§2.4有限覆盖定理与点集间的距离 是否每一个集合都有极限点呢? 定理2.4.1( Weierstrass聚点原理)设E为R"中有界无限集,则 E’≠中。 证明取互异点列M=(x1,x2,,xn)∈E,由于E有界,所以{Mk k=1,2,}有界,从而{x1|k=1,2,,.}是有界集,由数学分析中已证 明的直线上的聚点原理知:3x及x1的子列x→x1。这时M4满足第一个坐标 收敛,对于第二个坐标x2可能不收敛,但有界,由直线上的聚点原理知:彐x2 及x2的子列x2→x2,则M满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去,第 n次找到的子列Mm便满足所有坐标都收敛,即Mm→M°。其中M0= x2,,xn),即M为E中的聚点。证毕 推论2.4.1有界点列必有收敛子列。 作为聚点原理的应用,可以证明著名的 Borel有限覆盖定理和距离可达定 定理2.4.2(Bore有限覆盖定理)设开集族{Ua|a∈I}是一有界闭集F 的覆盖,即 FSU Ua则在此开集族中存在有限个开集{|i=1,2,……,m}同样 覆盖F,即 U 引理2.4.1 Lindloff可列覆盖定理):设开集族{Ua|a∈I}(这里I 至少为可数集)是R”中一有界闭集F的覆盖,即 F=U Ua,则存在其中的可数 个开集同样覆盖F,即Fs∪U
§２.4 有限覆盖定理与点集间的距离 是否每一个集合都有极限点呢？ 定理２.4.１ (Weierstrass 聚点原理) 设E为R n 中有界无限集，则 E'≠ф。 证明 取互异点列 M k ＝(x k 1 ，x k 2 ,...,x k n )∈E，由于 E 有界，所以｛M k ｜ k=1,2,...｝有界，从而｛x k 1 ｜k=1,2,...,...｝是有界集， 由数学分析中已证 明的直线上的聚点原理知：ョ x 0 1 及 x k 1 的子列 x i k 1 →x 0 1 。这时 M i k 满足第一个坐标 收敛，对于第二个坐标 x i k 2 可能不收敛，但有界，由直线上的聚点原理知：ョ x 0 2 及 x i k 2 的子列 x i k 2 →x 0 2 ，则 M i k 满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去，第 n 次找到的子列 M ml 便满足所有坐标都收敛，即 M ml →M 0。其中 M 0＝ (x 0 1 ,x 0 2 ,...,x 0 n )，即 M 0为 E 中的聚点。 证毕 推论２.4.１ 有界点列必有收敛子列。 作为聚点原理的应用，可以证明著名的 Borel 有限覆盖定理和距离可达定 理。 定理２.4.２ (Borel有限覆盖定理) 设开集族{U α |α∈I}是一有界闭集 F 的覆盖，即 F⊆ U α∈I U α 则在此开集族中存在有限个开集{U α i |i=1,2,...,n}同样 覆盖 F，即 F ⊆ U n i=1 U α i 引理２.4.１ (Lindloff 可列覆盖定理)：设开集族{U α ｜α∈I}(这里 I 至少为可数集)是 R n 中一有界闭集 F 的覆盖，即 F⊆ U α∈I U α ，则存在其中的可数 个开集同样覆盖 F，即 F⊆ U ∞ i=1 U α i
证明对任意x∈F,存在Uax满足x∈Uax,而对Uax存在有理坐标点px, 及半径rx满足x∈U(px,rx)sUax(事实上,3δ>0,U(x,δ)sUax,取有 理坐标点px∈U(x,),M时有x"∈U;另一方面,对任意n>i0, xgUo,矛盾。 定理2.4.3(距离可达定理)设A、B为互不相交的非空闭集,且至少有 一个有界,则存在x0∈A,yo∈B使得d(x°,y0)=d(A,B)>0。 证明由集合距离的定义知:存在xn∈A,yn∈B使得 d(A,B)<d(xn,yn)<d(A,B)+-,不妨假定A有界由聚点原理知存在x0及x"满 足x号→x0∈A,因为d(x,y")<d(x0,x)十d(x吗,yn)<d(x0,x吗)+d(A,B) 1,所以这时(y}有界,又由聚点原理知存在y及y"满足y%→y0,于 是存在x∈A,y∈B使得d(x°,yo)≤d(A,B),d(x,y0)=d(A,B
证明 对任意 x∈F，存在 U α x 满足 x∈U α x，而对 U α x 存在有理坐标点 p x ， 及半径 r x 满足 x∈U(p x ，r x ) ⊆ U α x(事实上，∃δ >0，U（x，δ ） ⊆ U α x,取有 理坐标点 p x ∈U（x， 3 δ ），3 δ < r x < 3 2δ 即可)，由定理１.２.６知：{U(p x ，r x )|p x ， r x ∈Q,x∈F}全体为至多可数集。从而可以简记为 U i ，由 U(p x ，r x ) 的选取方 法可知：存在相应的 U α i 满足 U i ⊆ U α i ,于是 F⊆ U ∞ i=1 U i ⊆ U ∞ i=1 U α i 定理２.4.２的证明：即在已知 F ⊆ U ∞ i=1 U i 的条件下证存在 n 满足 F⊆ U n i=1 U i 。若不然，则对任意 n，存在 x n 满足 x n ∈F-U ∞ i=1 U i ，由聚点原理知存 在 x 0及 x i n 满足 x i n →x 0 (n i →∞)，又因为 F 是闭集所以 x 0∈F，从而存在 U 0i 满 足 x 0∈U 0i ， 于是存在 M，当 n i ＞M 时有 x i n ∈U 0i ；另一方面，对任意 n i ＞i 0， x i n ∉U 0i , 矛盾。 定理２.4.３ (距离可达定理)设 A、B 为互不相交的非空闭集，且至少有 一个有界，则存在 x 0∈A，y 0∈B 使得 d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)＞0。 证明 由集合距离的定义知：存在 x n ∈A，y n ∈B 使得 d(A,B)＜d(x n ,y n )＜d(A,B)＋ n 1 ，不妨假定 A 有界由聚点原理知存在 x 0及 x i n 满 足 x i n →x 0∈A，因为 d(x 0 ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(x i n ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(A,B) ＋ ni 1 ， 所以这时{y i n }有界，又由聚点原理知存在 y 0及 y nij 满足 y nij →y 0， 于 是存在 x 0∈A，y 0∈B 使得 d(x 0 ,y 0 )≤d(A,B)，d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)
推论24.2设A为非空闭集,则对x∈R",3x0∈A满足d(x,A) 证明若x∈A,取x0=x∈A即可。若x∈A,令B={x}有界闭,由定理2 3.3即得。 定义2.4.1设A、BSR",若存在开集U,U满足U∩U=d,且AsU, BsU2,则称A、B是可隔离的 定理2.4.4(隔离性定理)A、B是可隔离的A∩B=φ,A∩B=中 证明“=〉”反证:若不然,不妨假定彐x∈A∩B,由于A、B是可隔离 的,所以存在开集U,U2满足U∩U2=,且AsU,BsU2,由x∈B得 x0∈U2,而x0∈A,则存在点列xn∈AsU满足xn→x°,因为U2开,所以彐 N当n>N时x"∈U2与U∩U2=相矛盾,故A∩B=中,同理A∩B=中。 0,Vy∈B有d(A,y)>0,于是令rx=d(x,B),ry=d(A,y), U=∪U(x,),U2=∪U(y,2)即可。显然U,U2是开集,且AsU, BsU2剩下的只须证:UnU2=中。若不然,彐z∈U∩U2,则3xo∈A,yo∈B d(z,x0)<,d(z,y)<,不妨设rx。=max{rx。,ry。},则rx d(x°,B)≤d(x°,yo)≤d(x0,z)+d(z,y0)<rx。,矛盾。 推论2.4.3若A、B均为闭集,且A∩B=中,则彐开集U,U2满足U∩U2 φ,且AU1,BU2
推论２.4.２ 设 A 为非空闭集，则对∀ x∈R n ，ョ x 0∈A 满足 d(x,A)＝ d(x,x 0 ). 证明 若 x∈A，取 x 0＝x∈A 即可。若 x∈A，令 B=｛x｝有界闭，由定理２ . ３.３即得。 定义２.4.１ 设 A、B⊆ R n ，若存在开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝ф，且 A⊆ U1， B⊆ U 2 ，则称 A、B 是可隔离的。 定理２.4.４ (隔离性定理) A、B 是可隔离的 __ A ∩B＝ф, A∩ B ＝ф. 证明 “＝>”反证：若不然，不妨假定ョ x 0∈ __ A ∩B，由于 A、B 是可隔离 的，所以存在开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝ф，且 A⊆ U1，B⊆ U 2 ，由 x 0∈B 得 x 0∈U 2 ，而 x 0∈ __ A ，则存在点列 x n ∈A⊆ U1满足 x n →x 0，因为 U 2 开，所以ョ N 当 n＞N 时 x n ∈U 2 与 U1∩U 2 ＝ф 相矛盾，故 __ A ∩B＝ф,同理 A∩ B ＝ф。 “<＝”因为 A∩ B ＝ф， A ∩B＝ф，所以由推论２.３.２知：对∀ x∈A 有 d(x, B )＞0，∀ y∈B 有 d( __ A ,y)＞0，于是令 r x ＝d(x, B )，r y ＝d( __ A ,y)， U1＝ U x∈A U(x, 2 x r )，U 2 ＝ U y∈B U(y, 2 y r )即可。显然 U1，U 2 是开集，且 A⊆ U1， B⊆ U 2 剩下的只须证：U1∩U 2 ＝ф。若不然，ョ z∈U1∩U 2 ，则ョ x 0∈A，y 0∈B d(z,x 0 )＜ 2 0 x r ，d(z,y 0 )＜ 2 0 y r ，不妨设 r x 。＝max｛r x 。,r y 。｝，则 r x 。＝ d(x 0 , _ B )≤d(x 0 ,y 0 )≤d(x 0 ,z)＋d(z,y 0 )＜r x 。，矛盾。 推论２.4.３ 若 A、B 均为闭集，且 A∩B＝φ，则ョ开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝φ，且 A⊆ U1，B⊆ U 2
推论2.4.4若d(A,B)>0,则3开集U,U满足U∩U2=中,且AsU, B=u2 小结本章由R上自然的距离,导出了邻域,内点,聚点的定义,从而开集, 闭集的定义.由开集生成一个O-代数即 Borel o-代数,进而引入了 Borel集 本章讨论了这些集的性质和相互关系,给出了直线上开集的构造定理. Cantor集 是一个重要的集.它具有一些特别的性质,在举反例时常常是有用的.学习本章 的内容应充分利用几何图形的直观,以便理解本章的内容
推论２.4.４ 若 d(A,B)＞0，则ョ开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝φ，且 A⊆ U1， B⊆ U 2 。 小结 本章由 n R 上自然的距离, 导出了邻域, 内点, 聚点的定义, 从而开集, 闭集的定义. 由开集生成一个ο -代数即 Borel ο -代数, 进而引入了 Borel 集. 本章讨论了这些集的性质和相互关系,给出了直线上开集的构造定理. Cantor 集 是一个重要的集.它具有一些特别的性质, 在举反例时常常是有用的. 学习本章 的内容应充分利用几何图形的直观, 以便理解本章的内容