目录 第I部分引论……………… 日。自单节自 第一章定义和基本不等式 2 s1.1定义 1.2基本不等式…………………………………5 第二章部分和的矩估计 2.1部分和的方差………………………………13 22进一步的不等式…………22 第I部分弱收敛…………………………………35 第三章a混合序列的弱收敛 37 氵3.1中心极限定理的充分必要条件…………37 §3.2中心极限宠理及弱不变原理的充分条件……………49 求3.3方差无穷时的中心极限定理与弱不变原理……60 第四章P混合序列的弱收敛 ●甲·4甲●中中司 4.12阶矩有限时的弱不变原理…………69 §4.2当高于2阶矩有限时的弱不变原理 74 §4.3当高于2阶矩有限时的一般化结果 …83 §4.4方差无穷时的弱收敛…………98 第五章g混合序列的弱收敛 §5.12阶矩有限时的弱不变原理… ●中早中·面节q自、由●导● 115 §5.2 Ibragimov-lnik- Josifescu猜测………………126 第六章混合相依随机场的弱收敛性………………………130 61混合相依随机场的中心极限定理………130 6.2有限维分布的收敛性………137 §6.3胎紧性( Tightness)………… ………147 第七章 Berry-Esseen不等式和弱收敛的速度………156 y7.1a混合和P混合序列依分布收敛的速度………156 §7.2g混合序列弱收敛的速度 …167
第I部分几乎必然收敛和强逼近……………………………174 第八章大数律和完全收敛性 175 §8,1弱大数律… ……175 §82强大数律…………………………181 8.3g混合序列的完全收敛性………… 184 §8.4混合序列的完全收效性……191 8.5a混合序列的完全收敛性…………………204 §8.6混合序列部分和的完全收敛性的进一步讨论…211 第九章强逼近……………………………………220 §9.1g混合序列的强逼近…………220 §9.2p混合序列的强逼近 226 s9.3a混合序列的强逼近………… 240 第章部分和的增量…………………………………245 §10.1几个引理………………………245 §10.2矩母函数存在时增量有多大…………252 §10.3矩母函数不存在时增量有多大…………………258 第十一章混合随机场的强逼近… 261 §1.19混合随机场的强逼近………"…262 s11.2a混合随机场的强遇近………273 第N部分相依样本的统计量…………………………………279 第十二章经验过程………………………………280 §12.1弱收敛 281 §12.2加权弱收斂…………286 §12.3强逼近 鲁,.罪·节“··甲日目自. d■ §124经验过程的连续模 第十三章由混合样本产生的某些统计量的收敛性…313 §131U统计量……………………………313 813,2线性模型中的误差方差估计 325 813.3密度估计 第十四章其他相依随机变量的强逼近……………343
§14.1加权缺项三角级数………………………343 §14.2·类 Gauss i列‘… 354 §14.3马氏过程的非负可加泛函 …359 附录……… …………367 参考文献 369 索引 ·,·,,..甲,··, ……………………383
第I部分引论 在这部分中,我们介络若干常见的重要的随机变量弱相依 性的定义,建立各种混合序列的协方差的界,并讨论各个不同定义 间的关系,这些将给出于第一章中 在第二章中,我们给出混合序列部分和的某些矩的估计,它在 极限定理中扮演重要的角色,在许多定理的证明中常常是必不可 少的关键所在
第一章定义和基本不等式 在本书中,我们总设{X,n≥1}是定义在概率空间(a,,) 上的随机变量序列.描述{Xn}的弱相依性或渐近独立性的方法很 多.在§1.1中,我们给出若干常见且重要的定义,在§1.2中,建 立若千关于{Xn}的协方差的不等式.它在{Kn}的极限性质的研究 中是十分有用的.在这二节中,我们也讨论了各个定义间的关系 §1.1定义 设x和是分的两个子a域,记!(%)为所有、可测 且p阶矩有限的随机变量全体.定义 a(、,)=su P(AB)-P(A)P(B) AE.r F EXY-EXEY x∈42=2(x,√ arX vary IP(BIA)-P(B) y( P(AB)-P(A)P(B) A5,,}∈蒲,,1)P(B)>0 P(A)P(B) B(., 3)=E(tvarBe. P(B -od)-P(B)), A(x,) EXY-EXEY x∈1.、3(,XⅡ1aY 其中tar是指全变差,‖X‖,=(E|X|p)1,记2=a(x,a≤i≤ b),z是全体整数集,是全体菲负整数集,N是全体正整数集若 干常见且重要的混合序列的定义如下 定义1.1.1序列{X,n≥1}说是a混合或强混合的,若 a(n)=supa(.31,穿H)→0,n→∞, 定义1.1.2序列{X,n≥1}说是P混合的,若
p(n)=supp(分t, 定义1.1.3序列{Xnn≥1}说是甲混合或一致强混合的,若 g(n)=supg界1,n)0,n→ 定义1.14序列{X,n≥1}说是中混合或*混合的,若 (n)=8upψ(1,n)→0,n∞, 定义1.15序列{Xnn≥1}说是绝对正则的,若 6(1,分x,) 定义1.1.6设0≤a,B≤1,a+B=1.序列{Xn,n≥1}说是(a, 8)混合的,若 A(n)=supA(t,多数n)→0,n→∝ 注1.1.1对具有参数集为R+或R或z的序列,上述定义的 修正是平凡的 注1.1.2a混合的概念由 Rosenblat1956)所引入P混合 概念由 Kolmogorov和 Rozanoy(1960)所引入 Dobrushin(1956)首 先对马氏过程引入了混合的定义.对于平稳过程这一定义是由 ibragimov(1959)及 Rozanov和 Volconski(1959)分别陈述的(我们 也可追溯到 Hirschfeld(1935)和 gebelein(1941).绝对正则是由 Kolmogorov提出的(参见 Rozanov和 Volconski1959).Blum, Hanson和 Koopmans(1963)给出了φ混合的概念.(a,B)混合概念 是由 Bradley(1985a)和邵启满(1989a)独立地给出的 注1.1.3Doob(1953)指出,-个 Doeblin不可约马氏链是φ 混合的且g(n)≤ab”(某a>0,0≤b<1); Rosenblat(1971)证明一 个纯非确定马氏链是a混合的; Davydov(1973)给出一类B混合的 马氏链. 注1.1.4为简单计,我们总设混合系数a(n),p(n),…,A(n) 等都是非增的 显然地,由定义可见 p(n)=A12,1/2(n), λ,(n)=g(n)≤y(n). 且进一步,若在P混合定义中取X=I(A),Y=I(B),则有
)≤p(n Kolmogorov和 Rozanov(1960)对于Gaus序列研究了a混合 和ρ混合间的关系 定理1.1.1对Gaus序列{Xn,n≥1}我们有 a(3t,多n)≤P(1,多计n)≤2a(,,) 证前一不等式是显然的, 对任给ε>0,存在随机变量X∈L2(),Y∈L2(,使得 EX=EY=0, VarX= VatY=l E :EXY≥(1,n)一E. 注意到A:={X>0}∈!,B:={Y>0}∈n,我们有 PCAP(B)= 1/ 4, P(AB)M- 1(x-2rty+y2)dxd 通过一个初等的计算(参见 Cramer1946p.290),得 (11.1) P(AB)=1+1 arc sinr 若a(1,多;n)>1/4,显然地 2ma(t,只斗+,) 若a(3,n)≤1/4,由(1.1.1)我们得 a(s1,i+.)> P(AB)- P(A)P(B) -arcsin 由此即得 p(,yn)E≤r≤sin2xa≤2ra 由ε的任意性得证定理. Kolmogorov和 Rozanov(1960)也研究了一个弱平稳序列的诺 函数与P混合性之间的关系.首先,我们给出一些记号及有关平稳 序列的概念记{Xn}的协方差函数为 R(n)=EXmXm+
由 Herglotz定理,对R(n)存在着谱表示如下 R(n)=einddF(a) 其中F()称为平稳序列的谱函数.当谱函数是绝对连续时,它的 导数f(A)=F(λ)称为平稳序列的谱密度 定理1.12若平稳序列的谱函数不是绝对连续的那么 p(n)≡1,即序列不是p混合的,反之,若谱函数是绝对连续的,那 0(n)= inf ess sup|f()一ch(e")|/f(λ), 其中inf是对在单位圆中解析连续的h来取的进一步若存在单位 圆中解析函数h0(x)具有边界值h(e“)使得|f(/h(e)|≥e >0且((A)/h(e“))-致地有界那么对某c>0 p(n)≤cn 特别地,当f(A)是e"的有理函数时,对某c>0 p(n) 定理1.1.2的证明不在此陈述(参见 Kolmogorov,R ozzanO 1960) §1.2基本不等式 设X为可测,Y为多n可测 在本节中,对各种不同的混合序列我们来建立协方差 Cov(X,Y)=EXY-EXEY的界,首先,我们考察a混合情形 引理1.2.1设{Xnn≥1}是a混合序列,X∈s,Y∈ 5n且X≤C1,Y|≤C2那么 (1.2.1) EXY-EXEY|≤4C1C2a(n) 证由条件期望的性质,我们有 EXY- EXEY EEX(E(Y I9oo)-Ey)) ≤C1EE(Y)一EY|=C1E{E(Ys)-EY}, 其中E=sgn(EY|)一EY)∈,即
EXY- EXEY.≤C1|EY-EEEY 同样讨论可得 EY一EEY≤C2E一EE|, 其中7=sgn(E(n)一E).所以 (1. 2. 2) EXY-EXEY1,EX0,Ef(|X|/t)≤1} 由此定义,容易知道 (1.2.4) ‖X=0÷→X=0 且当0<‖X‖<∞时,有Ef(|X/‖X‖)≤1;此外,若|x1|≤ X2|a.s.,那么‖X1‖r≤‖X2Ⅱ 引理1.2.3设{xn,n∈z}是a混合序列,X∈x,∈ 罗升n,f(x)和g(x)是R+上两个连续函数,f(0)=g(0)=0,且对
某r>0,5>0,∫(x)/x#A∞,g(x)/xM∞,‖x‖;0,‖Y‖g>0和a(n)>0.存在M>0和N>0使得 a(n)=1/f(M/‖X‖)=1/g(N/‖Y‖x) 设 XM=XI(IXSM), XM=X-XM Yx=YI(|≤N),Y=Y-YN 我们有 (1.2.6) |EXY-EXEYIS EXMYN- EXNEYNI +EXM EXMEYN + lEXMYN- EXMEYN +JEXMY'N- EX'MEYNI :I1+I2+I3+I4 由引理1.2.1,I1≤4MNa(n).注意到f(x)/x∞,g(x)/x∞, 我们有 E|XM|=E(|XM/‖XM‖)‖XM‖r ≤Ef(|X'M/|XMr)M/f(M/‖Xklr ≤M/f(M/非Xy). 所以 I2≤2MN/f(m/X‖r)=2inv a(n) inv (n)x‖;Y‖
