第五章不定积分 §5.1不定积分的概念和性质 §5.2基本积分表 §5.3基本积分法 §5.4有理函数及三角函数有理式的积分
1 第五章 不定积分 §5.1不定积分的概念和性质 §5.2基本积分表 §5.3基本积分法 §5.4有理函数及三角函数有理式的积分 cos xdx ?
第五章不定积分 回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数 那么,如果已知一个函数的导数,要求原来 的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产 生了积分学 积分学包括两个基本部分:不定积分和定积 分.本章研究不定积分的概念、性质和基本积分 方法
2 第五章 不定积分 回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.” 积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积 分. 本章研究不定积分的概念、 性质和基本积分 方法.那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来 的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产 生了积分学
§5.1不定积分的概念和性质 一原函数的定义 问题:若某一函数的导数为f(x),求这一个函数 设这函数为F(x),则F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)kx 定义1设f(x)定义在区间上,若存在函数F(x),x∈l,有 F'(x)=f() dF(x)=f(x)dx 则称F(x)是已知函数f(x)在该区间/上的一个原函数 例设f(x)=cosx,则F(x)= SInx. sinx sinx+O
3 问题: 若某一函数的导数为ƒ(x), 求这一个函数. 设这函数为F(x), 则 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx. 则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数. x I, F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx. 例 设ƒ(x) = cos x, 则F(x) = sinx, sinx–1, … , sinx+C. 一.原函数的定义 定义1 设ƒ(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 有 §5.1 不定积分的概念和性质
回题:1原函数存在的条件? 2原函数的个数? 3不同的原函数之间的关系? 定理1若函数f(x)在区间/上连续,则f(x)在区间上的原函 数一定存在 (证明略) 定理2设F(x)是函数f(x)在区间上的一个原函数,则对任 何常数C,F(x)+C也是函数f(x)的原函数 证因(F(x)+C)=F(x)=f(x) 注:f(x)有无限多个原函数它们之间相差一个常数C即有
4 定理1 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函 数一定存在. (证明略) 问题: 1.原函数存在的条件? 2.原函数的个数? 3.不同的原函数之间的关系? 定理2 设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数, 则对任 何常数C , F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数. 证 因 注:ƒ(x)有无限多个原函数.它们之间相差一个常数C.即有 (F(x) C) F(x) f (x)
定理3设F(x)和G(x)都是函数f(x)的原函数,则 F(x)-G(x)≡C(常数) 证:(F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0 由拉格朗日定理知Px)-(x)=(常数 注:当C为任意常数时,F(x)是f(x)的一个原函数,则表达 式F(x)+C可表示f(x)的任意一个原函数,即fx)的全 体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+(<c<+ 二不定积分的定义 定义2函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分.记为 ∫f(x)k
5 定理3 设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数, 则 F(x) – G(x) ≡ C (常数) 证 (F(x) G(x)) F(x)G(x) f(x) f(x) 0 由拉格朗日定理知 F(x)G(x) C(常数) 注: 当C为任意常数时, F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达 式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的任意一个原函数, 即ƒ(x) 的全 体原函数所组成的集合. 就是函数族 {F(x)Cc}. 二.不定积分的定义 定义2 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分. 记为 f (x)dx.
下其中称为积分号,f(x)称为被积函数,x称为积分变量 f(x)dx称为被积表达式 结论若F()是函数(一个原函数,则(x)k=F(x)+C 从而函数f(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任意 常数C,并称C为积分常数.从而| cos xdx=sinx+C 例1求下列不定积分 ) jsin xdx解∫snxh=-osx+C 2)2xdx解「2x yJxd解∫xa= a+1 +c 1+a
6 结论: 若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数, 则 从而函数ƒ(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任意 常数C, 并称C为积分常数. 从而 f (x)dx F(x) C. cos xdx sin x C. 例1 求下列不定积分 其中 ∫称为积分号, ƒ(x)称为被积函数, x称为积分变量, ƒ(x)d x 称为被积表达式. (1) sin xdx sin xdx cos x C 解 2 2xdx x C 解 (2) 2xdx (3) x dx 1 1 1 x dx x C 解
解 arctan+C 1+x 5 解 注1.求不定积分就是被积函数的一个原函数 注2.不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不 要忘记积分常数C 注3求不定积分的方法称为积分法 例2已知f(x)=km2x的一个原函数是2/3ncos2x,求常数k sin 2x 解∵( In cos 2x) tan2x=ktan2x=f(x)∴k coS 2x
7 2 (4) 1 dx x 2 arctan 1 dx x C x 解 (5) dx x ln dx x C x 解 注1.求不定积分就是被积函数的一个原函数. 注2.不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不 要忘记积分常数C. 注3.求不定积分的方法称为积分法. 例2 已知ƒ(x) = ktan2 x的一个原函数是2/3lncos2 x, 求常数k. 2 ( lncos2 ) 3 解 x 2 2sin 2 3 cos 2 x x 4 tan 2 3 x k tan 2x f (x) 4 . 3 k
例3∫()=F()+C证J(a+0=(a++C (a,b为常数且a≠0) 证由[(x)=F()+C知 F(x)是x)的一个原函数,满足F(x)=f(x) F(ax+6)+c=-F(ax +b)xa =F(ax+6)=f(ax+b) F(ax+b)+C是f(ax+b)的全体原函数 于是 f(ax+b)dx=I F(ax+b)+C
8 例3 f (x)dx F(x) C, 设 1 f (ax b)dx F(ax b) C. a 证 f (x)dx F(x) C 1 f (ax b)dx F (ax b) C a 于是 F(x)是f(x)的一个原函数，满足 证 由 知 F '(x) f (x) 1 1 [ F(ax b) C]' F '(ax b) a a a F '(ax b) f (ax b) 1 F(ax b) C f (ax b) a 是 的全体原函数 (a, b为常数且a≠0)
三不定积分的几何意义 y=F(x)函数f(x)的一个原函数,称y=F(x)的图形是 f(x)的一条积分曲线 而∫八x)k是fx)的原函数一般表达式,所以它对应的图形 是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是 (1)积分曲线族中任意一条曲线可y 由其中某一条(如y=F(x)沿y轴平行| 移动l个单位而得到 y=F() (如图)当c>0时,向上移动;当c<0时, 向下移动
9 三.不定积分的几何意义 y = F(x )函数ƒ(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形是 ƒ(x)的一条积分曲线; 而 是ƒ(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形 是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是: f (x)dx (1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行 移动|c|个单位而得到. (如图)当c>0时, 向上移动; 当c<0时, 向下移动. o x y x { y=F(x) |c|
(2)∵(F(x)+C)’=F'(x)=f(x) 即横坐标相同点处,每条积分曲线上 y=F(x) 相应点的切线斜率相等,都为f(x) 从而相应点的切线相互平行 注4:当需要从积分曲线族中求出 过点(x0,y0)的一条积分曲线时, 则只须把(x02y)代入y=F(x)+C中解出C即可
10 o x y x y=F(x) (2) (F(x) C) F(x) f (x) 即横坐标相同点处, 每条积分曲线上 相应点的切线斜率相等, 都为ƒ(x) . 从而相应点的切线相互平行. 注4:当需要从积分曲线族中求出 过点 的一条积分曲线时, 则只须把 代入y = F(x) + C中解出C即可. 0 0 (x , y ) 0 0 ( x , y )