§3.6函数的微分 讨论导数,即讨论imA的极限是否存在,而不 是研究改变量本身.实践中,我们关心的是:当 自变量x有微小改变量Ax时,函数y相应的改变量 Ay与Ax有何关系,大小又如何? 先看一个实际例子:正方形的边长由x变到x+Ax 时,其面积改变多少?由S=x2知: △S=S(x+△x)-S(x)=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2
1 讨论导数, 即讨论 的极限是否存在, 而不 是研究改变量本身. 实践中, 我们关心的是: 当 自变量 x 有微小改变量Δx 时, 函数 y 相应的改变量 Δy 与 Δx 有何关系, 大小又如何？ 0 lim x y → x §3.6 函数的微分 先看一个实际例子: 正方形的边长由 x 变到 x+Δx 时, 其面积改变多少？由 S = x2 知: 2 2 2 = + − = + − = + S S x x S x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 2 ( )
显然AS分成两部分:2x和(4x)2而2x4x是Ax的 线性函数,(4x)2是当Ax→>0时比Ax高阶的无穷小 即(x)2=0(x). 由此可见:当Ax→0时,(4x2比2Ax小得多几 乎可忽略不计;从而用2xAx近似代替AS几乎可 忽略不计;从而用2c4x近似代替AS并且把2xx叫 做正方形面积S=x2的微分 X△x
2 x 2 S x = xΔx } Δx 2 x 显然ΔS分成两部分: 2xΔx和(Δx)2 . 而 2xΔx 是Δx 的 线性函数, (Δx)2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小, 即 (Δx)2 = o(Δx). 由此可见: 当 Δx→0 时, (Δx)2 比 2xΔx 小得多,几 乎可忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.几乎可 忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.并且把2xΔx 叫 做正方形面积 S = x2 的微分. xΔx
微分的概念 定义7设函数y=(x)在x的某邻域内有定义,且当自 变量有增量Ax时,如果函数的增量4可表为 Ay=AAx +o(4x) 其中A是不依赖于4x的常数.则称∫(x)在点x处可 微;称△y的线性(当A≠0时称为线性主要)部分AAx为 函数y=f(x)在点x的微分.记为 dy=df=Adx 问题:y=f(x)在什么条件下才可微呢?A与f(x)有何关 系呢? 定理6.函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是y=f(x) 在点x处可导,且A=f(x,从而有小y=f(x)x
3 其中 A 是不依赖于Δx 的常数. 则称 ƒ(x) 在点 x 处可 微;称Δy的线性(当 A ≠ 0 时称为线性主要)部分 AΔx 为 函数 y = ƒ(x) 在点x处的微分. 记为 定理6. 函数 y = ƒ(x)在点 x 处可微的充要条件是 y = ƒ(x) 在点 x 处可导, 且 A = f′(x), 从而有 dy = f′(x)Δx 定义7.设函数 y =ƒ(x) 在 x 的某邻域内有定义, 且当自 变量有增量 Δx 时, 如果函数的增量 Δy 可表为 Δy = AΔx + o(Δx) d y = dƒ = AΔx 问题 : y = ƒ(x)在什么条件下才可微呢？A与ƒ(x)有何关 系呢？ 一.微分的概念
证"→"∵y=f(x)在点x可微4y=AAx+o(△) △x(△x) △ f(x=lim y A的=f(x)△x △v ∈=n:r(x)=limA有lmA-r(x)=0 △x→>0△x △r→>0 △ ∫(x)是一个关于△x的无穷小量 △ △ 设-f(x)=6(△x)(△x→0,B(△x)->0) 则=∫(x)△x+B(x)△x=f(x)△x+0(△x) y=∫(x)在x处可微 结论Ⅰ函数的可微性与可导性等价.即可微必可导, 可导必可微
4 证 " " ( ) =y f x x 在点 可微 = + y A x o x ( ) y o x ( ) A x x = + 0 ( ) lim x y f x A → x = = dy f x x = ( ) 0 " " ( ) lim x y f x → x = ( ) y f x x x − 是一个关于 的无穷小量 0 lim[ ( )] 0 x y f x → x − = 有 ( ) ( ) ( 0, ( ) 0) y f x x x x x − = → → 设 =y f x x ( ) 在 处可微. 则 ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + y f x x x x f x x o x 结论1 函数的可微性与可导性等价. 即可微必可导, 可导必可微
结论2若y=f(x)=x,则=t=∫(x)△x=(x)△x=△x 从而y=f(x)的微分又可记为=f(x)k→=f(x) 因而导数也称为微商. 结论3求函数的微分,可先求出函数的导数,再乘 以dx便可得函数的微分求导数与求微分的方法都叫 做微分法 例19.求函数y=3 rotan x (1)在x处的微分;(2)4x=0.01时的微分 (3)当x由2变到20时的微分 3 3dx 解(1)∵y 1+x 小y 1+x 3dx 2)d 0.03 △r=0.01 1+x △v=0.01 1+x
5 结论2 若 y =ƒ(x) = x, 则 dy dx f x x x x x = = = = ( ) ( ) ( ) ( ). dy dy f x dx f x dx = = 结论3 求函数的微分, 可先求出函数的导数, 再乘 以dx便可得函数的微分.求导数与求微分的方法都叫 做微分法. 从而 y =ƒ(x) 的微分又可记为 因而导数也称为微商. 例19. 求函数 y = 3arctan x (1) 在 x 处的微分; (2) Δ x = 0.01时的微分; (3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分. 2 3 (1) 1 y x = + 0.01 0.01 2 2 3 0.03 (2) 1 1 x x dx dy x x = = = = + + 解 2 3 1 dx dy x = +
3dx 0.03 (3)dy 0.006 1+x △v=0.01 △=0.01 例20求函数y=5y的微分 解∵y'=5 In5[n(tanx) 5nx)n5·cotx.sec2x dy=5 n(tanx) In 5. cot x. sec2xdx
6 2 2 2 0.01 0.01 3 (3) 1 x x x x dx dy x = = = = = + 例20.求函数 的微分. ln(tan ) 5 x y = 解 ln(tan ) ln(tan ) 2 5 ln5 [ln(tan )] 5 ln5 cot sec x x y x x x = = 0.03 0.006 5 = = ln(tan ) 2 5 ln5 cot sec x = dy x xdx
微分的几何意义 曲线y=f(x)在点M的横坐标x有一个 改变量Δx时,MN=dx,PN=△y, NK= M tan a=∫(x)小x=小yy y=f(x 则相应的微分中就是曲线过点 (x+ AX. V+Ay) M的切线的纵坐标的相应增量 (r, y) 当x很小时,py-=PK比 x小得多.故当x→O时,可“以 x+△x 直代曲”—总可以用切线段MK 去代替曲线弧MP,用MK=小去近似 代替NP=^y
7 } 曲线y = ƒ(x) 在点 M 的横坐标 x 有一个 改变量Δx时, MN = dx, PN = Δy, o x y y =ƒ(x) } K (x,y)M (x+Δx , y+Δy) P x x+Δx dy N { Δy ›α ›α = = f x dx dy ( ) 二.微分的几何意义 当|Δx|很小时, |Δy – dy |=PK 比 |Δx|小得多. 故当|Δx|→0时, 可“以 直代曲”——总可以用切线段 MK 去代替曲线弧 MP, 用NK = dy 去近似 代替NP =Δy. NK = MN tan α 则相应的微分 dy 就是曲线过点 M 的切线的纵坐标的相应增量
要强调的一点是:根据函数增量与微分的关系可用微 下分来作近似计算.即 ∫(x+△x)-f(x)=y≈=∫(x)△x(△x→>0) 注由导数与微分的关系知,有一个导数公式就有一个 相应的微分公式 基本初等函数的微分公式 dc=0 d x= ax dx d log x d x dInx=-dx xIn a a na d x d e=e dx d sinx= cos xdx d cos x sInha d tanx=sec xdx d cot x=-csc xdx d sec x= sec x tan xdx d escx=-csc xcot xdx
8 需要强调的一点是: 根据函数增量与微分的关系可用微 分来作近似计算. 即 f x x f x y dy f x x x ( ) ( ) ( ) ( 0) + − = = → 注 由导数与微分的关系知, 有一个导数公式就有一个 相应的微分公式. 三.基本初等函数的微分公式 1 2 0 1 1 log ln ln ln sin cos cos sin tan sec a x x x x dC dx x dx d x dx d x dx x a x da a adx de e dx d x xdx d x xdx d x xdx − = = = = = = = = − = 2 cot csc sec sec tan csc csc cot d x xdx d x x xdx d x x xdx = − = = −
darc sin x dx darc cos x dx darc tan x darc cotx 1+x 1+x 四微分的四则运算 设函数u(x)与wx)在点x处可微,则 (d(u +v=du t dv (2)d(u'v)=vdu tudv vdu-udy (3)d (v(x)≠0) 五.复合函数的微分法则 设y=f(叫)与u=g(x)都可微则复合函数y=fp(x) 的微分为d=明()a=ro(x)p(x)k dx
9 (1) d(u ± v) = du ± dv (2) d(u·v) = vdu +udv 2 (3) ( ) ( ( ) 0) u vdu udv d v x v v − = 设 y = ƒ(u)与 u = φ(x) 都可微则复合函数 y =ƒ[φ(x)] 的微分为 2 2 2 2 1 1 sin cos 1 1 1 1 tan cot 1 1 darc x dx darc x dx x x darc x dx darc x dx x x = = − − − = = − + + 四.微分的四则运算 设函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处可微, 则 五.复合函数的微分法则 [ ( )] [ ( )] ( ) df x dy dx f x x dx dx = =
而n=q(x),则=p'(x)dx从而=f(n)dh 结论无论u是自变量还是自变量的可微函数,微分 形式Φ=∫{ωⅦ都保持不变,微分的这一性质称为微 分形式不变性 例21求下列函数的微分 (Dy=In(1-sin x); (2y=e cos 2x. 解()h=lm(-sinx2)=“(1=:x) (cos x ) dx -2x cos x 1-sinr sinx (2)dy=cos 2xde + d cos 2x e(3 cos 2x+ 2sin 2x )dc
10 du x dx = ( ) . dy f u du = ( ) . 结论 无论 u 是自变量还是自变量的可微函数, 微分 形式 dy = f′(u)du 都保持不变, 微分的这一性质称为微 分形式不变性. 例21.求下列函数的微分 2 3 (1) ln(1 sin ); (2) cos2 . x y x y e x − = − = 2 解 (1) ln(1 sin ) dy d x = − 3 3 (2) cos2 cos2 x x dy xde e d x − − = + 而 u = φ(x), 则 从而 2 2 (1 sin ) 1 sin d x x − = − 2 2 2 ( cos ) 1 sin x dx x − = − 2 2 2 cos 1 sin x x dx x − = − 3 (3cos2 2sin2 ) . x e x x dx − = − +