第9章常微分方程 9.1常微分方程的基本概念 9.2可分离变量的微分方程 9.3一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4二阶常系数微分方程 9.5常微分方程的应用举例
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例 第9章 常微分方程 结束
9.1常微分方程的基本概念 定义一含有未知函数的导数(或微分)的方程称为 微分方程。 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程 定义二在微分方程中,所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是F(x,y,y)=0 二阶微分方程的一般形式是F(x,y,y,y")=0 前页后页结束
前页 后页 结束 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 定义一 9.1 常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y ) = 0 F(x, y, y , y ) = 0
注:在微分方程中,未知函数及自变 量可以不出现 例 +ay2=bx是一阶微分方程 db dy+a中+bx=x是二阶微分方程 d d 前页后页结束
前页 后页 结束 是二阶微分方程 d d d d bx x x y a x y + + = 2 2 注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 是一阶微分方程 d d ay bx x y + = 2 2 例：
定义3能使微分方程成为恒等式的函数y=q(x) 叫做微分方程的解 其图形是一条平面曲线,称之为微分方程的 积分曲线 例如,y=e是方程y-2y=0的一个解 我们在学习不定积分时就已经知道,一个导数的原 函数有无穷多个,因此一个微分方程也有无穷多个 解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义3 能使微分方程成为恒等式的函数 y = (x) 叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线． 例如， x y e 2 = 是方程 y − 2y = 0 的一个解． 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．
例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(12) 且在该曲线上任一点p(x,y)的切线斜率 等于该点的纵坐标的平方,求此曲线方程 解设所求曲线的方程为y=y(x) 根据导数的几何意义及本题给出的条件,得 积分得x=-+C 又由于已知曲线过点(1,2),代入上式,得C 3 故所求曲线的方程为x 31 2 前页后页结束
前页 后页 结束 2 y = y 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程． 例1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点 p(x, y) 处的切线斜率 解 设所求曲线的方程为y=y(x)， 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2 y x y = d d 即 C y x = − + 1 积分得 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得 2 3 C = 故所求曲线的方程为 y x 1 2 3 = −
定义4若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称 此解为该方程的通解(或一般解) 阶微分方程的通解是y=y(x,C) 二阶微分方程的通解是y=y(x,C12C2 n阶微分方程的通解中,必须含有n个任意常数 其通解的图形是平面上的一族曲线,称为积分 曲线族 前页后页结束
前页 后页 结束 此解为该方程的通解（或一般解）． 定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 一阶微分方程的通解是 y y x C = ( , ) 二阶微分方程的通解是 1 2 y y x C C = ( , , ) n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数． 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族．
定义5如果指定通解中的任意常数为某一固定常数, 那么所得到的解叫做微分方程的特解 如方程y-2y=0的通解是y=Ce2x 而y=e就是一个特解,这里C=1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的.如例1中的曲线通过点(1,2) 这个“预先给定的条件”叫初始条件 定义6用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件当通解中的各任意常数都取 得特定值时所得到的解,称为方程的特解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解． x y Ce2 如方程 y y − = 2 0 的通解是 = 而 x y e 2 = 就是一个特解，这里 C = 1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的．如例1中的曲线通过点（1 , 2） ， 这个“预先给定的条件”叫初始条件． 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取 定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
通常情况下, 阶微分方程的初始条件是yx=x=y 区法示图片 即y(x0)=yo 二阶微分方程的初始条件是yx=n=及y1=y 即y(x0)=y与y(x0) 个微分方程与其初始条件构成的向题称为初值问题, 求解其初值问题就是求方程的特解 前页后页结束
前页 后页 结束 通常情况下， 0 0 即 y(x ) = y 二阶微分方程的初始条件是 0 0 y y x x = = 及 0 x x 0 y y = = 即 0 0 y x y ( ) = 与 0 0 y x y ( ) = 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解． 0 0 y y x x = 一阶微分方程的初始条件是 =
例2验证函数y=e+e是不是方程 y"-2y+y=0的解 解求y=e2+e的导数,得 e e" te 将y、y及y”代入原方程的左边,有 日ex+e-2ex+2ex+ex+e≠0 即函数y=e+e不满足原方程, 所以该函数不是所给二阶微分方程的解 前页后页结束
前页 后页 结束 x x y e e − 例2 验证函数 = + 是不是方程 y − 2y + y = 0的解. 解 求 x x y e e − = + 的导数，得 , x x y e e − = − x x y e e − = + 将y、y 及y 代入原方程的左边，有 + − 2 + 2 + + 0 x − x x − x x − x e e e e e e 即函数 x x y e e − = + 不满足原方程， 所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
例3验证y=Cx是不是方程3y-x=0的通解(C 为任意常数),并求满足初始条件y(1)=的特解 3 解由y=Cx°得y=3Cx 将y和y代入原方程的左边 3Cx3-x3Cx2=0 y=Cx满足原方程 又因为该函数含有一个任意常数, y=Cx是一阶微分方程3y-xy=0的通解 将初始条件y()=代入通解,得C 3 3 故所求特解为y=x3 3 前页后页结束
前页 后页 结束 3 y = Cx 3 y − xy = 0 3 1 y(1) = 解 由 3 y = Cx 得 3 . 2 y = Cx 将y和y 代入原方程的左边 3 3 0 3 2 Cx − x Cx = 3 y = Cx 满足原方程． 又因为该函数含有一个任意常数， 3 y = Cx 是一阶微分方程 3 y − xy = 0 的通解． 为任意常数）, 并求满足初始条件 例3 验证 是不是方程 的通解（C 的特解． 将初始条件 3 1 y(1) = 代入通解，得 3 1 C = 故所求特解为 3 3 1 y = x