§5.3格林函数的一般求法 泊松格林函数 1、三维泊松方程的基本解 对于△G=-6(M-M0)M∈() 汪意到AC1820G ar ar aG G (Sin 0-) sin 0 a0 ar sin 802 由于是点源产生场故问题是球对称的 故原定解问题→d2dG (r2)=8(7) dr di
1、三维泊松方程的基本解 2 2 2 2 2 2 0 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 ( ) (1) q j q q q d t ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ D = D = - - Î G r r G r r G r r r G G M M M 注意到 对于 由于是点源产生场故问 题是球对称的 ( ) ( ) 1 2 2 r dr dG r dr d r 故原定解问题 ® = d §5.3格林函数的一般求法 一、泊松格林函数
(x-x0)2+(y-y0)2+(二-20) (若r≠0即M≠M0 1 d 2dG 则 (r2)=0 dr dr d 2 dG 于是 =0→ C1→)cG=-dr dr dr →G +C,取C,=0 仍为方程的解G
2 0 2 0 2 0 0 r = MM = (x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) ® ( ) 0 1 2 2 = dr dG r dr d r 则 ú û ù ê ë é = ® = ® = dr r C C dG dr dG r dr dG r dr d 2 1 1 2 2 于是 ( ) 0 r G C C C r G C 1 0 1 1 1 2 2 = - ® = - + = 仍为方程的解 取 0 0 (1)若r ¹ 即M ¹ M
(2)若r=0,则应考虑以M为中心任意小8为半径 的球体中情况 由(,△Gdoh 6(x-x0,y )dxdy 即im‖△Gao=-1(2 E→0
的球体中情况 (2)若r = 0，则应考虑以 M 0为中心任意小 e为半径 1 ( , , ) (1) 0 0 0 = - = - - - - D òòò òòò x x y y z z dxdydz Gdxdydz e t t d 由 ， òòò D = - ® e e t lim 1 (2) 0 即 Gdxdydz
又当≠0时 △Gav V.Gay aG VAdo d G。Or ao 2兀兀 esin dedo C14丌 对此式两边取极限
òò òò òòò òòò ¶ ¶ = Ñ = ¹ D = Ñ ×Ñ e e e e s s t t s s e d r G Gd 又当 0时 Gdv Gdv p e q j e s e pp s e 4 sin 1 1 2 0 0 2 2 1 2 1 C d d C C d = = = òò òò 对此式两边取极限 :
△G=C14兀 E→>0 代入(2)C14丌=-1C1 4兀 1、2可得(1)的解为:G(M,M0) 4丌 2、二维泊松方程的基本解 对于△G(M,M0)=-6(x-x02y-y0)
p e t e lim 14 0 òòò D = ® Gdv C 2、二维泊松方程的基本解 ( , ) ( , ) 0 0 0 对于DG M M = -d x - x y - y p p 4 1 代入(2)C14 = -1 C1 = - r G M M 4p 1 1 2 : ( , ) 、可得(1)的解为 0 =
用类似于上面的讨论过程,并利用二维散度 定理 V Vudo= Vudl 可得:G(M,M0)=n 兀F 和-ln-分别称作三维和二维泊松方程 4丌r2兀 的基本解
定理 用类似于上面的讨论过程,并利用二维散度 òò ò Ñ×Ñ = Ñ s s l ud udl r G M M 1 ln 2 1 : ( , ) 0 p 可得 = 的基本解 和 分别称作三维和二维泊 松方程 r r 1 ln 2 1 4 1 p p
狄氏格林函数 1、三维 △G=-6(x-x0,y-y0,x-20),M∈ Glo=0 思路MG=-6(x-xy-yn2-=),M∈T 我们已求得 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有 意识使其中一部分为前面讨论过的 令G(M,M0)=F(M,M0)+8(M,M) 使AF(M,M0)=-6(M-M0)
î í ì = D = - - - - Î | 0 ( , , ) , 1 0 0 0 s d t G G x x y y z z M 、三维 我们已求得 思路: DG = -d(x- x , y- y ,z -z ),M Ît Q 0 0 0 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有 意识使其中一部分为前面讨论过的 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 M M0 令G M M = F M M + g ( , ) ( ) DF M M0 = - M - M0 使 d 二、狄氏格林函数
△g=0 而由前面可知:F=1 4Tr G(M,M0)=-+8狄氏格林函数 4Tr g 6=4Tr
î í ì = - D = s s | | 0 g F g 则 r F 4p 1 而由前面可知: = g 狄氏格林函数 r \G M M = + 4p 1 ( , ) 0 ï î ï í ì = - D = s s p | 4 1 | 0 r g g
2、二维 对于 ∫△G=-6(x-xy-) G|1=0 类似G=ln-+g 2兀r Ag=0 丌 3、狄氏格林函数的物理意义
î í ì = D = - - - | 0 ( , ) 0 0 G l G d x x y y 对于 2、二维 ï î ï í ì = - D = = + s s p p | 1 ln 2 1 | 0 1 ln 2 1 r g g g r 类似 G 3、狄氏格林函数的物理意义
+8 M E0产生 4r4丌r G-M点电位 △=0,G(大) 感应电荷产生v 4Tr 由此可见求狄氏G→求M点电位 →>感应电荷产生电位
ï ï ï î ï ï ï í ì ï î ï í ì = - D = = - s s p s p e pe e | 4 1 | 0, ( ) : 4 1 4 1 : 0 0 0 r v v v r r G M 大 感应电荷产生 产生 点电位 \v = g 感应电荷产生电位 由此可见 求狄氏 求 点电位 ® : G ® M M 0 0 M + e s