《经济数学基础》课程教学资源：自测试题一

自测试题一 、填空: 000 1、-652、2701 3、24、0或-75或455、 6、2 2 7、a=k(B1-B2)k≠08、129 k 0 二、选择:1、D2、C3、D4、D5、A n= 0 2(n-1)2 三、1、原式= 00 12 00 0 2、AB=A+B-E,得(A2-E)B=A-E,|4-E≠0,所以A-E可逆,所以 0 (A+E)B=E→B=(A+E)=0-10 30子 =0.b=2 01263 01263 l122 1122 203 0-2-1-5 001-1 0010 1001) 0103 秩为3,为一个极大无关组,a4=a1+3a2-a3 0000 1310 0 5、3 3-1→0-70 1→0-70 k)(07m+1k)(00m+1k-1 (1)m+1≠0时有唯一解。(2)m+1=0,k-1≠0时无解。(3)m+1=0,k-1=0

自测试题一 一、填空： 1、-65 2、           − − 0 2 2 0 1 1 0 0 0 27 3、2 4、0 或-75 或 45 5、 T       − − 2 1 2 1 2 1 2 1 6、2 7、 = k(1 − 2 ), k  0 8、1 2 9、  k 10、  0 二、选择：1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 三、1、原式= ! 0 0 0 0 0 1 2 0 2 2( 1) 2 1 2 1 n n n n n n n n = − − =          2、 A B = A+ B − E 2 ，得 (A − E)B = A− E 2 ， A− E  0, 所以 A − E 可逆，所以           − − − + =  = + = − 5 2 5 3 5 1 5 4 1 0 0 1 0 0 (A E)B E B (A E) 3、               − − = b a A 5 4 3 1 0 1 2 6 3 3 2 1 3 1 1 1 1 1 →               − − − − − − − − 0 1 2 6 5 0 1 2 6 3 0 1 2 6 3 1 1 1 1 1 b a ， a = 0,b = 2 4 、               − 1 1 0 4 2 0 3 1 0 2 1 5 1 1 2 2               − − − − → 0 0 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 1 1 2 2               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 2 2               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 6 1 1 0 4               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1  秩为 3，为一个极大无关组， 4 = 1 + 32 −3 5、 →           − − 1 4 m k 3 2 3 1 1 3 1 0 →           + − − 0 7 m 1 k 0 7 0 1 1 3 1 0           + − − − 0 0 1 1 0 7 0 1 1 3 1 0 m k  （1） m +1  0 时有唯一解。（2） m +1 = 0, k −1  0 时无解。（3） m +1 = 0, k −1 = 0

时有无穷多解,通解(0+号 6、(1)B的特征值:-4,-2,-20: (2)|B+10E=-10E-B=-(-10+4)-10+2-10+20)=480 l22 A+1-2 7、∫=XAX,A=2 2|,E-4=-22+12|=(1-1)(+5) 2-2 22A+1 =2=12=-5,∴fX=Qy2+y2-5y2 四…4,≠0.∴八(4)=n-1,:基础解系只含一个向量,…x=(4141…4)≠0 Ax=0,:x=(4,41…4)为一个基础解系 自测试题二 填空 1、1:22、13、am-14、相关5、 0 6、r(4)=n7、(02) 8、09、m≤n10、a1+k 选择 l、A2、B3 4、D5、B 计算 1、解:D= nara 2、解:XA=B1+3X x(4-3E)=BX=B(4-3E)

时有无穷多解，通解          − +          − 1 0 0 1 7 1 7 3 c 6、（1）B 的特征值： − 4,−2,−20 ； （2） B +10E = −−10E − B = −(−10 + 4)(−10 + 2)(−10 + 20) = 480 7、f X AX T = ，           − − − − − = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A ， ( 1) ( 5) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = − + − + − + + − − − =      E A 1 = 2 = 1,3 = −5， 2 3 2 2 2  f X = QY y1 + y − 5y 四、 A  0,r(A) = n −1 j  k ， 基础解系只含一个向量， ( ) 0 1 2 3 =  T Ak Ak Ak  x  AX = 0， ( ) T Ak Ak Ak x 1 2  3  = 为一个基础解系。 自测试题二 一、填空 1、1；2 2、1 3、 n−1 a 4、相关 5、         −1 0 6、r(A) = n 7、(0,2) 8、0 9、 m  n 10、               + 3 2 9 2 9 2 1 1  k 二、选择 1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 三、计算 1、解： 2 1 0 0 0 0 1 2 1 n a a a D n− =  ( ) 1 2 1 1 1 − + = − n n na a a 2、解： XA B X T = + 3  ( ) T X A− 3E = B ( )           − − − = − = − 1 1 2 1 3 2 1 2 3 1 X B A E T

0k10 3、解:(1) =-kk10+0k1=k2-k≠0 k≠0.k≠1 0010 0010 0010 (2)k=0 000001 0001 0000 秩为3,a2a3a4为一个极大无关组ax1=a2 0011 1001 1001 k=1 0110010-10110011 l100 0011 00 0011 1001 1100 010-1 010-1 秩为3,a1,a2a3为一个极大无关组a4 0011 4、解:111→x1-1x|→01-x2-1-x2 λA)(1211)(02-11+ →01-2x 002+A1-2 (1)2+λ=0,1-22≠0,即λ=0时无解。 (2)2+A≠0.1-≠0,即A≠0,≠±1时有唯一解。 (3)A≠0,4=±1时有无穷多解。=11111→0010 11-11)(0000 基础解系为1,通解为k1+0 0)(0 =-1

3、解：（1） 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 = − k + k = k − k  k k k k k  k  0, k  1 （2） k = 0               →               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 秩为 3， 2 3 4  , , 为一个极大无关组 1 = 2 k =1               − − →               − →               − →               0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 秩为 3， 1 2 3  , , 为一个极大无关组 4 = 1 −2 +3 4、解：           − −      1 1 1 1 1 1 1 →           − − 1 1 1 1 1 1 1      →           − + − − − − −          0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 →           + − − − − − 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 1          （1） 0,1 0 2 2  +  = −   ，即  = 0 时无解。 （2） 0,1 0 2  +   −   ，即   0,  1 时有唯一解。 （3）   0, = 1 时有无穷多解。  =1           − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 →           0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 基础解系为          − 0 1 1 ，通解为           +          − 0 0 1 0 1 1 k  = −1

020-2→010-1基础解系为0,通解为k0|+|-1 0000 0000 5、AE-A=-22+32|=(12-1)(2+1) 02 220 011 100 得特征向量|-1 222→000得特征向量10 P 110 P-AP=-146 其中P=-10 2 6、解:A4=B 1; (4)=t,(B) 4)=1 2+x=2+y 7、解:f=x4XA=-24-4E-4=(2-9) =0,对应特征向量为10,标准正交化得 0J(1 0 =9,对应特征向量为1标准正交化得子,P=赤 令X=Py

          − − 0 0 0 0 0 2 0 2 1 1 1 1 →           − 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 基础解系为          − 1 0 1 ，通解为           + −          − 0 1 0 1 0 1 k 5、 ( )( ) 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 = − + − − − + − − =      E A  =1           − − →           − − 0 1 1 1 2 1 1 1 0 2 2 0 2 4 2 0 2 2           →           − → 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0  得特征向量 , 1 1 1           − −  = −1           →           − − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 得特征向量          −          − 1 0 1 , 0 1 1            − − − − = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P           − = − − 1 1 1 1 P AP 1 1 1 1 −           A = P − P k k 其中           − − − − − = − 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 P 6、解： A = B  2 1 y = t (A) t (B) r = r  2 + x = 2 + y −1  2 1 x = − 7、解： f X AX T =           − − − − = 2 4 4 2 4 4 1 2 2 A ( 9) 2 E − A =   −  = 0 ，对应特征向量为                    − 1 0 2 , 0 1 2 ，标准正交化得                     − 3 5 3 5 4 3 5 2 5 1 5 2 , 0  = 9 ，对应特征向量为          − 1 1 2 1 标准正交化得          − 3 2 3 2 3 1 ，           − = − 3 2 3 5 3 2 3 5 4 5 1 3 1 3 5 2 5 2 0 P 令 X = Py 2 9 3 f = y

四、证明 于子 (nnn)=1a26子子 于子 子子 令A=子 AA=E A正交,∴,m2,n3为一组标准正交基

四、证明 证： ( ) ( )           = − − − − 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3       令 A =           − − − − 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1  A A E T =  A 正交，  1 2 3  , , 为一组标准正交基