《经济数学基础》课程教学资源：第1章 n阶行列式的定义

第一节n阶行列式的定义 w吧w吧w吧行吧吧好产

第一节 n 阶行列式的定义

、二阶行列式 给定a,b,c,d四个复数,称 a bl =ad-bc C 为一个二阶行列式。为方便记 D= 2=122-a12 2021 其中元素an的第一个下标为行指标第二个下标j为 列指标。即a位于行列式的第i行第j列

一、二阶行列式 给定 a、b、c、d 四个复数，称 ad bc c d a b = − 为一个二阶行列式。 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为 列指标。即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列。 为方便记

二阶行列式的计算一对角线法则 主对角线12 =a12-a221 副对角线2 例如 12 =1×7-(-2)×3=13

11 a 12 a a22 主对角线 副对角线 = a11a22 . − a12a21 二阶行列式的计算 对角线法则 例如 1 3 1 7 ( 2) 3 13 2 7 =  − −  = − 21 a

二、三阶行列式 同理,称 12 13 =C11C 1102233 +aaa a21+a12C 12023031 1302132 22 23 112332 12021033 304220431 31a2 32 为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆 =a123+a122331+a 1302132 22 13u22031 133-n1123432 2u2 32

二、三阶行列式 同理，称 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆 = a11a22a33 . − a11a23a32 12 23 31+ a13a21a32 + a a a − a13a22a31− a12a21a33 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a

12 例1计算三阶行列式D=-22 34-2 解按对角线法则,有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24 14

- 3 4 - 2 - 2 2 1 1 2 - 4 例1 计算三阶行列式 D = 解 按对角线法则，有 D = 1 2(−2) + 21(−3) + (−4)(−2) 4 − 11 4 − 2(−2)(−2) − (−4) 2(−3) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24 = −14

ab b 例2证明2aa+b2b=(a-b)3 证明: 左边=a2(a+b)+2ab2+2ab2-b2(a+b)-2a2b-2a2b a +a2b+2ab2+2ab2-ab2-63-2a2b-2ab a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=右边

例2 证明 3 2 2 ( ) 1 1 1 2a a b 2b a b a ab b + = − 证明： 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 a a b ab ab b a b a b a b a a b ab ab ab b a b a b a a b ab b a b = + + + − + − − = + + + − − − − = − + − = − = 左边 （ ） 右边

在三阶行列式 1a12a1 =a142a33+a12a23l31+a13221l2 21 a. 2 a12332-c 12021033"a13022031 31 2 33 中,6项的行下标全为123,而列下标分别为 123,231,312此三项均为正号 132,213,321此三项均为负号 为了给出n阶行列式的定义,下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质

1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 中，6项的行下标全为123，而列下标分别为 在三阶行列式 123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质

全排列及其逆序数 定义由1,2,……,n组成的有序数组称为一个n级 全排列。记为i…·j 例如32541是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列 3级全排列的全体共有6种,分别为 123,231,312,132,213,321 n级全排列的种数为 n(n-1)…321=n

三、全排列及其逆序数 定义 由1，2，· · · ，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。记为 j1 j2 · · · jn . 例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列 3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为 n(n −1)321= n!

排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序,n个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 定义在一个排N成4¨)中,若数 i,>i,则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如排列32514中 逆序 逆序逆序

定义 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i  i 例如 排列 32514 中 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序。 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序

定义一个排列方j2…·中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为τ(1i2 例如排列32514中 01 32⑤14 1逆序数为3 故此排列的逆序数为τ(32541)3+1+0+1+0=5

定义 一个排列 j1 j2 · · · jn 中所有逆序的总数称为此排 列的逆序数。记为 （ j1 j2 · · · jn ） 例如 排列 32514 中 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 0 0 1 故此排列的逆序数为  ( 32541)=3+1+0+1+0=5