ + ≤ + ≤ = + x x x x st x x z x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． x1 x2 0 oP 6 9 Zmax 5 6 去掉整数限制后，可行域为点（0,0), (6,0), (0,5), P (2.25,3.75) 围成的4边形 LP 最优解P P 的舍入解最靠近P 的可行解 IP 最优解（2.25，3.75）（2，4）（2，3）（0，5） z=41.25 不可行 z=34 z=40 从LP最优解经过简单的 “移动”不一定得到IP最优解基本思想：隐式地枚举一切可行解（“分而治之”）所谓分枝，就是逐次对解空间（可行域）进行划分；而所谓定界，是指对于每个分枝（或称子域），要计算原问题的最优解的下界（对极小化问题）. 这些下界用来在求解过程中判定是否需要对目前的分枝进一步划分，也就是尽可能去掉一些明显的非最优点，避免完全枚举. 整数规划的分枝定界法（BB: Branch and Bound）对于极小化问题，在子域上解LP，其最优值是IP限定在该子域时的下界；IP任意可行点的函数值是IP的上界线性规划松弛定界若在某一时刻，得到一个全整数解的费用为zm，则zm 为原问题的一个上界; 否则得该分枝的一个下界，继续分枝．（P1） ⎣ ⎦ n i i T x Z x x x st Ax b c x ∈ ≥ + ≥ = 1 0 . . min 0 （P2） ⎣ ⎦ n i i T x Z x x x st Ax b c x ∈ ≤ ≥ = 0 0 . . min A Z m n s t Ax b x P z c x m n T ∈ ≤ = ≥ = × , . . , 0 ( 0) 线性IP min 分枝定界算法 – 例（P0） + ∈ ≥ + ≤ − ≥ = − − x x Z x x x st x x z x x 1 2 2 1 2 2 11 1 2 2 1 1 2 1 2 , 2 . . 2 min 该问题的LP松弛解为 , 不是整数解,最优值为z0=-4. (P1): (P0)加上 ; (P2): (P0)加上 . T x ( , )2 5 2 0 3 = 2 x1 ≥ 1 x1 ≤ 问题(P1)的LP松弛解为 , 不是整数解,最优值为z1=-3.5 (P3): (P1)加上 ; (P4): (P1)加上 . T x (2, )2 1 3 = x2 ≥ 2 1 x2 ≤ P0 P1 P2 x1 ≥ 2 1 x1 ≤ P3 P4 2 x2 ≥ x2 ≤ 1 P5 P6 3 x1 ≥ x1≤2 T , x x (2,1) * 6 = = 6 3 * z =z =− 无可行解 P0 P1 P2 P3 P4 2 x1≥ x1 ≤1 2 x2 ≥ x2 ≤1 T x ( , )2 5 2 0 3 = , z0=-4 T x (2, )2 1 3 = , z1=-7/2 T x ( ,1) 4 4 9 = z0=-13/4 T x (2,1) 6 = z0=-3 无可行解 T x (1, ) 2 2 3 = z2=-2.5 > z6 分枝定界算法(Min问题) STEP4. 转STEP1. STEP0. 令activeset={0}(原问题);U = ∞；currentbest=0. STEP1. 如果 activeset=∅, 则已经得到原问题的最优解, 结束; 否则从活跃分枝点集合 activeset 中选择一个分枝点 k ；将 k 从 activeset中去掉, 继续STEP2. STEP2. 生成 k 的各分枝 i=1,2,…,nk 及其对应的下界zi . STEP3.对分枝 i=1,2,…,nk : 如果分枝 i 得到的是全整数解且 zi <U, 则令 U=zi 且 currentbest=i；如果分枝 i 得到的不是全整数解且zi <U, 则把 i 加入activeset中

整数规划的动态规划法最优化原理例:最短路问题求各点到T的最短路 “全过程的最优策略具有这样的性质:不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何,对该状态而言,余下的诸决策必定构成最优子策略.”即:最优策略的任一后部子策略都是最优的这只是最优性定理的一个推论,即最优策略的必要条件 L()=min(cn+L()节点到节点r的最短路长最优子结构〔 Optimal Substructure) An optimal solution to the problem contains within it L(T)=0 递推计算 optimal solutions to subproblems. 建立动态规划模型的基本过程动态规划基本方程逆序递推41 1)正确划分阶段,选择阶段变量k (2)对每个阶段,正确选择状态变量x选择状态变 x世xx 量时应当注意两点:一是要能够正确描述受控过程的演变特性,二是要满足无后效性 f(x1)f2(x2) f(x1) fa(r,) (3)对每个阶段,正确选择决策变量k f(x)表示第k阶段初始状态为x时 (4)列出相邻阶段的状态转移方程:xk+=T(x,uA) k后部子过程阶段kk+1,,n)的最优准则函数 (5)列出按阶段可分的准则函数vm J(x2=mirv(e, 4)+H(xe+) Lm(xn)=0(边界条件)x41=7(x2L4) 假设问题的目标是极小化 (学学奖 (学学应用动态规划方法的几个例子少共有M个工厂,可以把问题分解为N个阶段: 资源分配问题:某公司现有M台设备准备分配给该公司所属的N家工厂.当分配台u设备给工厂A时,工厂k 当阶段kN时,把手中设备分配给工厂N; 利用这些设备为公司创造的利润(假设非负)为gA(u) 当阶段k=N-1时,把手中设备分配给工厂N1; 如何分配设备资源,使得公司总利润最大? 依次类推; 当阶段k=1时,把手中设备分配给工厂 max:=∑8(4) 状态变量x-第阶段初分配者手中拥有的设备台数由题意可知x=M,xN=0 决策变量a:第A阶段分配给工厂k的设备台数0≤叫≤x ∈z 状态转移方程可能是非线性整数规划,甚至gA(u4)没有显式表达式阶段的准则函数为"(x1,41)=8(a4)

5 整数规划的动态规划法例：最短路问题求各点到T的最短路 5 6 7 7 4 9 6 8 6 5 8 3 3 6 C1 B1 C2 B2 A1 A2 A3 T S 6 ( ) 节点i到节点T 的最短路长 ( ) 0 ( ) min ( ) ( , ) = = + ∈ L T L i c L j ij i j A 递推计算 “全过程的最优策略具有这样的性质：不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何，对该状态而言，余下的诸决策必定构成最优子策略. ”即：最优策略的任一后部子策略都是最优的. 这只是最优性定理的一个推论，即最优策略的必要条件. 最优化原理最优子结构（Optimal Substructure）: An optimal solution to the problem contains within it optimal solutions to subproblems. （1）正确划分阶段，选择阶段变量k. （2）对每个阶段，正确选择状态变量xk. 选择状态变量时应当注意两点：一是要能够正确描述受控过程的演变特性，二是要满足无后效性. （3）对每个阶段，正确选择决策变量uk . （4）列出相邻阶段的状态转移方程： xk+1= Tk(xk, uk). （5）列出按阶段可分的准则函数V1,n . 假设问题的目标是极小化建立动态规划模型的基本过程逆序递推 k=1 k=2 k k=n 1 x 2 x 3 x k+1 x n+1 x k x n x ( ) 1 1 f x 1 u 2 u k u n u ( ) 2 2 f x ( ) k k f x ( ) n n f x ⎩ ⎨ ⎧ = = + + + + + ∈ ( ) 0 (边界条件） ( ) min[ ( , ) ( )] 1 1 1 1 n n k k k k k u U k k f x f x v x u f x k k ( , ) k 1 k k uk x =T x + fk(xk)表示第 k 阶段初始状态为xk时， k后部子过程(阶段k,k+1,…,n)的最优准则函数动态规划基本方程资源分配问题：某公司现有M台设备准备分配给该公司所属的N家工厂. 当分配台uk设备给工厂k时，工厂k 利用这些设备为公司创造的利润（假设非负）为gk(uk). 如何分配设备资源，使得公司总利润最大？可能是非线性整数规划, 甚至gk(uk)没有显式表达式应用动态规划方法的几个例子 + = = ∈ = = ∑ ∑ u Z st u M z g u k k N k k N k k 1 1 . . max ( ) ( ) k k g u k u 工厂k 设备数 1 2 3 0 1 2 3 4 0 4 6 7 7 0 2 5 6 8 0 3 5 7 8 状态变量xk - 第k阶段初分配者手中拥有的设备台数. 由题意可知 x0 = M， xN+1 = 0 阶段的准则函数为共有N个工厂，可以把问题分解为N个阶段：当阶段k=N时，把手中设备分配给工厂N；当阶段k=N-1时，把手中设备分配给工厂N-1；依次类推；当阶段k=1时，把手中设备分配给工厂1. 决策变量uk：第k阶段分配给工厂k的设备台数 k k 0 ≤ u ≤ x 状态转移方程 k k u k x +1 = x − ( , ) ( ) k k uk gk uk v x =

6 资源分配问题用fk(xk) 表示将手中资源xk分配给工厂k,k+1,…, N 时的最大利润，原问题即为计算 f1(M) M=4，N=3，边界条件 f4(x4) = f4(0) =0 ⎩ ⎨ ⎧ = = + = − + + + + ≤ ≤ ( ) 0. ( ) max [ ( ) ( )], , 1, ,1, 1 1 1 1 0 N N k k k k u x k k f x f x g u f x k N N k k L k=3时：（增函数） ( ) max[ ( ) (0)] ( ) 3 3 4 3 3 0 3 3 3 3 f x g u f g x u x = + = ≤ ≤ (0) (0) 0; f3 = g3 = (1) (1) 3; f3 = g3 = (2) (2) 5; f3 = g3 = (3) (3) 7; f3 = g3 = (4) (4) 8 f3 = g3 = 具体计算（例） k=2时： ( ) max [ ( ) ( )] max [ ( ) ( )] 2 2 3 2 2 0 2 2 3 3 0 2 2 2 2 2 2 f x g u f x g u f x u u x u x = + = + − ≤ ≤ ≤ ≤ (0) max[ ( ) (0 )] (0) (0) 0 0 0; 2 2 3 2 2 3 0 0 2 2 = + − = + = + = ≤ ≤ f g u f u g f u max{0 3,2 0} 3; (1) max[ ( ) (1 )] max{ (0) (1), (1) (0)} 2 2 3 2 2 3 2 3 0 1 2 2 = + + = = + − = + + ≤ ≤ f g u f u g f g f u max{0 5,2 3,5 0} 5; (2) max[ ( ) (2 )] max{ (0) (2), (1) (1), (2) (0)} 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 0 2 2 2 = + + + = = + − = + + + ≤ ≤ f g u f u g f g f g f u max{0 7,2 5,5 3,6 0} 8; max{ (0) (3), (1) (2), (2) (1), (3) (0)} (3) max[ ( ) (3 )] 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 0 3 2 2 = + + + + = = + + + + = + − ≤ ≤ g f g f g f g f f g u f u u max{0 8,2 7,5 5,6 3,8 0} 10; max{ (0) (4), (1) (3), (2) (2), (3) (1), (4) (0)} (4) max[ ( ) (4 )] 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 0 4 2 2 = + + + + + = = + + + + + = + − ≤ ≤ g f g f g f g f g f f g u f u u 资源分配问题 k=1时： ( ) max[ ( ) ( )] max[ ( ) ( )] 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 f x g u f x g u f x u u x u x = + = + − ≤ ≤ ≤ ≤ max{0 10,4 8,6 5,7 3,7 0} 12. max{ (0) (4), (1) (3), (2) (2), (3) (1), (4) (0)} (4) max[ ( ) (4 )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 4 1 1 = + + + + + = = + + + + + = + − ≤ ≤ g f g f g f g f g f f g u f u u 最优解 ,最大利润为 . 1, 2, 1 * 3 * 2 * u1 = u = u = (4) 12 1 * z = f = 推广：非线性整数规划问题，如： + ∈ + + = = + + − − − x x x Z st x x x z x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 2 2 1 , , . . 4 min 2 4 3 5 M=4, N=3 1 2 1 1 1 g (u ) = u − u 2 2 g2 (u2 ) = 2u2 −3u 3 2 g 3 (u3 ) = 4u3 − 5u 资源分配问题应用动态规划方法解整数规划 , 0, 1,2, , . 0, 1,2, , , 0, 0, 1, 0, . . , 1,2, , , min ( ) 0 1 1 x I t T I t T x x y st I x I d t T z s y c x h I t t t t t t t t t t t t t t T t t L L L ≥ = = = ⎩ ⎨ ⎧ = > = + − = = = + + − = ∑ 实例3：单产品、无能力限制的批量问题可以只考虑可以证明：一定存在满足条件的最优解. 用ft 表示当t时段初始库存为0时，从t时段到T 时段的子问题的最优费用值最优值（费用）为 f1 . 假设费用均非负，则在最优解中，即 I 0 = IT = 0 ∑ ∑ = = = T t t T t xt d 1 1 0(1 ) It−1 xt = ≤ t ≤ T t { } dt dt dt dt dt dT x ∈ 0, , + +1,L, + +1 +L+ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + > = = = ∑ ∑ ∑ − = + − = − = + ≤ ≤ + + + 1 . min [ ], 0, , 0. 0, 1 1 1 1 1 1 1 1 t T s c d d h f d f d f f t i t i j t i j i t t t i t T t t t T τ τ τ τ X=(2,5,0,4), 最优值为561（千元） T=4，（千元），（千元），（千元 st = 3 ct = 50 ht = 1 /千件） 2 (千件) d1 = d2 = 3 2 d3 = 4 d4 = 具体计算过程如下： f 5 = 0; f 4 = 3+50*4+0+0=203; f 3 = min{3+50(2+4)+1*4+0,3+50*2+0+11}=306; f 2 = min{3+50(3+2+4)+1(2+4)+1*4+0,3+50(3+2)+1*2+11, 3+50*3+0+18}=458; f 1 = min{3+50(2+3+2+4)+1(3+2+4)+1(2+4)+1*4+0, 3+50(2+3+2)+1(3+2)+1*2+11, 3+50(2+3)+1*3+18, 3+50*2+0+26} = 561

LIN0公司软件产品简要介绍 LIND0和LING软件能求解的优化模型美国芝加哥 Chicago)大学的 Linus schrage教授于1980 年前后开发,后来成立 LINDO系统公司(L INDO 优化模型 SystemsInc),网址Ihttp://www.lindo.com 连续优化整数规划(IP) LINGO: Linear INteractive General Optimizer LINDO API: LINDO Application Programming Interface (v2. 0) 线性规划二次规划非线性规划 What's BestI: (Spreadsheet e.g. EXCEL) NLP 演示(试用版、学生版、高级版、超级版、工业版 LINDO LINGO 扩展版.(求解问题规模和选件不同例加工奶制品的生产计划牛奶12小时13公斤A一获利24元公斤 4公斤A,→获利16元公斤 1桶 12小时132公获利24元/公斤牛奶获利16元/公斤每天50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1 每天:50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A 决策变量x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A 目标函数获利24×3x1获利16×4x2 制订生产计划,使每天莪利最大每天获利Max==72x1+64x2 35元可买到1桶牛奶,买吗?若买,每天最多买多少线性原料供应 x1+x2≤50 可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元? 约束条件劳动时间12+8x25480模型 A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划? 加工能力 3x,≤100 (LP) 非负约束 x1,x220 (学学奖大学费学买验模型求解 x72x1+64x2 模型求解 reduced cost值表 OBJECTIVE FUNCTION VALUE OBJECTIVE FUNCTION VALUE 示当该非基变量 3360.000 2)xI+x2<50 3360.000 增加一个单位时 VARIABLE VALUE REDUCED COST 3)12x1+8x2<480 VARIABLE VALUE REDICED COST(其他非基变量 4)3xl<100 0.000000 保持不变)目标 0.000000 数减少的量(对 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES max型问题) DO RANGE 2)0.00000 ENSITIVITY 也可理解为 ANALYSIS? NO 为了使该非基变 000004 0.o00000 4000000 量变成基变量, NO. ITERATIONS= 目标函数中对应 20桶牛奶生产A1,30桶生产A2,利润360元。系数应增加的量

7 LINDO 公司软件产品简要介绍美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980 年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：http://www.lindo.com LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1) LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V8.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0) What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0) 演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版… （求解问题规模和选件不同） LINDO和LINGO软件能求解的优化模型 LINDO LINGO 优化模型线性规划 (LP) 非线性规划 (NLP) 二次规划 (QP) 连续优化整数规划(IP) 例加工奶制品的生产计划 1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤获利16元/公斤 50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？每天： 1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤获利16元/公斤 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 原料供应 x1 + x2 ≤ 50 劳动时间 12 8 480 x1 + x2 ≤ 加工能力 3x1 ≤ 100 决策变量目标函数 1 2 每天获利 Max z = 72x + 64x 约束条件非负约束 x1 , x2 ≥ 0 线性规划模型 (LP) 时间480小时至多加工100公斤A1 每天 50桶牛奶模型求解 max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。 Milk01.ltx 模型求解 reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对 max型问题) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 也可理解为：为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量

9 [注意]二次规划(QP)问题 • LINDO可求解二次规划(QP)问题，但输入方式较复杂，因为在LINDO中不许出现非线性表达式 – 需要为每一个实际约束增加一个对偶变量（LAGRANGE乘子），在实际约束前增加有关变量的一阶最优条件，转化为互补问题 – “END”后面使用QCP命令指明实际约束开始的行号，然后才能求解 • 建议总是用LINGO解QP [注意]对QP和IP: 敏感性分析意义不大目标1（总余量） 1 1 2 3 4 5 6 7 Min Z = 3x + x +3x +3x + x + x +3x 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 2 3 20 x2 + x4 + x5 + x6 ≥ x3 + x5 + 2x7 ≥ 15 按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米最优解：x2=12, x5=15, 其余为0；最优值：27 x CUT01a.LTX i 为整数实例2：钢管下料(问题1) 当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标 2 1 2 3 4 5 6 7 目标2（总根数） Min Z = x + x + x + x + x + x + x 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；最优值：25。 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 2 3 20 x2 + x4 + x5 + x6 ≥ x3 + x5 + 2x7 ≥ 15 xi 为整数按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米虽余料增加8米，但减少了2根与目标1的结果“共切割27根，余料27米” 相比: CUT01b.LTX 实例2：钢管下料(问题1) LINGO软件简介 • 目标与约束段 • 集合段（SETS ENDSETS） • 数据段（DATA ENDDATA） • 初始段（INIT ENDINIT） LINGO模型的构成：4个段 LINGO模型的优点 •包含了LINDO的全部功能，并能处理非线性优化 •提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）集合的类型集合派生集合基本集合稀疏集合稠密集合元素列表法元素过滤法直接列举法隐式列举法 setname [/member_list/] [: attribute_list]; setname(parent_set_list) [/member_list/] [: attribute_list]; SETS: CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/; ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/:D; ENDSETS SETS: STUDENTS /S1..S8/; PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) | &2 #GT# &1: BENEFIT, MATCH; ENDSETS 集合循环函数四个集合循环函数：FOR、SUM 、 MAX、MIN @function( setname [ ( set_index_list)[ | condition]] : expression_list); @FOR(STUDENTS( I): [constraints] @SUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K)) =1); Example: ∑I J ∈PAIRS BENEFIT I J MATCH I J ( , ) ( , )* ( , ) ( , ) 1 ( , ) ∑ = = = ∈ K I J I or J K PAIRS MATCH J K [objective] MAX = @SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J));