第二章积分习题课 小结
第二章积分习题课 一.小结
一若f()在区域a内解析,0=0+L上连续,则 2)dz=0,L=l f(x)=0 /k=地L=+2立 f(5) 5)(=2m ds, L f(-)= f(=) f(5) //( d5],L=l+∑1 2n i JI& n! f(5) 模数原理 科西不等式 平均值定理 刘维定理
ò ò åò å ò ò ò åò å ò ò + = = = = - = ï ï î ï ï í ì = + - + - = = - = - = ï î ï í ì = = + = = = = + L n n n k k n k l l l L n k k n k l l l L d z f i n f z d L l l z f d z f i f z d L l z f i f z d z f i f z f z dz f z dz L l l f z dz L l f z dz f z L k k x x x p x x x x x x p x x x p x x x p s s s 1 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ! ( ) ], ( ) ( ) [ 2 1 ( ) , ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) 0 一.若 ( )在区域 内解析, 上连续,则 平均值定理 模数原理 科西不等式 刘维定理
可用来计算复变函数的围道积分 其步骤: )判断被积函数有无奇点有何奇点 (2判断围道内有无奇点有何其点 3适当选择公式 (x小(=)d MS
适当选择公式 判断围道内有无奇点有何其点 判断被积函数有无奇点有何奇点 其步骤： 可用来计算复变函数的围道积分 (3) (2) (1) î í ì × £ ò ò M S f z dz f z dz l l | ( ) || | 二. | ( ) |
二复线积分的计算方法: 1由定义计算 ∫f(==1in∑/()A:不常用 2由与实线积分的关系计算 「/()=-+k+dp [m=y(+h)y2d+:x=y0→1 (2+
二复线积分的计算方法： 1由定义计算 m 1 ax||0 ( ) lim ( ) n k k l n k z f z dz f z x ® ¥ = D ® ò = D å 2 2 1 0 0 0 2 1 0 ( ) ( ) (2 )( 2 , : 0 1) 1 (2 ) | 1 2 2 l l l i i m f z dz udx vdy i vdx udy I zdz y dx idy y dy idy x y y y i i Q + + = - + + = + = + = ® = + = + ò ò ò ò ò ò 2.由与实线积分的关系计算: 不常用
3、由参数积分法做: 0→2+直线的参数方程为 x=t ,0<t≤2 ∴z=t+i,1 2m22 61mn=5d(t+i52)=(1+)tl 1+ 2
2 2 0 0 0 0 2 0 2 2 , 2 2 1 ( ) (1 ) 2 2 2 2 1 1 2 i mz i x t t t y t t z t i I mz i t t I dz d t i tdt i 3、由 分法做： 的直 的 方程 ： ， + a ® + ì = ï í £ £ = ï î \ = + = \ ò = ò ò + = + = + 参数积 线 参数 为
4对于解析函数,可用 Newton- lebniz公式计算。 例:∫, sin zdz, 若用实积分做,注意到: Sinz=sin chy t i cos xshy coS z=coS xchy-isin xshy (1) Sin zdz=h, sin xchy +i cos xshy )(dx + idy) So(sin xchx +icos xshx )(dx+idx)
1 1 1 0 - sin , sin sin cos cos cos - sin sin (sin cos )( ) (sin cos )( ) y x l l l Newton lebniz zdz z xchy i xshy z xchy i xshy zdz xchy i xshy dx idy xchx i xshx dx idx 4. 于解析函 ，可用 公式 算。 例： 若用 分做，注意到： ∴(1) = = ò = + = ò ò = + + ò + + 对 数 计 实积
So(sinxchx-coS xchx ) dx +ilo(cos xsh+sinxchx ox =1-ch cos +f cos xdchx-l cos xshxdx +i sh sin - 5o sin xdshx +So sin xchxd =1-cos ch +ish sin 类似可得: sin eda=1- cos ch +isin|sh麻烦。 但若用N-L公式: L sinzdz=lot sinzdz=-CoSz # =1-cos(1 +i 由* =l-coS ch +isin sh
1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 (sin - cos ) (cos sin ) - cos - cos sin - 1- | cos| cos - cos |sin |- sin sin 1- cos| | |sin | xchx xchx dx i xshx xchx dx chxd x xdx i shxd x chxdx ch xdchx xshxdx i sh xdshx xchxdx ch ish = ò ò + + = + é ù ò ò ò ò ë û = +ò ò + + é ù ò ò ë û = + 2 1 1 0 0 sin 1- cos| | sin | | - sin sin -cos | 1- cos(1 ) 1- cos| | sin | | l i i l zdz ch i sh N L zdz zdz z i ch i sh 由* 似可得： ,麻 。 但若用 公式： = + + ò = + ò ò = = = + + 类 烦
积分估计值公式的应用: lf(z)d=kf(z)‖dz f()dz|max|f(=)·S 1.例:P253 (1)证:,(x2+iy2)dz2积分路径直线 证明: i (r +iy)d=k j cl x +iy'1ds x +yds (2 y)-2x y ds 而x2+y2-2x2y2≤2+y2)2==2 k ds=2 同样可证(2)
2 2 - 2 2 2 2 - 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ( ) | | ( ) || | | ( ) | max | ( ) 25.3 | ( ) | 2. | ( ) | | | ( ) - 2 ( ) - 2 ( ) | | 1 || l l l i i i i c c c f z dz f z dz f z dz f z S P x iy dz x iy dz x iy ds c x y ds x y x y ds x y x y x y z ds 三. 分估 值公式的 用： 1.例： (1) ： 分路 直 明： 而 ò ò £ ò £ × ò + £ ò ò + £ + = + ò = + ò + £ + = £ \ £ ò 积 计 应 证 积 径 线 证 2 同 可 (2) = 样 证
四、复围道积分的计算方法: 1、若f()在σ内解析边界上连续,a、b∈G则: 1)()=0Cchy定理) (2), f(-) d=2ij(a)(Cacm定理) 2-0 3× 、2 (a)(导数公式) (n-1)
( ) ( ) 1 ( ) 0. ( ) 2 2 ( ). - ( ) 2 3 ( ). - ( -1)! l l n l n f z l a b f z dz Cauchy f z dz if a Cauchy z a f z i dz f a z a n s s p p Î ò = ò = ò = — — — 四、复 道 分的 算方法： 1、若 在 解析 界 上 ， 、 , ： （） ( 定理) （ ） ( 定理) （ ） ( 公式) （ ） 围 积 计 内 边 连续 则 导数
(2)d=5()d+f()t (z-a)"(z-b) (z-a)"(z-b) z-a)(-b) 2) 止+4(02=20dmC1+2 (n-1)! dz 对于(2)(3)(4)若f(=)为多项式,则也可先对被 积分函数分项分式,再利用公式 1 2i,n=1 2- 10n≠1 来做(显然麻烦)
-1 -1 ( ) ( ) ( ) 4 ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) (-) ( ) ( ) - 2 ( ) ( ) - 2 | ( - ) - ( -1)! - ( - ) a b a b l n l l n n n n l l n n n z b z a f z f z f z dz dz dz z a z b z a z b z a z b f z f z z a i d f z f z z b dz dz i z a z b n dz z b z a — — — — — p p = = ò = + ò ò é ù = ò ò + = + ê ú ë û （） （ ） (2)(3)(4) ( ) 1 2 , 1 ( - ) 0, 1 l n f z i n dz z a n — 于 若 多 式， 也可先 被 分函 分 分式，再利用公式 做（ 然麻 ） ì p = ò = í î ¹ 对 为 项 则 对 积 数 项 来 显 烦