第5章定积分 51定积分的概念与性质 52微积分学基本定理 53定积分的积分法 54广义积分
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分学基本定理 5.3 定积分的积分法 5.4 广义积分 第5章 定积分 结束
51定积分的概念与性质 5.11引入定积分概念的实例 引例1曲边梯形的面积如图由连续曲线y=(x),直线 x=a,x=b及轴围成的图形称为曲边梯形 下面我们求曲边梯形的面积 (1)分割在(ab内插入n-1个分点 y=f(x) a=x<x,<x<.<x,<x=b 把区间ab分成n个小区间 o a b [x,x1x1,x2],,[x12x1],,[ 记每一个小区间px,x的长度为Ax=x,-x1(i=1,2…m 前页后页结束
前页 后页 结束 5.1.1 引入定积分概念的实例 引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形. 下面我们求曲边梯形的面积 (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ][ , ] ... [ , ] [ , ] 0 1 1 2 i 1 i n 1 n x x x x x x x x ， ，， − ，， − 把区间[a,b]分成n个小区间 记每一个小区间 的长度为 1 ( 1 2 ) i i i [ , ] x x i i −1 = − = x x x i n − ，， a b x y f x = ( ) o y 5.1 定积分的概念与性质
过每个分点x(÷=1,2,…,m)作轴的平行线,将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形 (2近似 △4表示第个小曲边梯形的面积在小区间…,x=12,…m) 内任取一点5555x),过点5作轴的垂线与曲线 交于点P(5,f(5),以Ax,为底,f(4)为高做矩形以此 矩形做为小曲边梯形面积的近似值则44≈△x·f(5) (3)求和 y=f(r) 将所有矩形面积求和 An=f(51)x1+f(42)x2+…+f(5nAxn ∑f(5)△x 0 a bx 前页后页结束
前页 后页 结束 (2)近似 表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线 交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此 矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则 Ai 1 [ , ]( 1,2, , ) i i x x i n − = 1 ( ) i i i i x x − i ( , ( )) P f i i i i x ( )i f ( ) A x f i i i a y f x = ( ) M N o y (3)求和 将所有矩形面积求和 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) A f x f x f x n n n = + + + 1 ( ) n i i i f x = = b x 过每个分点xi (i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形 分割成n个小曲边梯形
则A即是曲边梯形面积的近似值 (4)取极限 记为所有小区间中长度的最大者,即元=max{△x}, 当九→0时总和的极限就是曲边梯形面积A,即 A=im∑f(5)△x 引例2变力做功 设某质点作直线运动,已知变力F(s)是位移的 连续函数,质点的位秘间为a,b,求变力F做的功 解(1)分割 在a,b插入n个分点 a=S0<S1<S2<…<S;<…<Sn1<Sn=b 页后页结束
前页 后页 结束 (4)取极限 记 为所有小区间中长度的最大者,即 , 当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即 1 max{ }i i n x = → 0 0 1 lim ( ) n i i i A f x → = = 解 (1) 分割 引例2 变力做功 , . ( ) 连续函数，质点的位移区间为 ，求变力 做的功 设某质点作直线运动，已知变力 是位移 的 a b F F s s 在 插入n个分点 0 1 2 1 i n n a s s s s s s b = = − [ , ] a b 则 A n 即是曲边梯形面积的近似值
将闭区间ab分成n个小区间: lS0,S1l1,S2l,…,s-1,S;l,…,|sn1,sSn 小区间的长度 Si=si (i=1,2,…,n) 2)近似 在每一个小区间1,上任取一点,把F(4)做为 质点在小区间上受力的近似值于是力F在小区间[1,s 上对质点所做的功的近似值为 △W≈F(5;)△s;(i=1,2,…,n) 前页后页结束
前页 后页 结束 将闭区间[a,b]分成n个小区间: 0 1 1 2 1 1 [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ] i i n n s s s s s s s s − − 1 ( 1,2, , ) i i i = − = s s s i n − 小区间的长度 (2)近似 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为 质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为 1 [ , ] i i s s − i ( ) F i 1 [ , ] i i s s − ( ) ( 1,2, , ) W F s i n i i i =
(3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来即得到 在区间[a上所做功的近似值即 W=∑AW∑FS (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为元,即A=max(△s;), 则当A→0时和式的极限即为变力在区间[a,b上对质点 所做的功,即 W=lim∑F(5)△s 页后页结束
前页 后页 结束 (3)求和 1 1 ( ) = = = n n i i i i i W W F S 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到 在区间 a b, 上所做功的近似值,即 (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为 ,即 , 则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点 所做的功,即 max( )i = s → 0 a b, 0 1 lim ( ) n i i i W = F s → =
512定积分的概念 定义设函数f(x)在[a,b上有界,在a,b中任意插入n-1 个分点 a=x<x1<x<.<x.<x=b 把区间a,b分成n个小区间 n-12n 各个小区间的长度为 在每一个小区间x12x:正上任取一点51(x-1≤5≤x 作和式简称积分和式)∑f()Ax 页后页结束
前页 后页 结束 5.1.2 定积分的概念 [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ] [ , ] : : ( ) [ , ] [ , ] 1 0 1 1 2 1 1 0 1 2 1 i i n n n n x x x x x x x x a b n a x x x x x b f x a b a b n − − = − = − 把区间 分成 个小区间 个分点 定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入 ( ), i i 1 i i x x 在每一个小区间 上任取一点 − 各个小区间的长度为 [ , ] 1 1 i i i i i x x x x x − = − − = n i i i f x 1 作和式(简称积分和式) ( )
记=max{△x1,Ax2…,Axn},如果对区间a,b任一分法 和小区间x=12x上点任意取法,只要当λ→>O时,上 述和式的极限都存在且相等,则称此极限为函数f(x) 在区间ab]上的定积分(简称积分),记作 (x)=∑(5A△, 其中x)叫做被积函数,fx)dx叫做被积表达式,x叫 做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b 叫做积分区间 前页后页结束
前页 后页 结束 在区间 上的 ，记作 述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函 数 和小区间 上点 任意取法，只要当 时，上 记 ，如果对区间 任一分法 [ , ] ( ) [ , ] 0 max{ , ,..., } [ , ] 1 2 a b f x x x x x x a b i i i i n → = − 定积分(简称积分) 0 1 ( )d lim ( ) , n b i i a i f x x f x → = = 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫 做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b] 叫做积分区间
根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述: 曲线f(x)(f(x)≥0)、x轴及两条直线x=a=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分,即 A=f(xide 页后页结束
前页 后页 结束 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 f (x)( f (x) 0) A f (x)dx. b a =
质点在变力Fs)作用下作直线运动,由起始位置 n移动到b,变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b 上的定积分,即 w= F(s)ds 如果函数f(x)在区间a上的定积分存在, 则称函数/(x)在区间a,b上可积 可以证明若函数f(x)在在区间[a,b上连续,或只有有 限个第一类间断点则f(x)在在区间[an,b上可积 页后页结束
前页 后页 结束 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在， 则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置 a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即 = ( )d b a W F s s 可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积