§6.3微积分学基本定理 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限但要想通过 求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难;下面 寻求一种计算定积分的非常简便的新方法—牛顿莱布 尼兹( Netwon- leibniz)公式计算法 积分上限函数 y=f(x 设f(x)在[a,b上连续,x∈[a,b 区间[a,x上方的曲边梯形的面积为 f(x)在区间[ax上的定积分f(x
1 §6.3 微积分学基本定理 由§6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过 求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面 寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 ——牛顿莱布 尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法. 一. 积分上限函数 设ƒ(x)在[a ,b]上连续, x a b [ , ], 区间[a, x]上方的曲边梯形的面积为 ƒ(x)在区间[a, x]上的定积分 ( ) . x a f x dx
为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数,并记为Φ(x),即 op(x) f(tat 注1Φ(a)=0,Φ(b)=f(x)x 定理5若f(x)在ab上连续,则(x)=J()在b上 可导,且(x)=”/(0=f(x) 证设x、x+△x∈[a,b,则有 x+△x △Φ(x)=①(x+△x)Φ(x f(odt-f(t)dt f(tdt 由积分中值定理得△(x)=f(△x(在x与x+△x之间) 当△x→0时,必有ξ→x,从而
2 为了区别积分变量与积分上限, 特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数, 并记为Φ(x),即 ( ) ( ) x a = x f t dt 注1 ( ) 0, ( ) ( ) . b a = = a b f x dx 定理5 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 则 ( ) ( ) 在[a, b]上 x a = x f t dt 可导, 且 ( ) [ ( ) ] ( ). x a = = x f t dt f x 证 设x、x+∆x ∈[a, b], 则有 ∆Φ(x)=Φ(x +∆ x)–Φ(x) ( ) ( ) ( ) x x x x x a a x f t dt f t dt f t dt + + = − = 由积分中值定理得∆Φ(x)=ƒ(ξ)∆ x(ξ在x与x +∆ x之间), 当∆ x →0时, 必有ξ→ x , 从而
a(x)=lim △Φ(x) lim f(s)=f(x) △x→>0△x →X 而Φ(a)=f(a,Φ’(b)=f(b) 故vxea61有(x)可导且(x)=(x)d=/x) 注2对于变上限的复合函数有以下两个推论 推论1若f(x)在[a,b上连续,(x)在[a,b上可导,则 d xja f(o)dt=flo(x)].'(x) (被积函数代积分上限且积分上限对x求导) 证变上限函数f(b可看成Y=,=(x)复合而成 则xJ(0b dydy du dxd.=f(u p(x)=fo(x)].o'(x)
3 lim ( ) ( ) x f f x → = = 而 ( ) ( ), ( ) ( ) a f a b f b + + = = 故 有 可导 x a b x [ , ], ( ) , 注2 对于变上限的复合函数有以下两个推论 0 ( ) ( ) lim x x x → x = ( ) [ ( ) ] ( ) x a = = x f x dx f x 且 推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则 ( ) ( ) [ ( )] ( ) x a d f t dt f x x dx = (被积函数代积分上限且积分上限对x求导) ( ) ( ) ( ), ( ) , x a f t dt Y u u x = = 证 变上限函数 可看成 复合而成 ( ) ( ) x a d dY f t dt dx dx = 则 = f x x [ ( )] ( ) dY du du dx = = f u x ( ) ( )
推论2若f(x)在[ab上连续,1(x)2(x)在[ab上可导, d,1m2(x)g(x)-/(x)q(x dx e(x) 证因/ (x) 1(x) f(t)dt f()dt- f(t)dt q1(x) 则 f(tdt=f[o2(x)] 2(x)-f[,(x)] (x) dx Je(x) 例7计算下列各题 ()o解a∫os:h=csx da Ja 解 d=,(-|ea) dl
4 推论2 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 1 2 ( ), ( ) x x 2 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x c c f t dt f t dt f t dt = − 因 例7 计算下列各题 2 0 (1) cos d x t dt dx 2 2 0 cos cos d x t dt x dx = 解 证 在[a, b]上可导, 则 2 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − 3 (2) x t a d e dt da 3 x t a d e dt da = 解 3 3 ( ) a t a x d e dt e da − = − 则
(3) sint dt 解 sIn t2t=sinx2-si(x2+1)2(x2+1) sin x- 2xsin(x +1) Te dt) (4)lim 0 x→ te- dt 解lin(bem)2 e ate Im x->0 xe lim = im x->0 +xe·2xx01+2x2
5 2 2 1 (3) sin x x d t dt dx + 2 2 1 sin x x d t dt dx + 解 2 2 2 0 0 2 0 ( ) lim x t x x t e dt te dt → 解 2 2 2 = − + sin 2 sin( 1) x x x 2 2 2 0 0 2 2 lim x t x x x e dt e xe → = 2 2 0 0 2 lim x t x x e dt xe → = 2 2 2 0 2 lim 2 x x x x e e xe x → = + 2 2 2 0 0 2 0 ( ) (4)lim x t x x t e dt te dt → 2 2 2 2 = − + + sin sin( 1) ( 1) x x x 2 0 2 lim 2 x→ 1 2x = = +
例8设以)是正值连续函数,f(x)=x=10)t,且 x∈[a,qa>0)证曲线y=f(x)在[-a,a]上是上凹的 证∵|x-4 xt≥x f(x)=(x-Do(dt+(t-x)p()dt p(tdt- tp(t dt+ to(tdt-x o(t)dt f(x)=o(Odt+xo(x)-xo(x)-=xo(x)-to( dt+xp(x) o(t)dt- to(t)dt f"(x)=(x)+q(x)=2(x)>0曲线在[aa上是上凹的
6 例8 设(t)是正值连续函数, ( ) ( ) , a a f x x t t dt − = − 且 x t t x x t t x t x − − = − 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a x f x t dt x x x x x x t t dt x x − = + − − − + 曲线在[–a, a]上是上凹的. x∈[– a, a](a>0).证曲线y =ƒ(x)在[– a, a]上是上凹的. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a x f x x t t dt t x t dt − = − + − ( ) ( ) x x a a x t dt t t dt − − = − ( ) ( ) a a x x + − t t dt x t dt ( ) ( ) x a a x t dt t t dt − = − f x x x x ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 = + =
注3由定理5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数 定理6(原函数存在定理) 若f(x)在[ab上连续,则o(x)=/(O是x)在ab上 的一个原函数 注4此定理既肯定连续函数的原函数的存在性,又揭示了 定积分与原函数的关系下面利用此定理来推导通过原函数 来计算定积分的公式 注注基出出往出
7 定理6 (原函数存在定理) ( ) ( ) x a = x f t dt 注3 由定理5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数. 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 则 的一个原函数. 是ƒ(x)在[a, b]上 注4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, 又揭示了 定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数 来计算定积分的公式
二.牛顿一莱布尼兹公式 定理7(微积分学基本定理)若f(x)在,b上连续,而 (x)是(x)在[ab]上的一个原函数,则 f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x) 证因Fx)与()2=J(OM均为(x)的原函数,所以有 Φ(x)=P(x)+C 由a)=,=0,得C=0a)F(a)=-F(a 于是Φ(x)=F(x)-F(a) x=b,则上式有Φ(b)=F(b)F(a)2故 f(dx= F(b)-F(a)=F(x
8 二. 牛顿—莱布尼兹公式 定理7 (微积分学基本定理) 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 F(x)是ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F b F a F x a = − = C =Φ(a)–F ( a)= –F(a), ( ) ( ) x a = x f t dt ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F b F a F x a = − = 证 因F(x)与 均为ƒ(x)的原函数, 所以有 于是 Φ(x)= F(x)–F ( a) 令x=b, 则上式有Φ(b) = F(b)–F(a), 故 Φ(x) = F(x) + C ( ) ( ) 0, a a = = a f t dt 由 得
注5上式就是牛顿莱布尼兹公式 由牛顿一菜布尼兹公式知:要求f(x)在[a,b上的定积分 f()tk,只须先求出f(x)在a,b上的一个原函数Fx).再 计算F(x)在[a,b上的改变量F(b)-F(a)即可 注6牛顿一莱布尼然公式当然也可广()=m 这样记.它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方 法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系
9 注5 上式就是牛顿—莱布尼兹公式. 由牛顿—莱布尼兹公式知: 要求ƒ(x)在[a, b]上的定积分 ( ) , b a f x dx 只须先求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x),再 计算F(x)在[a , b]上的改变量F(b) – F(a)即可. 注6 牛顿—莱布尼兹公式当然也可 ( ) ( ( ) ) b a b f x dx f x dx a = 它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方 法, 而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系. 这样记
例9计算下列定积分 x3adx解「x2ax 4 x解厂文=h In1-In 3=-In 3 (3)5xlx-t1dx 此定积分的被积函数含参数饼带绝对值.而t的 取值又无限制,它既可在[0,3]之内,也可在[0,3]之外, 故应分以下三种情况讨论: a)当1≤0时由x-120,得∫x=k=x(x-0)=9
10 例9 计算下列定积分 3 (1) b a x dx 1 3 1 (2) dx x − − 1 3 1 1 ln 3 dx x x − − − = − 解 4 3 4 b a x b x dx a = 解 1 4 4 ( ) 4 = − b a = − = − ln1 ln3 ln3 3 0 (3) x x t dx − 3 0 a t x t x x t dx ) 0 , 0, − − 当 时由 得 3 0 9 ( ) 9 2 = − = − x x t dx t 此定积分的被积函数含参数t并带绝对值. 而 t 的 取值又无限制,它既可在[0, 3]之内, 也可在[0, 3]之外, 故应分以下三种情况讨论: