《高等数学》课程教学资源：第九章（9.6）重积分应用

重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为∫(x,y)da的形式, 其中(x,y)在do内.这个∫(x,y)do称为所求量U 的元素,记为LU,所求量的积分表达式为 U=』(x,y)o

d d f (x, y)d ( x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为   D U f (x, y)d dU 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中

对三重积分而言Vhvc2,v(x,y,z)∈dv AU≈∫(x,y,z)h→U=f(x,y,z)dh U=llf(x, 3, z) dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质,当f(x,y)=1时 区域D的面积 2。空间立体的体积 设曲面的方程为z=f(x,y)≥0,(x,y)∈D

dv,(x, y,z)dv U  f (x, y,z)dv  dU  f (x, y,z)dv    U f(x, y,z)dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积   D A d 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 z  f (x, y)  0,(x, y) D 对三重积分而言

则曲顶柱体的体积为=J(x,p)da 由三重积分的物理意义知空间闭区域g的体积为 ∫』 例1计算由曲面z=1-4x2-y2 与xoy面所围成的立体的体积 解一用二重积分 D:4x2+y2≤1v=(-4x2-y2d 由对称性得

则曲顶柱体的体积为   D V f (x, y)d 由三重积分的物理意义知空间闭区域  的体积为    V dv 计算由曲面 2 2 z 14x  y 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 : 4 1 2 2 D x  y      D V (1 4x y )dxdy 2 2 由对称性得 例1

1-4x y=4(-4x2-y)h=4d∫0-42-y DI 8 81 (1-4x2)2dx 32] cos=I 0 解二用三重积分 元 Ⅳ=「=4[=4a「「dz 2 0 0

          1 2 2 1 0 1 4 0 2 2 2 2 4 (1 4 ) 4 (1 4 ) D x V x y dxdy dx x y dy        2 0 4 2 1 0 2 3 2 4 cos 2 1 3 8 (1 4 ) 3 8   x dx tdt 解二 用三重积分      1 V dv 4 dv         2 1 0 1 4 0 1 4 0 2 2 2 4 4 x x y dx dy dz 

例2求z=2-x2-y2,z=x2+y2所围成的立体的体积 解一=v2H1=(2-x2-y)-(x2+y3 2(-x2-y2)da(用极坐标) D =2|d0|(1-r2rr= 0 0 解二2是柱形区域,用柱坐标 2 v=ldy= de dr rdz 00 =2r(2-2r)=7

求z  2 x 2  y 2 ,z  x 2  y 2 所围成的立体的体积 解一          D D V V V (2 x y )d (x y )d 2 2 2 2 2 1     D 2 (1 x y )d 2 2 （用极坐标）         2 0 1 0 2 2 d (1 r )rdr 解二  是柱形区域，用柱坐标    V dv        2 0 1 0 2 2 2 r r d dr rdz     1 0 2 2 r(2 2r )dr  例2

3。曲面的面积 ①.设曲面的方程为:z=f(xy)z 在xoy面上的投影区域为D, dA 如图,设小区域do∈D, 点(x,y)∈dσ, (x,y) ∑为S上过M(x,y,f(x,y) 的切平面 da为d4在xoy面上的投影, ∴do=dA·cosy

①．设曲面的方程为： z f(x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 点 (x, y) d , 如图，设小区域 d  D, . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y d (x, y) M dA x y z s  o  d 为 dA 在 xoy 面上的投影,  d  dA cos , 3。曲面的面积

COSy= ∴dA=、1+f2+fd 1+f+f2 曲面S的面积元素 1+f+f do 同理可得 ②.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面面积公式为A=1(a)2(a)byd ay Oz ③.设曲面的方程为:y=h(,x) 曲面面积公式为=1+(cy)2 dida 1 Oz a

, 1 1 cos 2 2 x y  f  f    dA  f x  f y d 2 2 1 曲面S的面积元素 1 , 2 2      D A fx fy d ②．设曲面的方程为： x  g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ; 2 2 dydz z x y x A Dyz                     ③．设曲面的方程为： y  h(z, x) 曲面面积公式为： 1 . 2 2 dzdx x y z y A Dzx                     同理可得

例3.求球面x2+y2+x2=a2,含在圆柱体 2 2=ax内部的那部分面积 解由对称性知4=44 D1:x+ysax,(x,y≥0 曲面的方程为z 于是⊥a)2 十 9 ax 2 面积A=41+x-+ z. dxd DI

例 3. 求球面 2 2 2 2 x  y  z  a ，含在圆柱体 x  y  ax 2 2 内部的那部分面积. 解 由对称性知 1 A 4A, : , ( , 0) 2 2 D1 x  y  ax x y  曲面的方程为 2 2 2 z a x  y , 于是 2 2 1                   y z x z , 2 2 2 a x y a   面积A z z dxdy D    x  y 1 2 2 4 1

xz小y D, acos e =4al de 0 1分22+d=2 例4求半径为R的球面的表面积 解曲面方程为 R2-2-y2 A=84=81+2+2deh(由对称性) 8 dR dxdy R =8d6 D V R2-x2 =4R

    1 2 2 2 4 D dxdy a x y a        cos 0 2 2 0 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2  a  a 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 2 2 2 z R x y （由对称性）      1 2 2 8 1 8 1 D A A zx zydxdy dxdy R x y R D     1 2 2 2 8 rdr R r R d R     2 0 0 2 2 8   2  4R 例4

例5计算圆柱面x2+x2=d 被圆柱面x2+y2=a2所截的部分的面积 解由对称性可知A=8A1 A1的方程z=√ TZ+Z va -x nn dxdy=dx y 2 2 D a -x A=8

计算圆柱面 2 2 2 x z a 被圆柱面 x 2  y 2  a 2 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 2 2 z  a  x 2 2 2 2 1 a x a z z x y            1 2 2 0 0 2 2 2 2 D a a x dy a x a dxdy dx a x a 2 a 2 A8a 例5