§3.4正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面而定义的坐标系。 1.柱坐标(p,0,z) 它P(Q,卩, P=vx+y x=p cos p y y=pso Y 式中0≤p<,-<0<∞,-0<z<
§3.4 正交曲线坐标系 一、正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面而定义的坐标系。 1. 柱坐标（r，j，z) ï î ï í ì = = = z z y x r j r j sin cos ï ï î ï ï í ì = = = + - z z x y tg x y 1 2 2 j r P（r，j，z) r j 式中 0 £ r < ¥ , -¥ < j < ¥ , -¥ < z < ¥
2球坐标系(r,,) x=rsin 0 cos y=rsing sin o 归zP(,0,) z=rcos日 =1x-+y+ yY 16=g +y" y p=tg x 式中0≤r<∞,0<0<兀,-<0<m
2 球坐标系(r，q，j） ï î ï í ì = = = q q j q j cos sin sin sin cos z r y r x r ï ï ï î ï ï ï í ì = + = = + + - - x y tg z x y tg r x y z 1 2 2 1 2 2 2 j q j P（r，q，j) q 式中 0 £ r < ¥ , 0 <q < p , - ¥ < j < ¥
二、坐标系的选择 应该选择边界面和坐标面重合的坐标系 例如: 边界:长方形球圆柱圆锥 坐标系:直角坐标球坐标柱坐标球坐标 正交曲线坐标系中的△L 1、在柱坐标系中 ouou ox au ay ap dx ap ay dp
二、坐标系的选择 应该选择边界面和坐标面重合的坐标系 例如： 边界： 长方形 球圆 柱 圆锥 坐标系：直角坐标 球坐标 柱坐标 球坐标 三、正交曲线坐标系中的 Du 1、在柱坐标系中 r r ¶r ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ y y x u x u u
au cospP+= p ou ox a cos p dp- ox ap dxoy dp au dx ou oy sIn oxy op oy op c0s20+2 Ora.sin cos p sin
j r r j r r r ( )sin ( ) cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ y y x u x y u y x y x u x u u j j j j 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin cos y u x y u x u ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = cosj sinj y u x u ¶ ¶ + ¶ ¶ =
类似可 pSinp+p cos p 02n,0 pSin(-2p Sin o cos pp OO Ox au +p'ncoso-p(coso Ox 将上式乘l1p再加上式
r j r j j sin cos y u x u u ¶ ¶ + ¶ ¶ = - ¶ ¶ 类似可得： cos ( cos sin ) sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r j r j j r j r j j j y u x u y u x y u x u u ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ 将上式乘1/ r再加上式
得: au1 au a +0n lau COS o+sino ap- p*o Ox Oy p a x dy 将上式加上a2u/0z2再将式代入右边 002a 2 Oy Oz/ p op 则根据上面的结果可得:
得： ( cos sin ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j j r r j r y u x u y u x u u u ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ 将上式加上¶ 2 u / ¶z 2再将式 代入右边 r r j r ¶r ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ u z u y u x u z u u u 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 则根据上面的结果可得：
Ou 1 Ou 1 au. a M OP p ap p ap az 100u、102ua (P=) 此即是在柱坐标中的△表达式 2、在极坐标中 对于极坐标可看成是柱坐标当z=0 时的特例,故我们可得到表达式为:
2 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u u ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ D = r r r r r 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 z u u u ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = r r r r r r 此即是在柱坐标中的Du表达式 2、在极坐标中 对于极坐标可看成是柱坐标当 时的特例，故我们可得到表达式为： z = 0
△l 0、.12 (p)+ p apap p ap 3、在球坐标中 我们可以用类似的方法,得到表达式: 1a,an、1 △= (sin g r2 Or ar r sin 0 80 sin 0 ao
2 2 2 1 ( ) 1 r r r r r r ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ D = u u u 3、在球坐标中 我们可以用类似的方法，得到表达式： 2 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 q j q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ D = u r u r r u r r r u