86.4定积分的计算方法 由牛顿莱布尼兹公式知:计算定积分J(x)d 的关键在于求出f(x)在[a,b上的一个原函数F(x);而由 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法 换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几 种方法来计算定积分 一凑微分法 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新 变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改 变积分限.下面举例说明
1 由牛顿—莱布尼兹公式知: 计算定积分 ( ) b a f x dx 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新 变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改 变积分限. 下面举例说明. §6.4 定积分的计算方法 一.凑微分法 第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、 换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几 种方法来计算定积分 . 的关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 而由
下例11计算〕x+x 解 「(1+x)(1+x)=-2(+x) +12)2-(1+02)2]=(2√2-1) 2) sinx-sin xdx 解因sin3x-sin3x=√sin3x(1-sin2x) coSx·Sln2x
2 例11 计算 1 2 0 (1) 1 x x dx + 1 2 1 1 2 2 2 0 0 1 1 (1 ) (1 ) 2 x x dx x d x + = + + 解 3 2 2 1 2 1 (1 ) 2 3 0 = + x 3 5 0 (2) sin sin I x xdx = − 3 3 2 2 2 2 1 1 [(1 1 ) (1 0 ) ] (2 2 1) 3 3 = + − + = − 3 5 3 2 解 因 sin sin sin (1 sin ) x x x x − = − 3 2 = cos sin x x
cos x. sin2xx∈[0 cosx·Sin2xx∈[,丌] #1= cos x sin2 xsin2 xdx sin2 xd sin x- sin2 xd sin x 丌4 SIn- x SIn- x 0
3 3 3 2 2 2 2 0 sin sin sin sin xd x xd x = − 5 5 2 2 2 2 2 2 4 sin sin 5 5 5 0 x x = − = 2 2 3 3 2 2 0 cos sin cos sin I x xdx x xdx = − 故 3 2 3 2 cos sin [0, ) 2 cos sin [ , ] 2 x x x x x x = −
二换元积分法 定理8若f(x)在[a,b]上连续,而x=(1)又满足 (1)在[a上单调连续且具有连续导数 (2)(a)=aB)=b,则(x)d=()(t 证设F(x)是f(x)的一个原函数,即F(x)=f(x) 故[f(x)dt=F(b)-F(a) 而F[(O)=F[(t)]'(t)=f[(D)]( F[(切是f(t)]q()的一个原函数,且
4 (1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数; (2) (α)= a, (β)= b, 则 ( ) ( ( )) ( ) b a f x dx f t t dt = 二.换元积分法 定理8 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 x =(t) 又满足 证 设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 即 ( ) ( ) F x f x = ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − 故 [ ( )] [ ( )] ( ) d F t F t t dt 而 = = f t t [ ( )] ( ) F t f t t [ ( )] [ ( )] ( ) 是 的一个原函数,且
1O)y(=F[(D=F[(月)-F[(a)=F(b)-F(a) f(r)dx=,fLo(]o'(tdt 此式称为定积分的换元公式 在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题 1)所选择的代换式x=(p()必须满足定理中的两个条件; (2)换元积分的关键是换限记住“上限对上限,下限对下限” (3)求出1()()一个原函数()=F()后不必象 求不定积分那样把q()还原成x的函数,而只须直接将t 的上、下限代入相减即可
5 f t t dt [ ( )] ( ) = ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt = ——此式称为定积分的换元公式. (3) 求出 f t t t F t [ ( )] ( ) = 的一个原函数 ( ) [ ( )] F t [ ( )] = − = − F F F b F a [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题: (1) 所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”; 求不定积分那样把 (t)还原成 x 的函数, 而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可. 后,不必象
例12当a>0时,计算()a 1+ 解令x=t2(t≥0),则有t=√x,dkx=2lh,且 x=0,t=0,x=a,t=√a 故 o1+√x 01+t a (1-,)t=2[t-ln(1+) 1+ 2va-In(1+va) 挂主接
6 例12 当 a > 0时, 计算 0 (1) 1 a dx + x 2 解 令 则有 且 ( 0), , 2 , x t t t x dx tdt = = = 0 1 2 (1 ) 2[ ln(1 )] 1 0 a a dt t t t = − = − + + x t x a t a = = = = 0, 0, , 0 0 2 1 1 a a dx t dt x t = + + 故 = − + 2[ ln(1 )] a a
(2)VG2-y2 解令x= asin t,有√a2-x2= a cos t,d= a cos tdt 且x=0,t=0; dx=2 acost. a cos tdt=a cos tdt 0 0 1+cos 2t (2t +sin 2t) 4 注1由几何意义知,此定积分a2-x即为圆
7 2 2 解 令 有 sin , cos , cos x a t a x a t dx a tdt = − = = 0, 0; , 2 x t x a t 且 = = = = 2 2 0 (2) a a x dx − 2 2 2 2 0 0 a t a tdt a tdt cos cos cos = = 2 2 0a a x dx − 2 20 1 cos 2 2 t a dt + = 2 2 1 2 (2 sin 2 ) 4 4 0 a t t a = + = 注1 由几何意义知, 此定积分 即为圆 2 2 0a a x dx −
x2+y2=a2在第象限的面积 y 性质1设f(x)在[-a,a上连续,则 a f(x」2(x)h,当(x)为偶函数时 0,当f(x)为奇函数时 证因∫(x)=f(x)h+/x (1)若为f(x)偶函数,则有f(x)=f(-x) 令x=-,则dx=-d,且」f(x)d=J()d(-)
8 2 2 2 x y a + = 在第Ι象限的面积. 性质1 设ƒ(x)在[−a, a]上连续, 则 0 2 ( ) , ( ) ( ) 0, ( ) a a a f x dx f x f x dx f x − = 当 为偶函数时 当 为奇函数时 证 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx − − = + 因 (1)若为ƒ(x)偶函数, 则有ƒ(x)=ƒ(− x) 令x = −t, 则 d x = −d t, 且 0 0 ( ) ( ) ( ) a a f x dx f t d t − = − −
f(t)dt= f(x)dx 从而」。(x)=(x)+x PJf(x)dx (2)若为f(x)奇函数,则有f(x)f(-x) 则dx=-dt,且 f(x)dhx=f(-1)d(-1) 从而」f(x)k=-J/(x)+/(x)d=0
9 从而 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx − = + 0 0 ( ) ( ) a a = − = f t dt f x dx (2)若为ƒ(x)奇函数, 则有ƒ(x)=−ƒ(− x) 令x = −t, 则 d x = −d t, 且 0 0 ( ) ( ) ( ) a a f x dx f t d t − = − − 0 0 ( ) ( ) a a = = − f t dt f x dx 从而 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a a a a f x dx f x dx f x dx − = − + = 0 2 ( ) a = f x dx
注2利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算 例13计算)J2 x(arctan x)cos 2x dx 解(1)被积函数为奇函数.则原式=0 (2)被积函数为偶函数,故」a+x)2(+x) 令x=tanu,则(1+ sec u dx=sec udu 且x=0.u=0.x=1l cos uau (1 x sec u
10 注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算. 例13 计算 27 4 2 1 2 2 2 1 2 (arctan ) cos 2 (1) (2) 5 (1 ) x x x dx dx x x − − − + 解 (1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0. 1 1 2 2 2 2 1 0 2 (1 ) (1 ) dx dx x x − = + + 令x = tanu, 则 2 dx udu = sec 0, 0, 1, 4 x u x u 且 = = = = (2) 被积函数为偶函数, 故 1 2 4 2 2 4 1 0 1 1 2 sec (1 ) sec dx udu x u − = + 2 4 0 2 cos udu = 2 2 4 (1 ) sec + = x u
