目录 前言 第一章 Ealer方程及 Navier- Stokes方程的涡度法…1 §L.二维 Euler方程的涡度法 §2.三维 Euler方程的涡度法 §3.随机游动涡团法… §+,变椭圆涡方法………………………………………18 §5.确定型算法… 21 §6.快速祸团算法 第二章不可压缩流的数学理论…… §1.Sobo!ev空间的一些性质… 52.椭圆型偏微分方程解的一些估计… §3.三维Eu!er方程的初值间题…… §4.三维Eu!er方程的初边值问题 §5.二维 Euler方程… §6.线性算子半群 箱+q,、甲.p,sd,,、d中丶,甲5, §7, Stokes算子及其生成的半群 §8.不定常 Navier- Stokes方程……75 第三章 Euler方程涡度法的收敛性… 1.涡团法解的存在唯一性………………………7 §2.函数的逼近 D甲,q、非中 1甲,q甲 §3.积分算子的一些性质…… §4.二维涡团法的相容性… ……………………95 §5,二维涡团法的稳定性…………………… …102 §6.二维润团法的收敛性 ∴……………113 §7.三很团法的收敛性——格式A………………115 s8.三维涡团法的收敛性—一格式B…………………………………129 §9.点祸法的收斂性……………………
§10.二维初边值问题涡团法一半离散化 146 511.二维初边值问题的涡图法—一关于空间变量进一步离散化…15? §12.二维初边值问题的涡团法—全离散化… 166 第四章粘性分离的收敛性…… 176 §1.初值问题的佔计 …………………176 §2.初值间题的收敛性 82 §3.一个简化公式—一线性倩形…… 186 §4.一个简化公式——非线性情形……………… …192 §5.一个相容格式—非齐次方程 202 §6.一个相容格式—非齐次达界条件…… 214 S7.必要条件………………………… 225 §8.外间题 …230 §9.多连通区域 240 §10.紧性讨论… 247 s11.支集在边界上的生成涡旋…………… …256 第五章随机涡团法的收效性…………………… 259 §1.概述………………… 259 §2.随机涡团法收敛性 260 §3.随机游动方法对 Burgers方程的收敛性基本框架 281 评注……………………………………………………290 多考文截… ………………296
第一章 Euler方程及 Navier-Stokes方程的 涡度法 §1.二维 Euler方程的涡度法 我们考查不可压缩、无粘性的流体。在二维情形,它满足如下 的 Euler方程 0+(·V)x+1yp=f, 11.1) 其中表示速度,它是一个向量,“一(4,-2),P是压力,“与P 是未知的两个基本力学量,P是密度,我们设流体是不可压缩而且 是均匀的,所以P是一个已知常数,f=(f1,f)表示单位质量流 体所受到的体积力。自变量为x-(x1,x2)与,分别表示空间 与时间变量,符号ⅴ是梯度算子,即v〓(Q,。),流体还应 满足如下的连续性方程 (1.12) 其中“·”为内积符号,因此“y·”就是散度我们有时为了方便起 见,把微商也记作a4与2按照内积规则,(1.1.1)中的““V” 就是41④1+M202,(111)(112)共包含了三个方程,联立求解三 个未知量x1,n2与P。 下面考查润度法。首先,为了叙述上的方便设外力有势,即 存在一个标量函数φ使f一,我们用旋度算子作用于方程 (1.1.1),在二维情形,旋度算子就是V∧〓(O1,-1),设涡度 G一一∧M,它是一个标量,即 a2#1+8
以一A作用于(1,1.1)后,yp与f两项自动消失,方程变 成了 O (1.1.3) 方程(1.1.3)中除了未知量外,还有“,它是不能独立求解的 我们还需引进另一个变量,即流函数。为了叙述方便,先假定在整 个空间R2考,在空间中任取一点x,作如下的曲线积分: (x)=(-“dx,+1x), (1.14) 其中xx为任一曲线路径。由方程(1.1.2),以上曲线积分与路径 无关,它定义了一个全空间上的函数,由(1.1.4)还可以得 =∧中。 (1.1.5) 以一A作用在(1.1.5)上,得 △φ= (116) 其中Δ是 Laplace算子,△ 6 02 axt 0x2 于是,如果认为是 已知的,φ就是一个 Poisson方程的解。(1.1.3),(1.1.5), (1.1.6)中共包含了四个方程,它们可联立求解个未知量,即 1,#2与中,自然,也可以利用(1.1.5)把(1.I.3)中的4消去,只 解与φ,这就是 Euler方程的涡度—流函数提法 如果把4看成巳知,(1.1.3)是一个一阶双曲型方程式,可以 用特征线方法求解。特征线由如下的常微分方程组定义: (1.1.7) 把(1.1.7)代人(1.1.3),我们得到一个主要结论:沿特征线 d 0 (118) 即沿特征线涡度是不变的。因此,我们只要作出特征线并知道初 始酎刻的涡度ω(x)〓o(x,0),问题魷解决了 点涡法正是根据这一思路并结合质点法的思態而设计的一种
方法。一般,在初始时刻ω。是一个连续函数,我们用若千个点涡 来逼近它,设 a(2)*∑o;“8(x-X;) 这里X;是第j个点的位置,8·)是δ函数,J是指标的集 合J一{}a;是点涡的强度,这就好比把连续分布的质量集中 在几个质点上。设方程(1.1.7以及初始条件 X 的解为X(),则由(1.1.8),涡度可以写成 (x,1)=∑G;0(x-x;(t), (1.19) 代入(1.1.6),得 Δφ∑a6(x-X(t) (1I10) i∈ 我们知道,方程 △=8( 的解称为基本解,它等2logx-xl,从而方程(1.1.10) 的解就是 a;log|xX)l。 2 由(1.1.5)得 (x2-X1(),-x1+x;() u=-2r2ax-XOor (1.1.11) 其中(x;(),X:()=X4),1x2=√x+x 把(1.1.11)代入(1.17)就应该得到X)满足的常微分方 程组。但是我们要注意到,按照(1.1.11),k(K(t),)是没有意 文的,当x→X(时,的极限为无穷,于是,对于固定的i∈J 我们把(11.11)中对应于=i的那一项去掉,经过这样处理后, x,()满足的方程是
dX, (.E (-x1()+X2(t),X,()-X;(t) de ·Xt)-K;()P2 r∈J (1.II2) 以及初始条件 x(0)一X (1.113) 这种做法,粗看完全没有道理,但是,我们在第三章的理论分析中 可以看到它是能够收敛于精确解的 在公式(1.1,11)中,在无穷远处“=0,如果在无穷远处有 个均匀的流场(),那么在(1.1.11)与(1.1.12)的右端可以 加上w(这一项.因为x()并不影响涡度a,所以整个计 算方法不变。 用点涡法计算时,如果点涡个数较少,则可以得到一个大致上 合理的流场.当点润个数增多时,出现了混沌。在第三章中,我们 将给出点涡法收做的证明,这说明当点涡个数非常多时,也即初始 点涡距离足够接近时,才能保证点渴解的存在性,也才能得到原问 题的一个好的近似。但是初始点涡要密到什么程度,这一点似乎 还未得到实际计算的回答 为了克服点涡法的上述缺点,可以使用涡团法,即用一个没有 奇异性的函数(x)代替δ函数,很自然地要求具有性质: scr)dr m 1 R 最常见的“涡团函数”有 (a)常数分布 (x) 0,1x}>σ (b)奇性分布 (x)一
(c)正态分布 5(a) eXP 这样的函数自然还有很多,可以在参考文献上查到。利用它们,可 以进行许多数值试验,此处就不一一列举了。对于这些函数流函 数也有相应的形式,公式(1.1.12)也要作相应的调整这时,我们 有 称(x一X (11.14) 设方程 在全平面上的解为中(x),则有 中(x-x), (1115) #∑∧φ(x-X))+(t dX v∧中Xt)一x)+(), v∈J (116) 这时Aψ没有奇性,所以也不必要求j≠在一些简单情形, 中的解析表达式是可以写出来的,例如常数分布。我们将在第4 节讨论椭圈漏时写出ψ的表达式,面洞就是它的特例因此这且 从略 如果外力没有势,则只要把形式稍作变动即可。令 F=-vAf 则方程(1.1.3)变成了 十罈 F 方程(1.1.8)变成了
(1.1.9)就转化为 (x,)=∑ar)8(x-X()) 于是有 da a8(x-X;()÷F(x,t) 在每一时刻,把F作近似分解: F(r, t) ix)6(x-x;(t), 就有 da; t) 下面考查有界的情形.设流场局限在区域Ω内,在它的边界 09上应该有适当的边界条件。我们取常见的固壁条件 其中#是09上的单位外法线向量 首先设Q是一个有界的单连通区域,它的边界∂9是一条光 滑的简单闭曲线.这时我们只要把(1.1.4)中的x点取在边界6 上,不难看出,沿着整个边界ψ都等于零,即 0 于是求解φ的问题就是求解 Dirichlet问题(1.1.6),(1.1,18) 这个问题的解法很多,例如,我们可以把解分解为两部分 -1[(=+5二(分+四h |2 (1.119) 其中第一部分使方程(1.1.5)(1.1.6)得以满足,四表示一个无 旋的不可压缩流场,中为 Laplace方程的解,它的作用是使边界条 件(11.17)成立,而不改变流场的涡度,也不影响不可压缩性,求 解(1.1.6),(1.1.18)的其它方法还有:差分法、Grea函数法、 有限元方法、边界元方法等。当使用差分法或有限元方法时,人们 把它又称为“胞腔内的涡度法( vortex in cell)”,这些方法都是
常规的,我们就不一一叙述了 如果OQ是一条光滑的简单闭曲线,Q是它的外部,以上的 做法仍然没有本质的差别。但是,如果Q是一个更为复杂的多连 通区域,问题就困难了。下面我们设Ω是一个有界的多连通区域, 说明上述算法应作什么改正 设由N+1条简单闭曲线ra,F1,F2,……,TN组成,其 中r1,…,rN均在ro之内,它们之间既不相交也不互相包含 取(1.1.4)中的x点在了上,于是,φlr。-0,但是中在r1… TN上一般地都不会等于零。从方程(1.1.17)可知中在每条闭曲 线了;上都等于一个常数C;,这个常数是未知的.我们考查如下 的边值问题 i=1, N 其中 它有唯一解。我们再考查一个边值问题 它也有唯一解,于是流函数等于 b〓q+2c)甲, (1.120) 其中ct)在每一时刻z为边界r;上的常数值,这里c(t)是 不能从确定的,由(1.1.20)得: =y∧q+∑C)vAq 令“=V∧甲分),则有 =+∑c;()n) (1.1.21)
把(1:1.21)代人方程(1.1.1)得 ∑C+(n+2c)n)v (9+c())+dvp- 任取讠1≤i≤N,用与上述方程作内积,令ai-(n ④P),我们注意到(y,")=0以及(vp,)一0,便得 ∑c+(4+:coo)y) ∑ct) 这是一个C1(t),,CN(满足的常微分方程组。它的初值可以 由(1.1.20)确定因为当!=0时,是已知的,求出c()以后, 代人(1.1.21)就得到了速度 以上所述的涡度法,都是把原问题归结为一个常微分方程组, 在实际求解时还需要对它进一步离散化,例如用差分方法,这时 会产生点涡或涡团的中心越过边界到区域Q之外的问题。由于边 界条件(11.17),X;()是不应穿过边界的,但是离散化以后,由 于求得的是近似解,因此难免会发生上述情况.当点越过边界时, 有许多处理方法,例如把这个点取消,或者采用反弹的方法,把它 弹回区域Ω.但是我们将在第三章给出的理论分析表明,不妨把区 域Ω略扩大一点,当点越过边界时,仍然继续按方程(1.1.7)计算 这时由于9外速度场没有定义,可以用外推方法得到囗之外不太 远的地方的速度场,用这种方法可以保证收敛性 §2.三维Eler方程的涡度法 三维方程仍可以用(1.1.1)与(1.L.2)表出,所不同的是:M 为三维向量(,n2,4),为了叙述简便起见,我们仍然设外力有