§4.4依测度收敛 改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围,二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言,积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件:“fn(x)在E 上一致收敛于f(x)”,将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收 敛”是一种思路,在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法 从集合论的角度讲:“fn(x)在E上一致收敛于f(x)”是指0>0,No >0,当n>N时,E[|fn(x)-f(x)|≥0]=中,之所以我们认为“一致收敛” 条件苛刻,就在于它要求E[|fn(x)-f(x)≥0]从某项以后永远为空集。能否 改成允许不空,甚至允许为正测度集,但必须满足 mE[|fn(x)-f(x)|≥0]→0(n→+∞) 呢?这就导致了一个新的收敛概念的产生。 定义4.3.1设f(x),fn(x)(n=1,2,…)为在E上几乎处处有限的可测 函数,并对0>0,yε>0,彐No>0,当n>N时,mE[fn(x)-f(x)|≥0] 0,有imm[fn(x)-f(x)|≥0]=0,则称函数列{fn(x) 在E上依测度收敛于f(x),记为f(x)→f(x)于E。 显然,若fn()-→)f(x)于E,则fn(x)→fx)于E。 定理4.4.1( Lebesgue定理)设m<+∞,f(x),fn(x)(n=1,2,…)为 在E上几乎处处有限的可测函数,且f(x)—"→f(x)a.e于E,则 fn(x)→f(x)于E
§４.4 依测度收敛 改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收 敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。 从集合论的角度讲：“f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)”是指∀ σ＞0，ョ N 0 ＞0，当 n＞N 0时，E[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为“一致收敛” 条件苛刻，就在于它要求 E[|f n (x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。能否 改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足 mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞) 呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生。 定义４.３.１ 设 f(x)，f n (x)(n＝1,2,...)为在 E 上几乎处处有限的可测 函数，并对∀ σ＞0，∀ ε＞0，ョ N 0＞0，当 n＞N 0时，mE[|f n (x)－f(x)|≥σ] ＜ε， 即对∀ σ＞0，有n→∞ lim mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝0，则称函数列{f n (x)} 在 E 上依测度收敛于 f(x)，记为 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 显然，若 f n (x) 一致→ f(x)于 E，则 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 定理４.4.１ (Lebesgue 定理)设 mE＜＋∞，f(x)，f n (x)(n＝1,2,... )为 在 E 上几乎处处有限的可测函数，且 f n (x) n →→ ∞ f(x) a.e 于 E，则 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E
证明因为Efn(x)-)f()=U∩∪Efn(x)-f(x)|≥ 又因为f,(x)在E上几乎处处收敛于f(x),所以m[fn(x)-f(x)]=0,于 是对km(∩UEfn(x)-f(x)1≥])=0,由内极限定理 limmU Elf,(x)-f(x)1>1=0 对0>0,3<0,则Efn(x)-f(x)|≥0]cE[fn(x)-f(x)≥], 即0≤m[fn(x)-f(x)|≥0]≤mE[fn(x)-f(x)≥ 0(n→+∞),所以 f(x)→f(x)于E。证毕 反过来,若f(x)在E上依测度收敛于f(x),不能保证fn(x)在E上几乎处 处收敛于f(x),请看下述反例 例4.4.1fn(x)= =1,2,…,n.显然fn(x) 0于(0,1),但对任意的x∈(0,1),对每一个n,都存在f(x)=1同时对每 个n,都存在f(x)=0,从而对任意的x∈(0,1),f(x)都不收敛于任何实 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系,著名的F. Riesz 定理反映了它们的内在联系 定理4.4.2(F. Riesz定理)若f(x)→f(x)于E,则彐子列
证明 因为 E[f n (x) − af(x)]＝U ∞ k=1 I ∞ N=1 U ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 又因为 f n (x)在 E 上几乎处处收敛于 f(x)，所以 mE[f n (x) − a f(x)]＝0，于 是对∀ k 1 ,m｛ I ∞ N=1 U ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]｝＝0，由内极限定理 N→∞ lim mU ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝0 (４.３.１) 对∀ σ＞0，ョ k 1 ＜σ,则 E[|f n (x)－f(x)|≥σ]⊂ E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]， 即 0≤mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]≤mE[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]─→0(n→+∞)，所以 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 证毕 反过来，若 f n (x)在 E 上依测度收敛于 f(x)，不能保证 f n (x)在 E 上几乎处 处收敛于 f(x)，请看下述反例： 例４.4.１ f i n (x)＝ ( ] − ∈ − − ∈ n i n i x n i n i x , 1 0, 0,1 , 1 1, i=1,2,...,n. 显然 f i n (x) ⇒ n→∞ 0 于(0,1)，但对任意的 x∈(0,1)，对每一个 n，都存在 f i n (x)＝1 同时对每 一个 n，都存在 f i n (x)＝0，从而对任意的 x∈(0,1)，f i n ( x)都不收敛于任何实 数。 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系，著名的 F.Riesz 定理反映了它们的内在联系。 定理４.4.２ （F.Riesz 定理）若 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，则ョ子列
→>f(x)a.e于E。 证明因为Ern()-+→r()-U∩UE[rn(x)-()1≥ 于是只须选取f。(x)满足mE[f(x)-f(x)|≥1k时有:f(x)a.e于E。证毕 推论4.4.1若mEf(x)a.e于 证明“=>”因为f(x)→f(x)于E,所以f(x)→f(x)于E,从而彐 该子列的子列f(x) →f(x)a.e于E。 =”若不然,则彐00,ε0及f(x)满足E[fn(x)-f(x)|≥00]≥ε0, → 由条件知:对此f(x)也彐子列f。(x) →>f(x)a.e于E,即 mE[|fn(x)-f(x)|≥00]→0mn→∞),这与m[f(x)-f(x)≥00≥0矛 盾 作为 Lebesgue定理的应用,我们来进一步研究直线上可测函数的结构
f ni (x) n → i → ∞ f(x) a.e 于 E。 证明 因为 E[f ni (x) − + →f(x)]＝U ∞ k=1 I ∞ N=1 U ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ] 于是只须选取 f ni (x)满足 mE[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]＜ i 2 1 即可保证对∀ k 当 i ＞k 时有： i 1 ＜ k 1 ，E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ]⊂ E[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]， 0≤m I ∞ N=1 U ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ]≤ N→∞ lim mU ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ], ≤ ∑ ∞ = →∞ i N N lim mE[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]≤ ∑ ∞ = →∞ i N N lim i 2 1 ＝0，从而 mE[f ni (x) − + →f(x)]＝0，即 f ni (x) n → i → ∞ f(x) a.e 于 E。证毕 推论４.4.１ 若 mE＜＋∞，{f n (x)}在 E 上几乎处处有限且可测，则 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E⇔ 对任意子列 f ni (x)ョ该子列的子列 f j ni (x) →ni j →∞ f(x) a.e 于 E。 证明 “＝>”因为 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，所以 f ni (x)⇒ ni→∞ f(x)于 E，从而ョ 该子列的子列 f j ni (x) →ni j →∞ f(x) a.e 于 E。 “<＝” 若不然，则ヨσ0 ,ε0及 f ni (x)满足 E[|f ni (x)-f(x)|≥σ0 ]≥ε0， 由条件知：对此 f ni (x)也ョ子列 f j ni (x) →ni j →∞ f(x) a.e 于 E，即 mE[|f j ni (x)-f(x)|≥σ0 ]→0(n j i →∞)，这与 mE[|f ni (x)-f(x)|≥σ0 ]≥ε0矛 盾。 作为 Lebesgue 定理的应用，我们来进一步研究直线上可测函数的结构
定理4.4.3设E∈(-∞,+∞)且f在E上几乎处处有限,则f在E上可测分 彐gn∈C(-∞,+∞),gn(x) →f(x)a.e于E。且|gn(x)|≤sup{|f(x)| x∈E} 证明“=>”由鲁津定理知:对任意n有fn∈C(-∞,+∞)满足mE[fn≠f] 1,且|gn(x)|≤sup{|f(x)||x∈E},则f,(x)=f(x)于E,由.Resz n 定理知:3子列f。(x) →f(x)a.e于E,取g,(x)=fn(x)即可 “对任意有理数rE[f>r]可测。如果任意有理数r, E[f=r]可测,问f(x)是否在E上一定可测? 2.若f在[a,b]上单调,则f在[a,b]上可测 3.设{f(x)}为E上的可测函数列,证明它的收敛点集和发散点集都是可测集。 4设不可测集E[0,1,令f(x)≈1x∈E 1x∈y-2,问f(x)是否在[0,1上可 测?f(x)是否在[0,1上可测? 5.设皿E0,彐常数c与可测子集 E∈E满足m(E-E)<E,|fn(x)|≤C(x∈E,n=1,2,,, 6.设f(x)是(一∞,+∞)上的连续函数,g(x)为[a,b]上的可测函数,则f[g(x)] 为[a,b]上的可测函数
定理４.4.３ 设 E⊂ (-∞,+∞)且 f在 E上几乎处处有限，则 f在 E上可测⇔ ョ g n ∈C(-∞,+∞)，g n (x) n →→ ∞ f(x) a.e 于 E。且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜ x∈E｝ 证明 “＝>” 由鲁津定理知：对任意 n 有 f n ∈C(-∞,+∞)满足 mE[f n ≠f] ＜ n 1 ，且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝，则 f n (x)＝>f(x)于 E，由 F.Riesz 定理知：ョ子列 f ni (x) n → i → ∞ f(x) a.e 于 E，取 g i (x)＝f ni (x)即可。 “对任意有理数 r E[f＞r]可测。如果任意有理数 r， E[f＝r]可测，问 f(x)是否在 E 上一定可测？ 2.若 f 在[a,b]上单调，则 f 在[a,b]上可测。 3.设｛f n (x)｝为 E 上的可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测集。 4.设不可测集 E⊂ [0,1]，令 f(x)＝ [ ] − ∈ − ∈ 1, 0,1 , 1, x E x E ， 问 f(x)是否在[0,1]上可 测？|f(x)|是否在[0,1]上可测？ 5.设 mE＜＋∞，f n (x)(n=1,2,...,)是定义在 E上的几乎处处有限的可测函数列， 而 f n (x)几乎处处收敛于有限函数 f(x)，则对∀ ε＞0，ョ常数 c 与可测子集 E 0 ⊂ E 满足 m(E－E 0 )＜ε，|f n (x)|≤C (x∈E,n=1,2,...,) 6.设 f(x)是(－∞，＋∞)上的连续函数，g(x)为[a,b]上的可测函数，则 f[g(x)] 为 [a,b]上的可测函数
7设fn(x)(m=1,2,…,),且fn(x)→f(x)于E,且 fn(x)≤g(x)(n=1,2,…,),则f(x)≤g(x)a.e于E 8.证明鲁金定理的逆定理。 9设fn(x)→f(x)于E,且fn(x)≤fn(x)a.e于E(m=1,2,,),证明 fn(x)→f(x)(n→+∞)a.e于E。 月→① 10.设fn(x)→f(x)于E,且f,(x)=gn(x)a.e于E(n=1,2,,),证明 gn(x)→f(x)于E。 11.设mE<+∞,fn(x)、gn(x)(n=1,2,,)为E上几乎处处有限的可测函数 列,且f(x)→f(x)于E,g(x)→g(x)于E,则 1)fn(x)gn(x)→f(x)g(x)于E n→① 2)f(x)±gn(x)→f(x)±g(x)于E n→① 3)|fn(x)|→f(x)于E 4)min{f(x),gn(x)}→min{f(x),g(x)}于E。 5)max{fn(x),gn(x)→max{f(x),g(x)}于E
7.设 f n (x)(n=1,2,...,)，且 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，且 f n (x)≤g(x)(n=1,2,...,)， 则 f(x)≤g(x) a.e 于 E 8.证明鲁金定理的逆定理。 9.设 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，且 f n (x)≤f1+n (x) a.e 于 E (n=1,2,...,)， 证明 f n (x)→f(x)(n→＋∞) a.e 于 E。 10.设 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，且 f n (x)＝g n (x) a.e 于 E (n=1,2,...,)， 证明 g n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E。 11.设 mE＜＋∞，f n (x)、g n (x)(n=1,2,...,)为 E 上几乎处处有限的可测函数 列， 且 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，g n (x) ⇒ n→∞ g(x)于 E，则 1) f n (x)g n (x) ⇒ n→∞ f(x)g(x)于 E， 2) f n (x)±g n (x) ⇒ n→∞ f(x)±g(x)于 E 3) |f n (x)| ⇒ n→∞ f(x)于 E 4) min｛f n (x),g n (x)｝⇒ n→∞ min｛f(x),g(x)｝于 E。 5) max｛f n (x),g n (x)｝⇒ n→∞ max｛f(x),g(x)｝于 E
12.设fn(x)(n=1,2,,)在任意集E上“近一致收敛”于f(x),证明fn (x)→f(x)a.e于E。(即证明叶果落夫定理的逆定理)
12.设 f n (x)(n=1,2,...,)在任意集 E 上“近一致收敛”于 f(x)，证明 f n (x)→f(x) a.e 于 E。(即证明叶果落夫定理的逆定理)