第3章中值定理、导数应用 3.1中值定理 3,2洛必达法则 3.3函数的单调性与极值 34函数图形的描绘 36导数在经济中的应用
3.1 中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 函数的单调性与极值 3.4 函数图形的描绘 3.6 导数在经济中的应用 结束 第3章 中值定理、导数应用
31.1罗尔定理 定理1设函数f(x)满足下列条件 (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=f(b) 则在内至少存在一点, b 使得∫(2)=0 前页后页结束
前页 后页 结束 定理1 设函数 f (x) 满足下列条件 (3) f (a) = f (b) (1) 在闭区间 [a,b] 上连续； (2) 在开区间 (a,b) 内可导; 则在内至少存在一点 ， 3.1.1 罗尔定理 a b 使得 f () = 0
几何解释如图 在直角坐标系Oxy中 曲线y=f(x) J 两端点的连线AB平行 于x轴,其斜率为零 故在曲线弧上定有一点 A B M(,f()) 使曲线在该点的切线平 行于弦AB,即平行 b 于x轴 即f(5)=0 前页后页结束
前页 后页 结束 几何解释如图 A B a b 在直角坐标系Oxy 中 曲线 两端点的连线 平行 于x 轴,其斜率为零 y f x = ( ) AB 故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平 行于弦 ，即平行 于 轴。 AB M f ( , ( )) x f ( ) = 0 O x y 即
3.1.2拉格朗日中值定理 定理2设函数f(x)满足下列条件 (1)在闭区间[a2b]上连续; (2)在开区间(a2b)内可导; 在区间(a,b)内至少存在 使得 M B f∫'()=∫(b)-f(a) b-a y=f(x) b 前页后页结束
前页 后页 结束 则在区间 (a,b) 内至少存在 (1) 在闭区间 [a,b] 上连续； (2) 在开区间 (a,b) 内可导； 定理2 设函数 f (x) 满足下列条件 y = f (x) M A B a b T ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 一点 ，使得 3.1.2 拉格朗日中值定理
如图在直角坐标系Oxy 曲线y=f(x)处处有不垂直 于x轴的切线 端点连线AB的斜率为 f(b)-f() T b-a M B 所以定理实际是说存在 y=∫(x) 点,使曲线在该点的 切线T平行于弦AB 即 bx f(9)J(b)-f(a) b-a 前页后页结束
前页 后页 结束 曲线 处处有不垂直 于 轴的切线 如图 在直角坐标系Oxy y f x = ( ) x 端点连线AB的斜率为 f b f a ( ) ( ) b a − − 所以定理实际是说存在 点 ，使曲线在该点的 切线T平行于弦AB。 y f x = ( ) M A B a b T o x y ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 即
3.1.3柯西中值定理 定理3 Cauchy中值定理 设函数f(x)与g(x)满足如下条件: 1.在闭区间[a,bl上连续; 2在开区间(a,b)内可导, 则在区间(a,b)内定有点占 使得 f'(2)f(b)-f(a) 8(5 8(b)-g(a 前页后页结束
前页 后页 结束 2.在开区间 (a,b) 内可导， 1.在闭区间 [a,b] 上连续； 定理3 Cauchy中值定理 则在区间 (a,b) 内定有点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = 使得 3.1.3 柯西中值定理 设函数 f x( ) 与 g(x) 满足如下条件：
三个中值定理的关系 Role定理是 Lagrange定理的特例: 在 Lagrange中值定理中如果f(b)-f(a) 则 Lagrange中值定理变成阳o11e定理; Cauchy定量是 Lagrange定理的推广 在 Cauchy中值定理中如果g(x)=x, 则 Cauchy化为 Lagrange中值定理, 前页后页结束
前页 后页 结束 Rolle定理是Lagrange定理的特例: 在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理； Cauchy定量是Lagrange定理的推广 在Cauchy中值定理中如果 ， 则Cauchy化为Lagrange中值定理。 f (b) − f (a) g(x) = x 三个中值定理的关系
3.2洛必达法贝 如果在某极限过程下,函数f(x)与g(x)同时趋于零或 者同时趋于无穷大,通常把∫以的极限称为未定式的极 g(r) 限,洛必达法则就是解决这类极限的工具 一般分为三种类型讨论: 1.型不定式 2.—型不定式 3.其它型不定式 前页后页结束
前页 后页 结束 如果在某极限过程下,函数f ( x)与g(x)同时趋于零或 者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极 限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。 一般分为三种类型讨论： ( ) ( ) g x f x 3.2 洛必达法则 0 0 1． 型不定式 2． 型不定式． 3．其它型不定式
1.型未定式 定理1设函数与在的某空心邻域内有定义,且 满足如下条件 (1)lim f(x)=limo(x)=0 x→a x→ (2)f(x)和g(x)在该邻域内都存在且 g(x)≠0 (3)lim f( 存在(或为) ag(x) 则limf(x) lim (r) x→ag(x) x→a g(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且 满足如下条件： 0 0 (1) lim ( ) = lim ( ) = 0 → → f x g x x a x a (2) f (x)和 g (x) 在该邻域内都存在， 且 g (x) 0 ; . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a = → → 则 （ ） → ( ) ( ) (3) lim g x f x x a 存在 或为 1． 型未定式．
例1求in(1+x)2-1 (C为任意实数) 0 xc 解 (1+x)-1 (1+x) m m a 例2求im In(1+x) →0 In(1+x) 解im lim 1+x x→>0 02x lim ● →02x(1+x) 前页后页结束
前页 后页 结束 例1 求 （ 为任意实数） x x x (1 ) 1 lim 0 + − → = + = + − − → → 1 (1 ) lim (1 ) 1 lim 1 0 2 a x x x 解 x x 例2 求 2 0 ln(1 ) lim x x x + → x x x x x x 2 1 1 lim ln(1 ) lim 0 2 0 + = + 解 → → = + = → 2 (1 ) 1 lim x 0 x x