第二套 填空题(每小题2分满分20分) 1设矩阵A B 且AB=BA,则x= ,b, a,b3 2设矩阵A=a2b1a2b2a1b3a≠0,b≠0(=12,3则r(4) a, 6, a, b, a, b3 3设阶方阵A的伴随矩阵为A,且4=a≠0,则A= 4设向量a1=(1.-2,3)a2=(02,-5)a3=(-102)a4=(4.5:8)则a1a2,ax2a4 线性 ?关 5设A是矩阵,A有特征值1=0,入2=-1,A3=1,其对应的特征向量分别为5; 52,5,设P=[1,52,5}则PAP= 6设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解充分必要条件是 7已知:f(x1x2,x)=x2+4x+(x2+2x1x)是正定二次型,则取值范围 为 8设阶介方阵A的列分块矩阵为A=x1a2,ax3]ab是数若a3=ax1+ba2, 则4= 9设不含零向量的n元向量组a1,a2,…,an是正交向量组则m与n的 大小关系为 10设有一个四元非齐次线性方程组Ax=b,(4)=3,a1,a2a3为其解向量,且 则此方程组的一般解为 选择(每小题3分,满分15分) 503 (1)行列式2-21中元素2的代数余子式等于() (A)29 B)-29 (2)设A、B、C是同阶的非零矩阵,则AB=AC是B=C的( (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件 (3)对于同一矩阵A,关于非齐次线性方程组Ax=b(b≠0)和齐次线性方程组Ax=0 下列说法正确的是( (A)4x=0无非零解时,Ax=b无解(B)Ax=0有无穷多解时,Ax=b有无穷多解 (C)Ax=b无解时,Ax=0无非零解(D)Ax=b有唯一解时,4x=0只有零解 (4)向量组,a2,an(n22)线性无关的充分必要条件是该向量组中() (A)所有向量非零 (B)任意两个向量的对应分量不成比例
第二套 一.填空题(每小题 2 分,满分 20 分) 设矩阵 ， ，且 ，则 ________， ______。 1 0 2 1 1 2 1. = = = = − = AB BA x y y B x A 2.设矩阵 ， 0， 0，( 1，2，3)，则 ( ) ________。 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 = = = a b i r A a b a b a b a b a b a b a b a b a b A i i = = * * 3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A ，且 A a 0，则 A _______。 ( ) ( ) ( ) ( ) 线性 关。 设向量 ， ， ， ，则 _______? 4. 1, 2,3 0,2, 5 1,0,2 4,5,8 , , , 1 = − 2 = − 3 = − 4 = 1 2 3 4 ， ，设 ，则 。 设 是 阶矩阵， 有特征值 ， ， ，其对应的特征向量分别为 ， , , _________ 5. 3 0 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 = = = = − = − P P AP A A 6.设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax = 0仅有零解充分必要条件是________。 ( ) ( ) 为 。 已知： 是正定二次型，则 的取值范围 _______ 7. , , 4 2 1 3 2 2 2 3 2 f x1 x2 x3 = x1 + x + x + x x 则 。 设 阶方阵 的列分块矩阵为 是数 若 ______ 8. 3 , , , , , , 1 2 3 3 1 2 = = = + A A A a b a b 大小关系为 。 设不含零向量的 元向量组 是正交向量组 则 与 的 _________ 9. , , , , n 1 2 m m n ( ) ， ，则此方程组的一般解为 。 设有一个四元非齐次线性方程组 ， ， 为其解向量，且 _____________ 8 9 9 1 7 9 9 1 10. 3 , , 1 2 3 1 2 3 + = = = = Ax b r A 二、选择(每小题 3 分，满分 15 分) (1) 行列式 3 1 4 5 0 3 2 2 1 − − 中元素 −2 的代数余子式等于 ( ) ( A ) 29 ( B ) −29 ( C ) 58 ( D ) −58 (2) 设 A、 B 、 C 是同阶的非零矩阵，则 AB = AC 是 B = C 的 （ ） ( A )充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件 ( C ) 充分必要条件 ( D )非充分非必要条件 (3) 对于同一矩阵 A,关于非齐次线性方程组 Ax b = ( b 0 )和齐次线性方程组 Ax = 0 下列说法正确的是 （ ） ( A ) Ax = 0 无非零解时, Ax b = 无解 ( B ) Ax = 0 有无穷多解时, Ax b = 有无穷多解 ( C ) Ax b = 无解时, Ax = 0 无非零解 ( D ) Ax b = 有唯一解时, Ax = 0 只有零解 (4) 向量组 1 2 , , , n ( n 2 )线性无关的充分必要条件是该向量组中 ( ) ( A ) 所有向量非零 ( B ) 任意两个向量的对应分量不成比例
C)有一个部分组线性无关 (D)任意一个向量不能由其余向量线性表示 (5)n元实二次型∫=XAX为正定二次型,则下列结论不成立的是 (A)A的n个特征值均大于零 (B)A的n个特征值互异 (C)|4≠0(D)4>0 三,计算:(58分) 1、(8分)计算n阶行列式 D 111 (8分)已知矩阵X满足关系式 XA=B+3X 其中 A 求 3、(8分)设向量组 ax1=(0,1k),a2=(0,.k,0), a3=(11.0),a4=(k,0,0.1 问(1)k为何值时,向量组线性无关 (2)A为何值时,向量组线性相关,并求其秩及一个极大无关组。 4、(10分)对参数讨论方程组 Ax1+x2-x3= x1+Ax2+x3=1 x1+x2-Ax3= 的解,有解时,求出其无穷多解。 5、(10分)设 A=2 求可逆矩阵P使得A=PAP为对角矩阵,并求A。 6、(6分)已知矩阵A与B相似,其中
( C ) 有一个部分组线性无关 ( D ) 任意一个向量不能由其余向量线性表示 (5)n 元实二次型 f X AX T = 为正定二次型，则下列结论不成立的是（ ） ( A )A 的 n 个特征值均大于零 ( B )A 的 n 个特征值互异 ( C ) A 0 ( D ) A 0 三．计算：(58 分) 1、(8 分)计算 n 阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 − − − − − − = an an a a a a a a D 2、(8 分)已知矩阵 X 满足关系式： XA B X T = + 3 其中 − = − = 0 1 4 2 3 0 , 2 1 4 3 A B , 求 X。 3、(8 分)设向量组 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T k k k 1,1,0,0 , ,0,0,1 0,0,1, , 0, ,1,0 , 3 4 1 2 = = = = 问(1) k 为何值时，向量组线性无关。 （2） k 为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组。 4、(10 分)对参数 讨论方程组 + − = + + = + − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x x 的解,有解时,求出其无穷多解。 5、(10 分)设 − − − − − = 2 2 1 2 3 2 1 2 2 A 求可逆矩阵 P 使得 P AP −1 = 为对角矩阵，并求 k A 。 6、(6 分)已知矩阵 A 与 B 相似，其中
00 A=001B=0 求x和y 7、(8分)求正交变换X=PY将二次型 f(x,x2,x)=x2+4x2+4x2-4x+4x3-8x2x化为 标准形并写出P及其标准形 四、证明7分)设,2,6为3维欧氏空间的一组标准正交基, n1=(-61+2E2+2E3)n2=(261+262-E3)n3 (-261+E2-263 证明:2,7也是的一组标准正交基
− = = 0 0 1 0 1 2 0 0 , 0 1 0 0 1 2 0 0 B y x A 求 x 和 y 。 7、(8 分)求正交变换 X = PY ,将二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 + 4x + 4x − 4x x + 4x x − 8x x 化为 标准形,并写出 P 及其标准形. 四、证明(7 分)设 1 2 3 , , 为 3 维欧氏空间 V 的一组标准正交基， ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 2 1 2 3 3 2 1 2 2 3 3 1 2 2 , 3 1 2 2 , 3 1 = − + + = + − = − + − 证明： , , . 1 2 3也是V的一组标准正交基