差分方程-高散时段上描述变化过程的数学模型 大学数学实验 一年期存款年利率为r,存入M,记第年本息为xk Experiments in Mathematics x=(1+r)x4,k=0,1,2,…,x=M n年后本息为x=(+r)”M 实验2差分方程和数值微分 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q记第天 的污水浓度为ck,cn=(1-q),k=01,2, 半大歇教科系 cn=(-)0”g-q天后污水浓度降低一半 高散动态过程(系统),实际的变化可以是连续的 差分方程 阶绒性常系数差分方程 1一阶线性常系数差分方程 例1濒危物种( Florida沙丘鹤)的自然演变 2.高阶线性常系数差分方程 和人工孵化 3.线性常系数差分方程组 生态学·在较好自然环境下,年平均增长率为194% 4.非绒性差分方程 家估计·在中等自然环境下,年平均增长率为324% 建立高散动态过程的数学模型 ·在较差自然环境下,年平均增长率为382% 用 MATLAB计算数值解; 如果在某自然保护区内开始有100只鹤,建立 作理论分析(平衡点及其稳定性) 描述其数量变化规律的模型,并作数值计算 数值微分简介 如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化? 学笑凿 (大学数学实验) F例1濒危物种Foda沙丘鹤)的自然演变 例1濒危物种( Florida沙丘鹤)的自然演变 和人工解化 和人工孵化 模型及其求解 结果分析时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势 记第年沙丘鹤的数量为x 自然环境下x=a4,a=1+P,x=ax0,k=0,2,… 自然环境下年平均增长率为r a1(>0)时x→,a<1(r<0)时xx→0 x=ax,a=1+r,k=012 在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝 设每年人工孵化的数量为b, 人工孵化条件下x x=∝+b,k=01,2… 11 a<1(r0)时x→x=b/(1-) x=5/0.0324=154.32
1 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验2 差分方程和数值微分 清华大学数学科学系 差分方程 ~ 离散时段上描述变化过程的数学模型 • 一年期存款年利率为r，存入M， 记第k年本息为xk xk +1 = (1+ r)xk , k = 0,1,2,L, x0 = M n年后本息为 x r Mn n = (1+ ) • 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天 的污水浓度为ck , ck+1 = (1− q)ck , k = 0,1,2,L 离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的 0 c (1 q) c n n = − lg(1 ) lg 2 q n − = − 天后污水浓度降低一半 1.一阶线性常系数差分方程 2. 高阶线性常系数差分方程 3. 线性常系数差分方程组 4. 非线性差分方程 数值微分简介 • 建立离散动态过程的数学模型; • 用MATLAB计算数值解; • 作理论分析(平衡点及其稳定性). 差分方程 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 一阶线性常系数差分方程 • 在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% • 在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24% • 在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82% 如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立 描述其数量变化规律的模型，并作数值计算. 生态学 家估计 如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区， 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化? 模型及其求解 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 记第k年沙丘鹤的数量为xk， 自然环境下年平均增长率为r xk+1 = axk , a =1+r, k = 0,1,2,L 0 5 10 15 20 40 60 80 100 120 140 160 r=0.0194 r=-0.0324 r=-0.0382 设每年人工孵化的数量为b， xk+1 =axk +b, k =0,1,2,L 0 5 10 15 20 40 60 80 100 120 140 r=-0.0324,b=5 r=-0.0324,b=0 结果分析 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势 xk = ak x0 , k = 0,1,2,L a>1(r>0)时xk→∞, a<1(r<0)时xk→0 自然环境下 , 1 , 1 x ax a r k+ = k = + 在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。 , 0,1,2,L 1 1 0 = − − = + k a a x a x b k k k 人工孵化条件下 xk +1 = axk + b a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a) 0 50 100 150 200 100 110 120 130 140 150 160 r=-0.0324,b=5 x=5/0.0324=154.32
(大学酸学实验) 高阶线性常系数差分方程 大学酸学实 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 例2一年生植物的黛殖 差分方程的一般形式x4=ax4+b,k=012 一年生植物春季发芽,夏天开花,秋季产种 差分方程的平衡点一代数方程x=ax+b的根x=b/(1-a) 没有腐烂、风千、被人为掠去的那些种子可以活过冬 差分方程的解 天,其中的一部分能在第二年春季发芽,然后开花 xx=axo+b k=0,1,2, 产种,其中的另一部分虽未能发芽,但如又能活过一 个冬天,则其中一部分可在第三年春季发芽,然后开 花、产种,如此继续。 c=xb(1-a)由初始值x和a、b确定 年生植物只能活一年,且近似地认为,种子最 若k→时x→x,平衡点x稳定否则平衡点不稳定 多可以活过两个冬天 平衡点稳定的充要条件是|a|0.191 (学静学实鉴 学学实纷 例3蛛网模型的推广 高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 蛛网模型y4-y=-a(x2-x)x4+1-x0=B(4-y) aoIk+n +a k+m++am-rk +a, r r=b, k=1, 2, 生产者的管理水平和素质提高 x,2-x=B(+厘-) 特征方程a0”+a1+…+an12+an=0 产量由前两时段平均价格决定 特征根 A22… B±√ap-8ap 平衡点x=b/a+a1+…+an1+an) 22+aB+aB=02= 差分方程的解x=c1对+c2+…+c1+x,k=12, 平衡点x=x。x→x0(k-)的条件是|1,|<1 c1,…;cn由初始值x1…x确定 经济趋向稳定的条件aB<2 平衡点稳定的条件:所有特征根的模小于1 原蛛网模型稳定的条件aB<
2 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 差分方程的一般形式 xk+1 = axk + b, k = 0,1,2,L 差分方程的平衡点 ~代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a) xk = cak + b /(1− a), k = 0,1,2,L 差分方程的解 c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b确定 若k→∞时xk→x, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定 平衡点稳定的充要条件是 ⎜a ⎜1时xk→∞ (k→∞) 植物能够一直繁殖下去的条件为b>0.191 例3 蛛网模型的推广 ( ) 0 0 y y x x k − = −α k − ( ) 1 0 0 x x y y k+ − = β k − ) 2 ( 0 1 2 0 y y y x x k k k − + − = + + β 生产者的管理水平和素质提高 蛛网模型 产量由前两时段平均价格决定 2xk+2 +αβxk+1 +αβxk = 2(1+αβ )x0 , k = 1,2,L 2 0 2 λ +αβλ +αβ = 4 ( ) 8 2 1,2 αβ αβ αβ λ − ± − = 平衡点 x=x0 xk→ x0（k→∞）的条件是⏐λ1, 2⏐<1 λ1,2 = αβ / 2 经济趋向稳定的条件 αβ < 2 原蛛网模型稳定的条件 αβ <1 高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 a0 xk+n + a1 xk+n−1 +L+ an−1 xk+1 + an xk = b, k = 1,2,L 1 0 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a λ a λ L a λ a λ1, λ2, …λn xk = c1λ1 k + c2λ k 2 +L+ cnλ k n + x, k = 1,2,L c1, …,c n由初始值x1, …,x n确定 /( ) 0 1 n 1 n x = b a + a + + a + a L − 特征方程 特征根 平衡点 差分方程的解 平衡点稳定的条件: 所有特征根的模小于1
大学酸学实 线性常系数差分方程组 例4汽车租赁公司的运营模型及其求解 例4汽车租赁公司的运营 x(k),x2(k,x3(k)-第k 汽车租赁公司在3个相邻的城市运营,在一个 个租赁期末公司在A, 城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还 B,C市的汽车数量 D 在A市租赁在A,BC市归还的比例分别为0.6,03,01 x(k+)=06x(k)+02x2(4)+0.Ix(k) 在B市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.2,0.7,0.1 2(k+1)=0.3x1(k)+0.7x2(k)+0.3x3(k) 在C市租赁在A,B,C市归还的比例分别为01,0.3,0.6 x(k+1)=0Ix()+0.lx2(k)+06x3(k) 公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市, x(k)=[x1(k),xk,x3(k) 建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型, 0.60.20 讨论时间充分长以后的变化趋势 A=0.30.70.3 x(k+1)=Ax(k),k=0,12 0.10.10.6 例4汽车租赁公司的运营模型及其求解 例4汽车租赁公司的运营模型及其求解 开始时600辆汽车平均分配到3个城市 34 x(k+1)=Ax(k),k=0,2 A=0.30.70.3 k(k20|1s0|7676138171791808018080 设稳定值为 Ax=x 0.10.10.6 k20260242942729909000300 k201601401301251231121120120120 矩阵A的一个特征根a=1,且是对应的特征向量 开始时600辆汽车全分配给A市 A各列之和均为1 A有特征根A=1 x(k60360258214195187183181181180180 xk0180252281292297299|3030300300 x可由Ax=x,x1+x2+x3=600算出 (k06090|105IlJ1f6s119|120|120[120 x1=180,x2=300,x=120 时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定,稳定值与初始分配无关 学学实 例5按年龄分组的种群增长 例5按年龄分组的种群增长模型及其求解 动物因自然或人工繁殖而增加,因自然死亡 种群按年龄大小等分为n个年龄组,记户1,2,n 和人为屠杀而减少; 不同年齡动物的繁殖率、死亡率有较大差别 时间高散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2 将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组 第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为b 时间高散化为时段; 第i年龄组在时段内的死亡率为d存活率为s=1- 在稳定环境下假定各年龄组种群的殖率和 死亡率与时段无关 x(k)时段k第i年龄组的种群数量 建立按年龄分組的种群增长模型 x(k+1)=∑bx(k)(设至少1个b>0) 预测未来各年龄组的种群数量 讨论时间充分长以后的变化趋势 x(k+1)=Sx,(k),i=1,2,…,n-1
3 线性常系数差分方程组 例4 汽车租赁公司的运营 汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个 城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还. 在A市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1 在B市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1 在C市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6 公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市， 建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型， 讨论时间充分长以后的变化趋势. 例4 汽车租赁公司的运营 模型及其求解 0.1 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 0.7 0.6 A B C 0.6 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + + + = + + + = + + ( 1) 0.1 ( ) 0.1 ( ) 0.6 ( ) ( 1) 0.3 ( ) 0.7 ( ) 0.3 ( ) ( 1) 0.6 ( ) 0.2 ( ) 0.1 ( ) 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x1(k), x2(k), x3(k)~第k 个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量 x(k)=[x1(k), x2(k), x3(k)]T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.1 0.1 0.6 0.3 0.7 0.3 0.6 0.2 0.1 A x(k +1) = Ax(k), k = 0,1,2,L x 200 160 140 130 125 123 121 121 120 120 120 3(k) x 200 260 284 294 297 299 300 300 300 300 300 2(k) x 200 180 176 176 178 179 179 180 180 180 180 1(k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 开始时600辆汽车平均分配到3个城市 开始时600辆汽车全分配给A市 x 0 60 90 105 113 116 118 119 120 120 120 3(k) x 0 180 252 281 292 297 299 300 300 300 300 2(k) x 600 360 258 214 195 187 183 181 181 180 180 1(k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 例4 汽车租赁公司的运营 模型及其求解 时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定，稳定值与初始分配无关 例4 汽车租赁公司的运营 模型及其求解 设稳定值为x x(k +1) = Ax(k), k = 0,1,2,L Ax = x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.1 0.1 0.6 0.3 0.7 0.3 0.6 0.2 0.1 A 矩阵A的一个特征根 λ=1，且x是对应的特征向量。 A各列之和均为1 A有特征根 λ=1 x可由 Ax=x, x1+x2+x3=600 算出: x1=180, x2=300, x3=120 例5 按年龄分组的种群增长 • 动物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡 和人为屠杀而减少; • 不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别; • 将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组， 时间离散化为时段; • 在稳定环境下假定各年龄组种群的繁殖率和 死亡率与时段无关; • 建立按年龄分组的种群增长模型; • 预测未来各年龄组的种群数量; • 讨论时间充分长以后的变化趋势. • 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di , 存活率为si =1- di ( 1) ( ), 1,2, , 1 xi+1 k + = si xi k i = L n − xi (k)~时段k第i 年龄组的种群数量 ( 1) ( ) 1 1 x k b x k i n i ∑ i = + = (设至少1个bi >0) 例5 按年龄分组的种群增长 模型及其求解
F例5按年龄分组的种群增长模型及其求解 例5按年龄分组的种群增长模型及其求解 x(k+1)=∑bx(k)x(+1)=5x(k) 设一种群分成n=5个年龄组,繁殖率b1bs=0, 02,1.8,0.8,0.,2,存活率s 5,0.8,0.8,0.1,各年 h“bbxk)=x(x(k)…x,(k 龄组现有数量均为100 x(k)=Lx(0) x(k+1)=Lx(k) x(k)=L*x(0) 0归一化:x(k)=x(k)/∑x(k) Leslie矩阵(矩阵) 按年齡组的分布向量 x(k)x(k)的图形 x()~x(k)的图形 (自上而下) (自上而下) 例5按年龄分组的种群增长结果分析 例5按年龄分组的种群增长结果分析 时间充分长后x(k),x(k)的稳定性x(k)=Lx(0) 时间充分长后6,x(A)的稳定性x2=( Lese矩阵的性质 1)x(k)≈(归一化的特征向量x) L矩阵存在正单特征根,凡|≤,k=2,3…n 按年龄组的分布向量趋向稳定分布(与x(0)无关) 特征向量x=1 )x(k+1)≈Zx(k)各年龄组种群数量按同一倍 数λ(固有增长率)增减 ·若L矩阵存在bb0,则|<,k=2,3,…,n 与基本模型x(k+1)=Lx(k)比较 且mx(6)=ax,c是由b,,x(0决定的常数 3)A=1时x(k+1)≈x(k)≈cx'~各年齡组种群 数量不变 学腔学笑 (大学数学实验) 例5按年龄分组的种群增长结果分析 非线性差分方程 3)λ=1时Lx'=xx'=[,s1,s2…s;52…sn丁 例6高散形式的阻滞增长模型( Logistic模型) d+5+…+b523=1 x4某种群第代的数量(k=0,1,2, 指数 1个个体在整个存活 增长 连续形式 高散形式 0」期内的繁殖数量为1 模型 线性方程 )x(k)≈cxx,x'=[,s1,s1s2…,sn- 口x(k)≈sx,(k),i=12 阳滞x(1)=(1-3)x-=(1-Nx 增长 非线性方程 存活率s是同一时段的x与x之比 模型 1-oo. x-N 对于不同的r,研究 (与s的定义x(k+1)=Sx,(k)比较 (与大小无关)k→时x的趋势
4 例5 按年龄分组的种群增长 x(k +1) = Lx (k ) x(k ) L x(0) k = T n x(k) [x (k), x (k), x (k)] = 1 2 L ~按年龄组的分布向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 n n n s s s b b b b L O M O L ~Leslie矩阵(L矩阵) 模型及其求解 1,2, , 1 ( 1) ( ), 1 = − + + = i n x k s x k i i i L ( 1) ( ) 1 1 x k b x k i n i ∑ i = + = ∑= = n i i x k x k x k 1 ( ) ( ) / ( ) 归一化 ~ : 例5 按年龄分组的种群增长 模型及其求解 设一种群分成 n=5个年龄组, 繁殖率 b1~b5= 0, 0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率s1~s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年 龄组现有数量均为100 ． 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 5 10 15 20 25 30 0 100 200 300 400 500 x1(k)~x5(k) 的图形 （自上而下) 的图形 （自上而下) ( ) ~ ( ) ~ ~ 1 5 x k x k x(k) L x(0) k = 例5 按年龄分组的种群增长 结果分析 • L矩阵存在正单特征根λ1， λ k ≤ λ1 , k = 2,3,Ln • 若L矩阵存在bi , bi+1>0, 则 λ k < λ1 , k = 2,3,L, n T n n s s s s s s x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 * 1 1, , , , λ λ λ L 特征向量 L * 1 ( ) lim cx x k k k = → ∞ λ , c是由bi , si 且 , x(0)决定的常数 时间充分长后 x(k), ~x(k) 的稳定性 x(k) L x(0) k = Leslie矩阵的性质 例5 按年龄分组的种群增长 结果分析 时间充分长后 x(k), ~x(k) 的稳定性 按年龄组的分布向量趋向稳定分布 (与x(0)无关) * 1 ( ) lim cx x k k k = →∞ λ 2) x(k +1) ≈ λx(k ) ~各年龄组种群数量按同一倍 数λ (固有增长率) 增减 与基本模型 比较 x(k +1) = Lx(k ) 3）λ=1时 * x(k +1) ≈ x(k ) ≈ cx ~ 各年龄组种群 数量不变 * x x k x ~ ( ) ~ 1) ≈ (归一化的特征向量 ) * x ~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1 1 b1 +b2s1 +L+bns1s2Lsn−1 = 3）λ=1时 * * Lx = x [ ]T n x s s s s s s 1 1 2 1 2 1 * 1, , , = L L − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 n n n s s s b b b b L O M O L 例5 按年龄分组的种群增长 结果分析 T n x [1,s ,s s , ,s ] 1 1 2 1 * = L − 4) ( ) , * x k c x k ≈ λ ~存活率 si 是同一时段的 xi+1与 xi 之比 （与si的定义 比较） ( 1) ( ) 1 x k s x k i+ + = i i ( ) ( ), 1,2, 1 xi +1 k ≈ si xi k i = L n − 非线性差分方程 例6 离散形式的阻滞增长模型(Logistic模型) ( ) (1 ) N x x& t = rx − t→∞, x→N (与r大小无关) 离散形式 xk ~某种群第k代的数量(k=0,1,2,…) 指数 增长 模型 连续形式 阻滞 增长 模型 x&(t) = rx k k k x − x = rx +1 k k k k x N x x x r(1 ) +1 − = − 对于不同的r，研究 k →∞ 时xk的趋势 线性方程 非线性方程
大学静学实扮 例6高散形式的阻滞增长模型 Logistic模型) 例6高散形式的阻滞增长模型结果分析 x4-某种群第k代的数量x1-x=7(1-3)x x一=-巧1x,一+=,k=02 设N=1,取=0.3,18,25,初值x=0.1, 差分方程的平衡点x=x+(1-Nx的根:x=M,x0 若x→x(k-~∞),则平衡点稳定;否则,x不稳定 平衡点x=0不稳定 平衡点x=N的稳定性与r有关 研究非线性差分方程平衡点稳定的条件 x单调地趋向Nx振荡地趋向Nx不收斂 大学醉学实验 非线性差分方程平衡点稳定的条件 例6离散形式的阻滞增长模型x,1=x2+(1-吾 非线性差分方程:y4n=f(4)k=01,2 变量和 参数代换(r+1)N x4,b=r+1 by4(1-y) 平衡点代数方程y=/)的根y ∫在y点作 Taylor展开,保留线性项 平衡点x=N,x=0 平衡点y=1-1/b,y=0 近似线性方程:y=f()v4-y)+y,k=0 f(y)=by(1-y)f(y)=b(1-2y) r1y=0不稳定 平衡点广1b稳定的条件:料1y对近似线性方程是不稳定平衡点 对非线性方程也是不稳定平衡点 若b>3(即2,平衡点y不稳定 (学静学实鉴 学学实纷 例7寄主一寄生模型 例7寄主一寄生模型模型及其求解 寄主靠自然资源为生,假定其数量用离散形式的 x第代寄主的种群数量(最大容量N固有增长率r); 阻滞增长模型描述; y-第代寄生物的种群数量(k=0,1,2,…) 寄生物的存在会减少其增长,寄生物数量越多 寄主的增长率减少得越多,假设寄主的减少率与 寄生物数量成正比; a-寄生物由寄主处提取营养,阻滞寄主增长的能力 寄生物完全靠寄主为生,假定其相邻两代数量之 比与寄主数量成正比 b寄主供养寄生物,使寄生物增长或减少)的能力 建立寄主一寄生模型研究二者数量变化的规 律,讨论时间充分长以后的趋势 非线性差分方程组 5
5 0 10 20 30 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 r=0.3 0 10 20 30 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 r=1.8 0 10 20 30 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 r=2.5 设N=1，取r=0.3, 1.8, 2.5, 初值x0=0.1， 例6 离散形式的阻滞增长模型(Logistic模型) k k k k x N x x x r(1 ) x +1 − = − k ~某种群第k代的数量 xk单调地趋向N xk振荡地趋向N xk不收敛 例6 离散形式的阻滞增长模型 结果分析 +1 = + (1− )x , k = 0,1,2,L N x x x r k k k k k k k k x N x x x r(1 ) +1 − = − x N x 差分方程的平衡点 x = x + r(1− ) 的根: x=N, x=0 若xk→ x (k→∞) , 则平衡点x稳定; 否则，x不稳定. • 平衡点 x=0 不稳定; • 平衡点 x=N 的稳定性与 r 有关. 研究非线性差分方程平衡点稳定的条件 yk+1 = f ( yk ), k = 0,1,2,L 非线性差分方程平衡点稳定的条件 平衡点~代数方程 y=f(y) 的根 y* 非线性差分方程: yk+1 = f ′(y* )(yk − y* ) + y* , k = 0,1,2,L f 在y*点作Taylor展开，保留线性项 近似线性方程: ( ) 1 * f ′ y y* 对近似线性方程是不稳定平衡点, 对非线性方程也是不稳定平衡点 , 1 ( 1) = + + = x b r r N r yk k 例6 离散形式的阻滞增长模型 k k k k x N x x x r(1 ) +1 = + − 变量和 参数代换 (1 ) k 1 k k y = by − y + 平衡点 x=N, x=0 平衡点 y=1-1/b, y=0 f ( y) = by(1− y) f ′( y) = b(1− 2y) f ′(1−1/b) = 2−b f ′(0) = b > 1 y=0不稳定 平衡点 y*=1-1/b稳定的条件: 13 (即r>2), 平衡点 y*不稳定 ( ) 1 * f ′ y < 例7 寄主—寄生模型 • 寄主靠自然资源为生，假定其数量用离散形式的 阻滞增长模型描述; • 寄生物的存在会减少其增长，寄生物数量越多， 寄主的增长率减少得越多，假设寄主的减少率与 寄生物数量成正比 ; • 寄生物完全靠寄主为生，假定其相邻两代数量之 比与寄主数量成正比. 建立寄主—寄生模型研究二者数量变化的规 律，讨论时间充分长以后的趋势. 例7 寄主—寄生模型 模型及其求解 xk~第k代寄主的种群数量 (最大容量N，固有增长率r); yk ~第k代寄生物的种群数量（k=0, 1, 2, …）. + − = − k − k k k x N x x x r(1 ) 1 k k k y = bx y +1 a~寄生物由寄主处攫取营养，阻滞寄主增长的能力 b~寄主供养寄生物，使寄生物增长(或减少)的能力 非线性差分方程组 k k ax y
例7寄主一寄生模型模型及其求解 例7寄主一寄生模型模型及其求解 k-x=(-+)x2-axys 设v100,产=1 AVA VUZWWWM 寄生物在最好的条件下每代的数量可以翻一番 即x=N时y=2y,bN=2,b=2/N=0.02;设a=0.025 3个平衡点:(x,y)=(0,0),(N,0) (ba1-bN)=(5030)寄主一寄生物共存的平衡点 N=100,r=1.5, b=0.02,a=0.025 数值微分 数值微分 用离散方法近似计算函数=(x)在某点c=a的导数值 函数=x)在等间距的分点xx1…n 上用高散数值表示为yy1,…,yn f(a)≡ f(a+h)-f(a) 前差公式误差为O(h) 在中间点 15“·n-1 f(a))-/(a Vu+I-yk 后差公式误差为O(l) 在两端点xn f(a)sf(a+b)-f(a-h)中点公式误差为On2) f(x)=-3y0+4X-,f(x)=y2-4y=1+3 泰勒展开:f(a±b)=a)+(a)+,fa)±Oh 三点公式,误差为O(2) (学静学实鉴 实验练习 实验目的 1.练习用差分方程建立高散动态过程的数学模型 并用 MATLAB计算其数值解 2了解差分方程平衡点及其稳定性的基本知识; 3.练习数值微分的计算。 实验内容 老师课上布置 ·同学通过“清华网络学堂”提交作业 ·网址:htt: /learn. tsinghua. edu.cn
6 例7 寄主—寄生模型 模型及其求解 k k k k k k x ax y N x x +1 − x = r(1− ) − k k k y = bx y +1 设N=100，r=1.5 寄生物在最好的条件下每代的数量可以翻一番， 即xk=N时yk+1=2yk，bN=2，b=2/N=0.02; 设a=0.025。 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 xk yk → 50 → 30 例7 寄主—寄生模型 模型及其求解 3个平衡点： )) 1 , (1 1 ( a bN r b − k k k k k k x ax y N x x +1 − x = r(1− ) − k k k y = bx y +1 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 xk yk N=100，r=1.5, b=0.02, a=0.025 =(50,30) 寄主—寄生物共存的平衡点 (x, y) = (0, 0), (N, 0)， 数值微分 用离散方法近似计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值 h f a h f a f a ( ) ( ) ( ) + − ′ ≅ h f a f a h f a ( ) ( ) ( ) − − ′ ≅ 前差公式 后差公式 h f a h f a h f a 2 ( ) ( ) ( ) + − − ′ ≅ 中点公式 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 f a O h h f a ± h = f a ± hf ′ a + ′′ ± 误差为O(h) 误差为O(h) 误差为O(h2) 泰勒展开: 函数y=f(x)在等间距h的分点x0<x1<…<xn 上用离散数值表示为y0, y1, …, yn 数值微分 , 1,2, 1 2 ( ) 1 1 = − − ′ ≅ + − k n h y y f x k k k L h y y y f x h y y y f x n n n n 2 4 3 ( ) 2 3 4 ( ) 0 1 2 2 1 0 − + ′ = − + − ′ = ， − − 三点公式，误差为O(h2) 在中间点x1, …, xn-1 在两端点x0, xn 实验练习 实验目的 1.练习用差分方程建立离散动态过程的数学模型， 并用MATLAB计算其数值解； 2.了解差分方程平衡点及其稳定性的基本知识； 3. 练习数值微分的计算。 实验内容 • 老师课上布置 • 同学通过“清华网络学堂”提交作业 • 网址：http://learn.tsinghua.edu.cn