第6章定积分的应用 6.1定积分的几何应用 6,2定积分在经济间题中的应用
6.1 定积分的几何应用 6.2 定积分在经济问题中的应用 第6章 定积分的应用 结束
61定积分的几何应用 611微元法: 以曲边梯形面积为例如图曲边梯形. 1选取一个变量为积分变量,并确定其变化区间a,b, 在区间上任取一小区间并记为[x,x+dx 2以点x处的函数值为高以x,x+dx为底的矩形面 积做为△A的近似值△A≈f基血(x)dx称为面积微 元记为 dA=f(x)氏是面积为 a-dA=f()dx 此方法称为微元法或积分元素法 ax x+dx b 前页后页结束
前页 后页 结束 2.以点x处的函数值为高,以[x,x+dx]为底的矩形面 积做为△A的近似值 ,其中f(x)dx 称为面积微 元,记为 , 于是面积为 1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b], 在区间上任取一小区间并记为 . 此方法称为微元法或积分元素法. [ d ] x, x + x 6.1.1 微元法: A f x x ( )d d ( )d A f x x = d ( )d b b a a A A f x x = = a x x x + d b A 6.1 定积分的几何应用 以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形
612用定积分求平面图形的面积 1.直角坐标下平面图形的面积 设函数f(x2,g(x)在区 y=∫(x) 间[a,b上连续,g(x)≤∫(x) 求由曲线y=f(x),y=g(x)及 直线x=a,x=b(a<b所围成 y=g(x) b 的图形的面积 前页后页结束
前页 后页 结束 设函数 在区 间 上连续, , 求由曲线 及 直线 所围成 的图形的面积. 1. 直角坐标下平面图形的面积 6.1.2 用定积分求平面图形的面积 f x g x ( ), ( ) [ , ] a b g x f x ( ) ( ) ≤ y f x y g x = = ( ), ( ) x a x b a b = = , ( ) y f x = ( ) y g x = ( ) a b
分槌)在区间上任取小区间没此区间上的面 积为它近似于高为底为的小矩形面积从而得 面积微元为 da=f(x)-g(x)ldx (2)以[∫(x)-积表达式在区间作定积分 就是所求的面积d 在这个公式中,无论曲线 y=∫(x) 在x轴的上方或下方都成立,只 dA 要y=g(x)在曲线y=f(x)的下方 即可 y=g(x) axx+dx b 前页后页结束
前页 后页 结束 (2) 以 为被积表达式,在区间 作定积分 就是所求图形的面积. (1) 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的面 积为 ,它近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得 面积微元为 d [ ( ) ( )]d . A f x g x x = − [ ( ) ( )]d b a A f x g x x = − 分析 [ , ] a b [ , d ] x x x + A f x g x ( ) − ( ) dx [ ( ) ( )] d f x g x x − [ , ] a b 在这个公式中，无论曲线 在x 轴的上方或下方都成立，只 要 在曲线 的下方 即可。 y g x = ( ) y f x = ( ) y f x = ( ) y g x = ( ) a x x dx + b dA
f(x)<0 g(x)<0 g(x)<0 前页后页结束
前页 后页 结束 f x( ) 0 g x( ) 0 f x( ) 0 g x( ) 0
例1求由曲线y=x2,师围成的图形的面积A。 解两曲线的交点为(0,0),(1,1),于是积分区间为0,11 面积微元dA=Ⅳx-x2dx 所求面积为 √x-x2d 0 3 0 xx+dx 1 3 前页后页结束
前页 后页 结束 3 3 2 1 0 2 [ ] 3 3 1 . 3 x = − x = 1 2 0 A x x x = − d 2 d [ ]d A x x = − x 例1 求由曲线 y x y x = = 2 ， 所围成的图形的面积A。 解 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1] 面积微元 所求面积为 x x x + d 1
同理,设画,v2(在区间c,连续,w1(y)≤v2(y) 求由曲线x=v(y),x=v2(y)及直线y=c,y=d(c<d)所 围成的图形的面积 在区间[c取小区间Iy设此小区间上的 面积为△刺则近似于高为dy底 为v2(y)-小矩形面积 v1()v2(y) 从而得面积微元为 y+dy dA=ly,()-yilyldx 于是所求面积为 A=Iv2(y)-V,()Idy 前页后页结束
前页 后页 结束 面积为 ,则近似于高为dy,底 同理，设函数 在区间 上连续， 为 的小矩形面积, 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的 求由曲线 及直线 所 围成的图形的面积. 2 1 = − [ ( ) ( )]d d c A y y y 1 2 ( ), ( ) y y [ , ] c d 1 2 ( ) ( ) y y 1 2 x y x y = = ( ), ( ) y c y d c d = = , ( ) y y + d c d 2 1 ( ) y ( ) y y [ , d ] y y y + 2 1 d [ ( ) ( )]d . A y y x = − [ , ] c d A 2 1 ( ) ( ) y y − 于是所求面积为 从而得面积微元为
例2求抛物线2y2与直线x園成的图形的面积 解由{x=)2解得交点(21从联82 4+2y 取为积分变量于是所求面积为 A=,(2y+4-21)y B(82 2 +4 y 3 1 9 A(2.1 前页后页结束
前页 后页 结束 2 2 1 2 2 3 1 (2 4 2 )d 2 = 4 3 9. A y y y y y y − − = + − + − = 解 由 解得交点A(2,-1),B(8,2) 例2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积. 2 2 y x = x y − = 2 4 2 4 2 x y x y = = + A(2,-1), B(8,2) 取y为积分变量,于是,所求面积为:
(2极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程r=(,r()在[a,B上连续, 且r()>0求此曲线与射线θ=a,θ=B所围成的曲边 扇形的面积 在区间|a,月上任取一小区间|,0+d0,设此小区间 上曲边扇形的面积为△A,则△近似于半径为r(0),中心 角为db的扇形面积, r(6) 从而得到面积微元为d4=rde 从而可得面积为 1 rB1 6+d0 2 2(0d0. 前页后页结束
前页 后页 结束 且 求此曲线与射线 所围成的曲边 扇形的面积. (2)极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程 r r r = ( ) ( ) ， 在 [ , ] 上连续, r( ) 0 = = ， r r = ( ) r + d 在区间 上任取一小区间 ,设此小区间 上曲边扇形的面积为 ,则 近似于半径为 ,中心 [ , ] [ , d ] + A A r( ) 角为 d 的扇形面积, 1 2 d d 2 A r = ， 1 1 2 ( )d . 2 2 A r = 从而可得面积为 从而得到面积微元为
例3求心线r=a(1+c0s)所围成的面积 解当从0变到x时得r=a(1+cosx的图形为上半 部分,心形线所目图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即 T a(1+cos0)d8 02 (1+ 2cos6+cos 0)d6 0 3 L(+2cos 0+-cos20)d8 02 a=0+2sin 6+-sin20 0 3 T 2 前页后页结束
前页 后页 结束 π 2 2 0 1 2 (1 cos ) d 2 = + A a π 2 2 0 = + + (1 2cos cos )d a π 2 0 3 1 ( 2cos cos2 )d 2 2 = + + a π 2 0 2 3 1 2sin sin2 2 4 3 π . 2 a a = + + = 例3 求心形线 r a = + (1 cos ) 所围成的面积. 解 当 从0变到 时,得 的图形为上半 部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即 r a x = + (1 cos )