§24极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 极限存在准则 准则I(夹逼定理)若∈U(x0,6)(或x|>M), 均有g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=liml(ax)=A 则有limf(xy)=A
1 §2.4 极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 一.极限存在准则 准则І (夹逼定理) 若 , 均有 0 0 x U x x M ( , ) ( ) 或 则有 lim ƒ(x) = A. g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A
证明由limg(ax)=limh(x)=A,对E>0,则总存 在那么一个时刻在此时刻以后,同时有 lg(x)-A|<ε与|h(x)-4<E成立,即 A-E<8(x)<A+e A-e< h(x)<A+& 而g(x)≤f(x)≤h(x), 则A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 从而在此时刻以后,就有|f(x-A|<ε,故 lim f(x=a 对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字对 于数列,定理仍成立
2 证明 由lim g(x) = lim h(x ) = A, 对 则总存 在那么一个时刻,在此时刻以后, 同时有 0, | g(x) – A| < ε 与 | h(x) – A| < ε 成立, 即 A – ε < g(x) < A + ε 与 A – ε < h(x) < A + ε 从而在此时刻以后, 就有 | ƒ(x) – A|< ε , 故 lim ƒ(x) = A. 而 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x), 则 A – ε < g(x) ≤ƒ(x) ≤ h(x) < A + ε 对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字.对 于数列, 定理仍成立
例15.利用夹逼定理证明 1).Iima=1;(2),im_n=0 →n! 证(1)令巛n=1+x,则n=(+xn)"; n 而n=1+nx.+ 2xn2+…+x>如h (n-1) 2 →0<x →limx.=0 n →lim巛n=lim(1+xn)=1. n→0 证(2)m≤n!≤m"→sn,s n n 而Iim-=0,lim 0 n→0n n→Q n I
3 例15. 利用夹逼定理证明 1 (1).lim 1; (2).lim 0 ! n n n n n → → n = = 1). 1 , (1 ) n n 证 n x n x = + = + n n ( 令 则 ； 2 2 ( 1) ( 1) 1 2! 2 n n n n n n n n n n nx x x x − − 而 = + + + + 2 2 2 0 lim 0 1 1 n n n n x x x n n → = − − lim lim(1 ) 1. n n n n n x → → = + = (2). ! n n 证 n n n 1 1 1 ! n n n n 1 1 lim 0, lim 0 n n → → n n 而 = = 1 lim 0 ! n n → n =
准则I(单调有界准则)若数列{an}单调有界,则iman n→0 存在 其理论证明(略).从几何上说明: 若an单增,an有两种可能,即移向无穷远或无限接 近某一定点A,因an有上界M,则ma存在且不超过M A 若{an}单减,{an}有两种可能,即移向负无穷远或无 限接近某一定点A,因{an}有下界M,则 lim a存在且不 n→0 小于M
4 若{an } 单减,{an }有两种可能, 即移向负无穷远或无 限接近某一定点A, 因 {an }有下界M, 则 存在且不 小于M. M A • • • • • • • • • • 准则ІІ (单调有界准则) 若数列 {an } 单调有界, 则 lim n n a → 若 an 单增, an 有两种可能, 即移向无穷远或无限接 近某一定点A, 因 an 有上界M, 则 存在且不超过M. lim n n a → o 1 a 2 a A lim n n a → 1 a 2 a o M 其理论证明(略).从几何上说明: 存在
如数列{}及{"}分别是单调减少且下界 n+1 为1及单调增加且上界为1的数列, 由准则I知mm及im 存在.实际上 n-)oo n n-0n+1 lim n+I l。Iim n+1
5 如数列 1 { } n n + { } 1 n n + 由准则ІІ 知 1 lim lim n n 1 n n → → n n + + 及 1 lim 1, lim 1. n n 1 n n → → n n + = = + 及 分别是单调减少且下界 为1及单调增加且上界为1的数列, 存在. 实际上
二两个重要极限 sIna (D).lin x→)0 lm△(c0型,三统一)或mAc”三统) SIn 从而可求lim lim sin 3x lim sink 2x x→0 x→>02x sInx 证明因f(x) f(-x) 故只须讨论x>0的情形. 在如右图的单位圆中,设∠AOB=x(0<x 而△AOB面积<扇形AOB的面积<△AOD的面积 从而 sinx<=x<=tanx= sin x <x< tanx(0<x 2 2
6 二.两个重要极限 0 sin (1).lim 1 x x → x = 0 sin 0 lim (" " , ) → 0 型 三统一 或 1 sin 0 lim (" " , ) → 1 0 型 三统一 从而可求 0 0 0 sin sin3 sin3 lim ; lim ; lim . x x x 2 2 xxx → → → x x x 1 A o C B D ˘ ›x 证明 因 sin ( ) ( ) x f x f x x = = − 故只须讨论 x > 0 的情形. 在如右图的单位圆中, 设 (0 ) 2 AOB x x = 而ΔAOB的面积 < 扇形AOB的面积 < ΔAOD的面积 从而 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x sin tan (0 ) 2 x x x x
同除以sin得1 1→c0sx0 从而lim(1-x)=0→lim sInd x→0 x→)0 tan x 例16.求(1)lim 解limx= lim sinx.1 0C A→0 Cosx 1-cos x (2)im using SIn SIn cos x 解lim lim -lim lim x→0 x→0y 2x-0 2x->0x 2
7 从而 1 sin 1 cos 1 sin cos x x x x x x 2 sin 2 2 0 1 1 cos 2sin 2 ( ) 0 2 2 2 x x x x x x − − = = → 0 0 sin sin lim(1 ) 0 lim 1 x x x x → → x x − = = 例16. 求 0 tan (1).lim ; x x → x 同除以 sinx 得 故 2 0 1 cos (2).lim ; x x → x − 0 0 tan sin 1 . lim lim 1 x cos x x → → x x x 解 = = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2sin sin sin 1 cos 1 1 1 2 2 2 lim lim lim [lim ] 2 2 2 ( ) 2 2 x x x x x x x x → → → → x x x x − 解 = = = =
(3)lim x-; → 解 lim x sin-=lim x→0 (4). lim Sin 2x x→>0y-cosx 解lin sin 2x sin 2r 1 n alim 4 x→0x2cosx"x→0(2x)2cosx x-tanx (5).im x→>0x+tanx n x-tan x 解lim lim 0 x→0x+ tanxi→+0,,tanx arcsin (6).lim x->03x 解 lim-令t= arcsin rlim x→>03x t→>03sint3
8 2 2 0 sin 2 (4).lim ; x cos x → x x 1 (3)lim sin ; x x → x 1 sin 1 lim sin lim 1 x x 1 x x x x → → 解 = = 0 tan (5).lim ; x tan x x → x x − + 2 2 2 2 0 0 sin 2 sin 2 1 lim 4lim 4 x x cos (2 ) cos x x → → x x x x 解 = = 0 arcsin (6).lim . x 3 x → x 0 0 tan 1 tan lim lim 0 tan tan 1 x x x x x x x x x x → → − − = = + + 解 0 0 arcsin 1 lim arcsin lim x t 3 3sin 3 x t t x → → x t 解 令 = =
lim(1+ lim(1+)("1型,三统一)或m(+4)4(""型,三统一) △→>0 考虑x取正整数n且趋于∞时的情形.下先证 im(1+1y存在 n→0 n(n an=(1+-)"=1 n(n-1)…2.11 n 2!n2 2 n 1+1+ … n3! n n 同理an+1=(1+ =1+1+(1l n+1 n+13 n+1 n+1 n+1n+1 ×人1 (n+1)!n+1n+1 n+1
9 1 2.lim(1 )x x e → x + = 1 lim(1 ) ("1 " ) → + 型，三统一 或 1 0 lim(1 ) ("1 " , ) → + 型 三统一 考虑 x 取正整数 n 且趋于 ∞ 时的情形. 下先证 存在. 1 lim(1 )n n→ n + 2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2 1 1 (1 ) 1 1! 2! ! n n n n n n n n a n n n n n − − = + = + + + + 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! 3! ! n n n n n n n n − = + + − + − − + + − − − 同理 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 ) 1 1 (1 ) (1 )(1 ) 1 2! 1 3! 1 1 n n a n n n n + + = + = + + − + − − + + + + 1 1 2 1 1 1 2 (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) ! 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 n n n n n n n n n n − + + − − − + − − − + + + + + + +
k 因 l(k=1,2,…,n-1) n n+1 且an1多了最后一项,从而{an}单增.对任意的n 1+1 3 <11 122.3 (n-1)n 1+1+(1-)+ 23 3 3 故{an}有上界,从而im(1+)存在 注:这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理 数,其值用e=2.7182818284…)来表示,即 lim(1+-)=e 少
10 从而 因 1 1 1 ( 1,2, , 1) 1 k k k n n n − − = − + n 1 a + 对任意的n有 1 1 1 1 1 2! 3! ! 1 1 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 3 3. an n n n n n n + + + + + + + + + + − + + − + − + + − − = − 故{an } 有上界, 1 lim(1 )n n→ n + 且 多了最后一项, 从而 {an } 单增. 注:这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理 数, 其值用e = 2.7182818284……)来表示, 即 1 lim(1 ) . n n e → n + = 存在