在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 y=p(r) 2 f(x,y)dσ dx f(x, y)dy P(x D UsP(x) x=y,() v2(y) f(x,y)=」吵邮f(x,y)hy(-D x=v2(y
1 b x a x D f x y d dx f x y dy = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) O x D 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) y y x y O 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a x b D 在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 d c
§93二重积分的换元法 在计算定积分时,换元法是一种强有力的方法.在计 算二重积分时,也常用此法特别是二重积分f(x,y)da 不易计算时,我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 f(x,y)的特点,用一个适当的变换 p(u,v) y(,v) 把x平面内区域D上的二重积分,变成uv平面内区域D1 上的二重积分,以达到简化二重积分的计算 那么这两个二重积分有何关系呢?
2 §9.3 二重积分的换元法 在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计 D f x y d ( , ) 不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分 ( , ) ( , ) x u v y u v = = 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算. D1 那么这两个二重积分有何关系呢？ 把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域 ƒ(x, y)的特点, 用一个适当的变换 我们也可根据积分区域D的形状和被积函数
定理2若f(x,y)在x平面的闭区域D上连续,且变换 x=p(u,v) 满足: y=y(u, v) (1)(u,)与v(u,v)在W平面的闭区域D上具有一阶连续 偏导数; (2)它将xy平面上的区域D一对一地变为ww平面上的区域D; (3)在区域D上的雅可比行列式J0(x,y)≠0, (l,y) 则在此变换下,二重积分为 f(x, y)dxdy f∫|q(u,v),y(u,v) a(x,y DI d(u, v)
3 定理2 若ƒ(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换 ( , ) ( , ) x u v y u v = = (1) 与 在 uv 平面的闭区域 D1 上具有一阶连续 (2)它将xy平面上的区域D 一对一地变为uv平面上的区域 D1 ； x y D J u v = 1 ( , ) (3) 0, ( , ) 在区域 上的雅可比行列式 则在此变换下, 二重积分为 偏导数； 1 ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) D D x y f x y dxdy f u v u v dudv u v = 满足： ( , ) u v ( , ) u v
注1雅可比( Jacobi)行列式为x,y对uy偏导数所 构成的函数行列式.记为 ax ax a(x, y)ou Ov ax ay ax ay a(u, v)ayay au av ay au au ay 注2换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 f(x,y)的特点和区域D的形状,构造变换式 注3J的实质就是变换前后D与D的伸缩率(或比 例系数当>时,SD>S;当八<时,S<SD
4 注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 1 雅可比 行列式为 对 的偏导数所 (Jacobi x y u,v ) , 构成的函数 行列 注 式. 记为 ƒ(x, y)的特点和区域 D的形状, 构造变换式. 注3 J 的实质就是变换前后D与 D1 的伸缩率(或比 例系数). 1 1 1 , ; 1 , D D D D 当 时 当 时 J S S J S S x y x y u v v u = − x x x y u v J u v y y u v = = ( , ) ( , )
注4若雅可比行列式/只在D内个别点上或一条曲线 上为零,而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 例12计算le*ac,其中D是由x轴,y轴和直线x+y=2 所围成的闭区域 解区域D的图形如右图 令Ⅱ=y-x,=y+x v一LL D 解得变换式 2 O v十L 2
5 1 注4 若雅可比行列式 只在 内个别点上或 J D 一条曲线 上为零 而在其他点上为不为零,则换元公式仍然成立 , 12 , , 2 y x y x D e dxdy D x y x y − + + = 例 计算 其中 是由 轴 轴和直线 所围成的闭区域. 解 区域 D 的图形如右图 解得变换式 2 2 v u x v u y − = + = 令 u = y − x, v = y + x x y O D x+ y=2
则x平面上的闭区域D在w平面上的对应区域 D={(a)-smsv,0sv≤2},如右图: 且J=列(x,y) 0(u,v)|a a0-0 au 故 dxdy dudy dvl e" du (ve" )dv 2 (e-e vd
6 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域 D u v v u v v 1 = − ( , ) ,0 2 , 如右图： x x x y u v J u v y y u v = = ( , ) ( , ) 且 1 1 2 2 1 1 2 2 − = 1 1 2 y x u y x v D D e dxdy e dudv − + = − 故 2 0 1 2 u v v v dv e du − = 2 1 0 1 ( ) 2 e e vdv − = − u v O D1 u=− v v=2 u=v 1 e e− = − 1 2 = − 2 0 1 ( ) 2 v u v v ve dv − =
例13计算由直线x+y=C,x+y=d,y=ax,y=bx 0<c<d,0<a<b)所围成闭区域D的面积 解设所求面积为A=hy y=bx 作出区域D的图形如右图 y XIy=c y=ax 二重积分直接化为二次积分较麻烦 现采用换元法.令 u ν=x+y解得 1+L 1+u 则x平面上的闭区域D在v平面上的对应区域 D={a,)asu≤b, c<ysd}如下图
7 D A dxdy = 解 设所求面积为 (0 ,0 ) c d a b 所围成闭区域 的面积 D . 二重积分直接化为二次积分较麻烦. 现采用换元法. 令 , 1 1 v uv x y u u = = + + 解得 作出区域 D 的图形如右图 , y u v x y x = = + 例13 计算由直线 x y c x y d y ax y bx + = + = = = , , , D u v a u b c v d 1 = ( , ) , ,如下图 x y O D x+y=c x+y=d y=ax y=bx d c d 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
则x平面上的闭区域D在w平面上的对应区域 且J=O(x,y) 1+al)21+l d(u, v) +l)21+u D (1+) ≠0(,v)∈D1 b 故A=ddy= dudy (1+u) (1+u 1+ (b-a)(d2-c2) 2(1+a)(1+b)
8 2 2 1 ( , ) (1 ) 1 ( , ) (1 ) 1 v x y u u J u v v u u u − + + = = + + 且 2 1 0 ( , ) (1 ) v u v D u = − + D A dxdy = 故 1 2 (1 ) D v dudv u = − + 2 (1 ) b d a c du vdv u = + 2 2 ( )( ) 2(1 )(1 ) b a d c a b − − = + + 1 1 2 ( ) ( ) 1 2 b d a c v u = − + O c d a b u v D1 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
例14计算「(x2+y)db x+ysl +y xty D 解作出区域D的图形如右图 现采用换元法.令 uv l=x+y,ν=x-y解得x 则x平面上的闭区域D在w平面上的对应区域 D={(,)-1≤s1,-1≤vsl}如右图n 且J=(x,y) 2 D d(u, v)
9 2 1 ( ) . x y x y dxdy + + 例14 计算 解 作出区域 D 的图形如右图 现采用换元法. 令 , 2 2 解得 u v u v x y + − u x y v x y = + = − , = = D u v u v 1 = − − ( , ) 1 1, 1 1,如右图 x y J u v = = − 1 1 ( , ) 2 2 ( , ) 1 1 2 2 且 x y O D −x+y =1 x+y = −1 x−y =1 x+y =1 O u v 1 1 –1 –1 D1 = − 1 2 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
故(x2+y= u+ dudy (u+v+2uv 2u-2v)dudi 8 ∫a(x2y2+2+2-2)h 8 8」(2n+4+3m=3
10 1 2 2 1 1 ( ) [ ) ] 2 2 2 x y D u v u v x y dxdy dudv + + − + = + − 故 （ 1 1 2 2 = ( 2 2 2 ) 8 D u v uv u v dudv + + + − 1 1 2 2 1 1 1 ( 2 2 2 ) 8 du u v uv u v dv − − = + + + − u u du − = + + 1 2 1 1 2 (2 4 ) 8 3 = 1 3