第一套 填空题(每小题2分,满分20分) 002 4003|= 2.已知a=(0,-1,2),β=(0,-1,1),且A=aβT,则A4 3.设A、B为4阶方阵,且=2,B=81,则4B= 4.设3阶方阵A的非零特征值为5,-3,则= 5.与向量组a(,,,,a(,,,y, a:=(2,-2,2,-2),都正交的单位向量a 6.A是3×4矩阵,其秩r=2,B=120-2,则rB4= 7.设β1、B2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解,q是对应的齐次方程组的 基础解系,则β1,B2,a之间的关系为 8.向量组a=(1,1,1),az(1,2,4),a:=(1,a,a2)线性无关的充要条件为 a a 9.设可逆方阵A的特征值为λ,则kA1的特征值为
第一套 一. 填空题 (每小题 2 分，满分 20 分) 1. 4 0 0 3 0 5 6 0 0 8 7 0 1 0 0 2 = 。 2. 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且 A =αβT , 则 A4 = 。 3. 设 A、B 为 4 阶方阵，且 A =2， 3B =81，则 AB = 4. 设 3 阶方阵 A 的非零特征值为 5，-3，则 A = 5. 与向量组α1= ( 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 ) T , α2= ( 2 1 , 2 1 , - 2 1 , - 2 1 ) T , α3= ( 2 1 , - 2 1 , 2 1 , - 2 1 ) T ,都正交的单位向量α4= 6. A 是 3×4 矩阵，其秩 r (A) =2, B= 2 0 − 2 0 1 0 1 0 1 , 则 r (BA)= _____ 7. 设β1、β2是非齐次方程组 Ax=b 的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的 基础解系，则β1 ,β2 ,α之间的关系为 。 8. 向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2 ) T 线性无关的充要条件为 a≠ 且 a≠ 。 9. 设可逆方阵 A 的特征值为λ，则 kA-1 的特征值为
10.fx1,x2,x)=x2+ax2+2x32-2xmx2为正定二次型,则a的取值范围为 选择:(每小题3分,满分15分) (1)5阶行列式的全面展开式共有多少项() (A)10项 (B)25项 (C)60项 (D)120项 Cr D b2 (2)设abc3 则 (C) (A)6 (B)2 (D)-48 (3)若A2=0,E是单位矩阵,则E-4)=() (B)E-A (C)E+A (D)E+A (4)设线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为(46)→(000a,则此方程 组() (A)有唯一解或有无穷多解(B)一定有无穷多解(C)可能无解(D)一定无解 (5)若n阶矩阵A与B相似,则() (A)它们的特征矩阵相似 (B)它们具有相同的特征向量 (C)它们具有相同的特征矩阵 (D)存在可逆矩阵C,使CAC=B 三计算(60分) 1、(8分)计算n阶行列式 123 3 2、(8分)设A、B为3阶矩阵,且A2B=A+B-E,其中A= 101 E为3阶单位矩阵,求矩阵B。 3、(8分)确定a、b的值,使矩阵A
10. f(x1, x2, x3) = x1 2+ax2 2+2x3 2 -2x1x2 为正定二次型，则 a 的取值范围为 二、选择：(每小题 3 分，满分 15 分) (1) 5 阶行列式的全面展开式共有多少项 ( ) ( A ) 10 项 ( B ) 25 项 ( C ) 60 项 ( D ) 120 项 (2) 设 1 1 1 222 3 3 3 2 a b c D a b c a b c = = ,则 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 a a b c a a b c a a b c − − = − ( C ) ( A ) 6 ( B ) 2 ( C ) −12 ( D ) −48 (3) 若 2 A = 0， E 是单位矩阵，则 ( ) −1 E − A = （ ） ( A ) −1 E − A ( B ) E− A ( C ) −1 E + A ( D ) E+ A (4) 设线性方程组 Ax b = 的增广矩阵经初等行变换化为 (A b) → 2 0 2 3 0 1 0 0 0 a a a ,则此方程 组 （ ） ( A ) 有唯一解或有无穷多解 ( B ) 一定有无穷多解 ( C ) 可能无解 ( D ) 一定无解 (5)若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（ ） ( A )它们的特征矩阵相似 ( B )它们具有相同的特征向量 ( C )它们具有相同的特征矩阵 ( D )存在可逆矩阵 C，使 C AC B T = 三.计算（60 分） 1、（8 分）计算 n 阶行列式 Dn = 1 2 3 ... ( 1) 0 1 2 3 ... 0 ... 1 2 0 ... 1 1 0 3 ... 1 1 2 3 ... 1 − − − − − − − − − − − − − − n n n n n n n n 2、（8 分）设 A、B 为 3 阶矩阵，且 A2B = A + B – E ，其中 A = − 3 0 3 0 2 0 1 0 1 ， E 为 3 阶单位矩阵，求矩阵 B。 3、（8 分）确定 a、b 的值，使矩阵 A=
305 21-3 的秩为2。 4、(8分)设a=(1,0,2,1),a2(1,2,0,1), a:=(2,1,3,0),a=(2,5,-1,4), 求此向量组的秩及一个极大无关组,并用此极大无关组表示其余向量 5、(10分)mk,为何值时方程组 x1+3x2+x3=0, 3x,+2x,+3x,=-1 x,+4x2+mx3=k (1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?在有解时写出其通解 6、(8分) 已知三阶矩阵A有三个特征值2,1,-2.B=A3-3A2 (1)求B的特征值(2)求B+10E 7、(10分)求正交矩阵P,将二次型 x1,x2,x3)=-x12-y2 +4x1x2+4xx3-4x2x3 化为标准形并写出此标准形 四、(5分)设齐次方程组 ax1+a12x2+…+anxn=0 a21x1+a22x+…+a2nxn=0, ahnx1+an2x+……+anxn=0, 的系数行列式=0,A的某一元素ay的代数余子式A≠0 证明 (Ak1,Ak2,…,A)为此方程组的一个基础解系
− − b a 5 4 3 1 0 1 2 6 3 3 2 1 3 1 1 1 1 1 的秩为 2。 4、（8 分）设α1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组，并用此极大无关组表示其余向量。 5、（10 分） m, k, 为何值时,方程组 − + + = + + = − + + = x x mx k x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 2 3 1 3 0, (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?在有解时写出其通解. 6、（8 分） B E A B A A (1) B .(2) 10 2,1, 2. 3 . 3 2 + − = − 求 的特征值 求 已知三阶矩阵 有三个特征值 7、（10 分）求正交矩阵 P，将二次型 f(x1, x2, x3) = -x1 2 -x2 2 -x3 2+4x1x2+4x1x3-4x2x3 化为标准形并写出此标准形。 四、（5 分）设齐次方程组 a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 , … … an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 , 的系数行列式 A =0，A 的某一元素 akj 的代数余子式 Akj≠0， 证明: x = (Ak1 , Ak2 , … , Akn) T 为此方程组的一个基础解系