§4.4函数的极值与最值 设函数y=f(x)在a,b内图形如下图: 在5处的函数值f(51)比它附近各点的函数值都要小 而在52处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且 f()>f(2)将这样的点称为极小值点、极大值点
1 o x y y= ƒ(x) M m 1 2 a b §4.4 函数的极值与最值 设函数y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图: 1 1 在 处的函数值 f ( ) 比它附近各点的函数值都要小; 2 2 而在 处的函数值f ( ) 比它附近各点的函数值都要大; 1 2 f( ) f( ). 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者, 而且 将这样的点称为极小值点、极大值点
函数的极值 1极值的定义 定义1设y=f(x)在邻域U(xn6)内有定义,x∈U(xn,5)恒有 (1)f(x)>f(x),则称f(x)为函数∫(∞)的极大值 x0称为f(x)的极大值点 (2)f(x)>f(x),则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x称为f(x)的极小值点 我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与 极小值点统称极值点 极小值极值/极大值点 极值(极大值 极小值点
2 一.函数的极值 1.极值的定义 定义1 设 y =ƒ(x) 在邻域 U(x0 , ) 内有定义， 恒有 0 0 x U(x , ) 0 (1)f(x ) f(x), 则称 f (x0 )为函数ƒ(x)的极大值. x0称为ƒ(x)的极大值点. 0 (2) f (x) f (x ), 则称 为函数ƒ(x)的极小值. 0 f (x ) 称为ƒ(x)的极小值点. 0 x 极 大 值 极 值 极 小 值 极 大 值 点 极 值 点 极 小 值 点 我们将函数的极大值与极小值统称极值, 极大值点与 极小值点统称极值点
M 问题:请指出右图中的极值及极值点 y-f( 2.极值与最值 由极值定义知:极值是函数 的局部性态.即只是函数在一个 邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a,b)的内点处取得 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间{a,b的整 体性态,不仅可在{a,b的内点取得,也可在[,b的端点取得 一个函数可能有若千个极小值或极大值.而且5处极小值 却比2处的极大值还大 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值
3 问题:请指出右图中的极值及极值点. o x y y= ƒ(x) M m 1 2 3 a 2.极值与最值 b 由极值定义知: 极值是函数 的局部性态. 即只是函数在一个 邻域内最大的值和最小的值, 故它只可能在(a, b)的内点处取得. 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a , b]的整 体性态, 不仅可在[a, b]的内点取得,也可在[a, b]的端点取得. 一个函数可能有若干个极小值或极大值. 而且 处极小值 却比 处的极大值还大. 1 2 但在定义区间内却最多只有一个最大最小值
狂点的定义 导数为零的点(即方程f(x)=的实根),称为函数f(x)的驻点 如y=x2:y=2x=0有x=0则x=0为”=x2的驻点 4极值的必要条件 定理8(极值的必要条件设函数y=f(∞)在点x处可导.若x为 的极值点.(即f(x)为极值)则x为函数的驻点即f(x)=0) 证设f(x)为极值(不妨设为极大值),则必存在x的一个邻域 U(x0,),当x0+Ax∈U/(x,δ)时有f(x+Ax)-f(x0)<0 f(xn)≥0且f(x0)≤0f'(x0)=0 注1.可导函数的极值点必是它的驻点 从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是 与x轴平行的(罗尔定理)
4 f (x) 0 2 如 y x 0 x 0 f (x ) 0 x 0 U( x , ), 0 0 x x U (x , ) 0 0 f (x x) f (x ) 0 导数为零的点(即方程 的实根), 称为函数ƒ(x)的驻点. 2 则 x 0 为y x 的驻点. 4.极值的必要条件 证 当 时有 0 0 f (x ) 0 f (x ) 0 且 0 f ( x ) 0 注1.可导函数的极值点必是它的驻点. 定理8(极值的必要条件)设函数 y =ƒ(x) 在点 处可导. 若 为 的极值点. (即 为极值). 则 为函数的驻点(即 ) 3.驻点的定义 y 2 x 0有x 0 0 x 设 为极值(不妨设为极大值), 则必存在 的一个邻域 f(x) 0 0 f (x ) 0 x 从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是 与 x 轴平行的.(罗尔定理)
注2.对可导函数来说,驻点不一定是极值点 即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值.如 f(x)=x3→f(0)=0则x=0为f(x)=x3的驻点 如图:x=0不是f(x)的极值点 结论:对于可微函数来讲“极值点一定是 y 驻点,但驻点却不一定是极值点”.从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中 注3函数y=x我们已知x=0是函数的连续不可导点但x=0 是函数的极小值点 J = 实际上,连续不可导点也可能是极值点 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.0
5 注2. 对可导函数来说, 驻点不一定是极值点. 即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如 3 f (x) x f (0) 0 3 则 x 0 为f (x) x 的驻点 如图 : x 0 不是f ( x)的极值点. 结论: 对于可微函数来讲“极值点一定是 驻点, 但驻点却不一定是极值点 ”.从而 其极值点必在其导数为0的那些点之中. 注3.函数y=|x|. 我们已知 x = 0是函数的连续不可导点.但x = 0 是函数的极小值点. o x 3 y x y o x y y=|x| 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值
因此寻求极值点的方法 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找 5判定极值的第一充分条件 定理9(判定极值的第一充分条件设函数y=f(x)在U(x0,) 内连续,在U(x,6)(或U(x,。))内可导 (1)若当x∈(x-,x)时f(x)>当x∈(x1,x+6)时, ∫(x)0.则x为极小值点;f(x)为f(x)的极小值′ 六人 (3)若当x∈U(xn,6,)时,f(x)保号,则x不为极值点 证由极值的定义及定理8可证
6 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找. 定理9(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导. 0 U(x , ) 0 U(x , ) 0 0 U(x , ) 0 0 0 0 0 0 (1) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x 若当 时 当 时, 则 为极大值点； 为 的极大值 5.判定极值的第一充分条件 因此寻求极值点的方法: 0 0 0 0 0 0 (2) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x 若当 时 当 时, 则 为极小值点； 为 的极小值 0 0 (3)若当xU(x ,,) 时, f(x) 保号,则x 不为极值点. 证 由极值的定义及定理8可证
此定理可简单叙述为:设为连续函数f(x)的可能极值点, 若f(x在x的两侧保号,则x不是f(x)的极值点, 若当x从x左侧变到右侧时,f(x)变号,则x为f(x)的极 值点 因此求极值的一般步骤为: (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值 例21求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值 解定义域为(-∞,+∞) f(x)=2(x-1)(x-2)3+3(x-2)(x-1)2=(x-1)(x-2)2(5x-7)
7 因此求极值的一般步骤为: 0 x 0 x f (x) 0 x f (x) 0 x 0 x 例21 求函数 的极值. 2 3 f(x)(x1) (x2) 此定理可简单叙述为: 设 为连续函数ƒ(x)的可能极值点, 若当x从 左侧变到右侧时, 变号, 则 为ƒ(x)的极 值点. 若 在 的两侧保号, 则 不是ƒ(x)的极值点, (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值. 解 定义域为 ( , ) 3 2 2 2 f (x) 2(x 1)(x 2) 3(x 2) (x 1) (x 1)(x 2) (5x 7)
由(x)=0得f(x)的三个驻点=,。7 253=2无连续不可导点 这三个点将(,+)分为四个子区间(∞,1)(,)(,2),(2,+∞) 列表讨论如下 x)+ 0 f(x) 极大值 极小值 无极 108 f(1)=03)=-3125 值 故函数有极大值f(1)=0.函数有极小值∫ 108 3125 例22求函数f(x)=(x-1)x2的极值 此函数的单调性在例17中已讨论,现重新列表如下:
8 1 2 3 7 ( ) 0 ( ) 1, , 2 . 5 由f x 得 f x 的三个驻点 x x x 无连续不可导点 7 7 (- , ) (- ,1),(1, ),( ,2),(2, ). 5 5 这三个点将 分为四个子区间 x 1 2 + 0 – 0 + 0 + ƒ(x) 极大值 ƒ(1)=0 极小值 无极 值 (,1) 7 (1, ) 5 7 5 7 ( , 2) 5 (2,) f (x) 7 108 ( ) 5 3125 f 故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值 7 108 ( ) . 5 3125 f 例22 求函数 的极值. 3 2 f (x) (x 1) x 此函数的单调性在例17中已讨论, 现重新列表如下: 列表讨论如下 :
(-∞,0) 0 f(x)+不存在 f(x) 极大值0 极小值-325 故函数有极大值∫(0)=0.函数有极小值 34 ∫() 525 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用 下面定理来判定∫(x)在驻点处取得极大值还是极小值
9 (, 0) 2 (0, ) 5 2 5 2 ( , ) 5 x 0 + 不存在 – 0 + ƒ(x) 极大值0 极小值 f (x) 3 3 4 5 25 故函数有极大值 ƒ(0) = 0. 函数有极小值 3 2 3 4 ( ) . 5 5 25 f 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时, 也可用 下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值
6函数极值的第二充分条件 定理10设函数y=f(x)在点x。处的二阶导数存在,若 f(x)=0且∫"(x0)≠0则x是函数f(x的极值点;f(x) 为函数的极值.且 (1)当"(x)>0时则x为极小值点f(x)为极小值 (2当f(x)<0时则x为极大值点f(x)为极大值
10 6.函数极值的第二充分条件 定理10.设函数 y = ƒ(x)在点 处的二阶导数存在, 若 且 则 是函数ƒ(x)的极值点; 为函数的极值. 且 0 x 0 x 0 f(x )0 0 f (x ) 0 0 0 (1)当f(x )0时,则x 为极小值点; f(x ) 为极小值. + – 0 f ( x ) 0 0 0 0 (2)当f(x ) 0 时,则x 为极大值点; f(x ) 为极大值