第4章不定积分 4.1不定积分的概念与性质 4.2不定积分的换元积分法 4.3不定积分的分部积分法 4.4积分表的用法
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 不定积分的换元积分法 4.3 不定积分的分部积分法 4.4 积分表的用法 第4章 不定积分 结束
41不定积分的概念与性质 411原函数的概念 定义设f(x)在某区间上有定义,如果对该区间的任意 点x都有Fx)=f(x)或dF(x)Jf(x)dx 则称F(x)为∫(x)在该区间上的一个原函数 例如 x是函数x在(,+∞)上的原函数 (inx)y=cosx,sinx是c0x在-∞,+)上的原函数 又如d(secx)= sec x tan xdx,所以secx是 Esec r tan x 的原函数 前页后页结束
前页 后页 结束 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的原函数. 定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意 点x都有 F'(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数. 4.1.1 原函数的概念 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数. ( , ) − + 3 2 ( ) 3 x = x 2 x 3 3 x (sin ) cos x ' x = ( , ) − + 4.1 不定积分的概念与性质
注:(1)如果函数在区间上连续,则它的原函数一定存 在.具体理由将在下一章给出 (2)如果fx)在某区间上存在原函数,那么原函数不 是唯一的且有无穷多个 例如在(-∞,愚x的原函数 而sinx+1,sinx+2sinx+1,sinx+是它的原函数 即c0sx加任意常数都是sinx的原函数 3)若函数∫(x)在区间I上存在原函数,则其任 意两个原函数只差一个常数项 此结论由 Lagrange定理推论可证 前页后页结束
前页 后页 结束 (2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不 是唯一的,且有无穷多个 注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存 在．具体理由将在下一章给出． 例如 而 在 ( , ) − + 上 是 的原函数 sin 1,sin 2 x x + + sin x cos x sin 1,sin 3 x x + + 也是它的原函数 即 cos x 加任意常数都是 sin x 的原函数. (3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任 意两个原函数只差一个常数项. 此结论由Lagrange定理推论可证
2不定积分的概念 定义2如果函数F(x)是f(x)在区间Ⅰ上的一个原函数,那 么f(x)的全体原函数F(x)+C(C为任意常数)称为∫(x)在区 间I上的不定积分.记作 ∫f(x)dx 即 ∫f(xdx=F(x)C, 其中记号称为积分号,f(x称为被积函数,fax)dx称为 被积表达式,x称为积分变量,C为积分常数 前页后页结束
前页 后页 结束 定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那 么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区 间 I 上的不定积分. 记作 f x x ( )d 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为 被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. " " 即 f x x F x C ( )d ( ) = + ， 2.不定积分的概念
例1求∫xdx 解由于(y=x,所以∫xdx +c 5 例2求 1+ 解 ∵( arctan x) (-00<x<+∞) 1+x 所以在-∞<x<+∞上有 1 dx= arctan+C 1+ 前页后页结束
前页 后页 结束 例2 求 2 1 d . 1+ x x 2 1 (arctan ) ( ) 1 = − + + x ' x ， x 解 2 1 d arctan . 1 − + = + + 所以在 x 上有 x x C x 例1 求 d . 4 x x 5 4 ( ) 5 解 由于 x ' = x ， 5 4 d . 5 x C x x = + 所以
例3求 解当x>0时,有(nx) dx=In x+C(x>0) 当x<O时,有n(-x) 1 (-1) X X 又「dx=ln(-x)+ nx x InIx n(-x X< 所以∫x=+C(x≠0 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求 d . 1 x x , 1 ( 1) 1 ( ) 1 0 ln( ) x x x ' x x x ' − = − − = − 当 时，有 − = 解 d ln ( 0) 1 . 1 0 (ln ) = + = x x C x x x 当x 时，有 x ' 1 d ln ( 0). x x C x x = + 所以 − = ln( ) 0, ln 0, ln x x x x x 当 当 1 d ln( ) . x x C x = − + 又
3不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算 (1)Ⅱf(x)dx=f(x) 或d「∫(x)dx=∫(x)lx, (2)F'()dx=F()+C 或「dF(x)=F(x) 特别地,有∫dx=x+C 前页后页结束
前页 后页 结束 3 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. (1) [ ( )d ] ( ) d ( )d ( )d f x x ' f x f x x f x x = = 或 ， 特别地，有 d . x x C = + (2) ( )d ( ) d ( ) ( ) F' x x F x C F x F x C = + = + 或
412不定积分的基本积分公式 (1)∫kdx=kx+C (2)∫xax=x2l +C(a≠-1) a+1 (3)∫ dx =In x +C. a dr=a n (5)∫edx=e+C (6)sin x dx=-coSx+C 前页后页结束
前页 后页 结束 (6) sin d cos x x x C = − + (1) d k x kx C = + 4.1.2不定积分的基本积分公式 d (3) ln | | . x x C x = + (5) d . e e x x x C = + 1 (2) d ( 1). 1 x x x C + = + − + (4) d . ln x x x C a a a = +
(7)cos x dx=sinx+C dx (8)2= cscr ax cotx+C sIn x dx secx dx= tanx+C cos (10)sec stan x dx=secx+C (11csc x cot x dx=-cscx+C (12) dx= arcsinx +C (13)∫ 14.2 dr=arctan+C. 前页后页结束
前页 后页 结束 2 2 d (8) csc d cot . sin x x x x C x = = − + (10) sec tan d sec . x x x x C = + (7) cos d sin . x x x C = + 2 2 d (9) sec d tan . cos x x x x C x = = + (11) csc cot d csc . x x x x C = − + 2 1 (12) d arcsin . 1 x x C x = + − 2 1 (13) d arctan . 1 x x C x = + +
例4计算下列积分 Dxdx.(2)dx.(3) dx 3 解(1)3xdx d X3 x3+ +1 4 dx +C=2x+ X (3)dx=∫x 2+1 X +O X 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 计算下列积分 d . 1 d . (3) 1 (1) d . (2) 2 3 x x x x x x . 4 3 1 3 1 1 3 4 1 3 1 x + C = x + C + = + x x x d x d 1 (2) 2 1 − = 解 (1) xdx x3 dx 1 3 = x x x x d d 1 (3) 2 2 − = 2 . 2 1 1 1 2 1 1 x + C = x + C − = − . 1 2 1 1 2 1 C x x + C = − + − + = − +