§1、非线性方程的某些初等解法 基本思路:选择适当变换化非线性--〉线性(这 里涉及到一些技巧和经验性问题) 一、 Kirchhoff变换 对于 VIG(u)V u=0(1.01) 1、分析:若ⅴW丿=G(uV 则/1.01)>△W=0 2、变换:令W=W() 使VW=G(l)丿Vu
§1、非线性方程的某些初等解法 基本思路：选择适当变换化非线性---〉线性（这 里涉及到一些技巧和经验性问题） 一、Kirchhoff变换 对于Ñ[G(u)Ñu]= 0 (1.01) 1 01 ® = 0 Ñ = Ñ ( . ) W (W ) G( u ) u 则 D 1、分析: 若 W G( u ) u W W( u ) Ñ = Ñ = 使 2、变换: 令
dw Vu=guyu dt dw G() d u 由此可见::W=[G5102) 即选形为102则/101)→AW=01.03) 附:1)对于方程P(x,yx+g,ylhy=0( 若有d=Pxy)+Q(x,y则(*)称为全微分方程
G( u ) du dW u G( u ) u du dW = 则 Ñ = Ñ ò \ = u u W G( )d ( . ) 0 由此可见: x x 1 02 即选W为(1.02 )则(1.01) ® DW = 0 (1.03) 附:(1)对于方程P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (*) 若有du = P( x, y )+ Q( x, y )dy则(*)称为全微分方程
(2)(*)为全微分方程的充要条件是 aP 00 y ox aP a0 即:若 则 P(x,y)dx+o(x, y)dy=0 Oy Ox'du=P(x, y)dx+o(x, y)dy 反过来亦对(见同济版高等数学P37 二、Co|e-Hopf(科勒-霍普夫)变换 对于1+11=0(1.04) Burgers(伯格斯)(1) 分析:若无左边第二项则为限性扩散方程:u1=m
î í ì = + + = ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ du P( x, y )dx Q( x, y )dy P( x, y )dx Q( x, y )dy , x Q y P x Q y P 0 即:若 则 (2)(*)为全微分 方程的充要条件是 : 反过来亦对。(见同济版高等数学P337 ) 二、Cole – Hopf(科勒 – 霍普夫)变换: Burgers ( ) u uu u ( . ) t x xx 1 1 04 (伯格斯) 对于 - + = d t xx 分析 : 若无左边第二项则为限 性扩散方程 : u = du
为此,我们首先看看此非线性方程和相应的 线性方程的关系。 (1)即 au a (6u, at ax 而由全微分方程存在的充要条件见前面的附注) 有:dV=anm+(iy、 显然满足:,=l(2) L.=6
线性方程的关系。 为此，我们首先看看此 非线性方程和相应的 ) u ( u t x u x 2 2 - ¶ ¶ = ¶ ¶ (1)即 d 而由全微分方程存在的充要条件(见前面的附注 ) ) u : d udx ( ux 2 2 有 y = + d - 2 2 2 2 1 2 2 xx x ( ) t x t u u u : u ( ) d dy y y y = - = - 显然 满足 =
即B7ger化为:V+vy2=6n(3) 为了找到它与我们会求解的线性扩散方程的关系 对于V7=8Vx(4) 现令V=v)(5 则=gW,F=gvM V=8(v)+8'ly hy 代入(4)→>,%V260m(6
Burgers : ( ) t x xx 3 2 1 2 即 化为 y + y = dy 为了找到它与我们会求解的线性扩散方程的关系 V g( ) ( ) V V ( ) t xx 5 4 y d = = 现令 对于 xx x xx t t x x V g ( )( ) g ( ) V g ( ) , V g ( ) y y y y y y y y = ¢¢ + ¢ = ¢ = ¢ 2 则 ( ) g ( ) g ( ) ,( ) 4 t x xx 6 2 y dy y y y d = ¢ ¢¢ 代入 ® -
对比(3),6):-68=→82 g(y) 2 积分g得:80)=Ce2°+C2 取C1=1C2=0:8(W)=e20=V 则/1.04)→W1=W 2、变换:由/5和6: l=1 2 . Inw) ax 27 aw
g g g ( ) g ( ) , : = ® ¢¢ = - ¢ ¢ ¢¢ - y d y d 2 1 2 1 对比 (3) (6) C ,C : g( ) e V : g( ) C e C ( 5 ) 2 1 1 2 2 2 1 1 1 0 g( ) = = = = = + - - y d y d y y y 取 积分 得 Wt Wxx 则(1.04 )® = l 2、变换:由( 5 )和( 6 )有: x w w ( lnw) x u vx ¶ ¶ = - - ¶ ¶ = = l l 2 2
(作变换n=-20 08)柯勒-霍普变换 则/1.04)→W=W2(1.09) 类似的对于 ouX ∑ λ△(1.10 Ox 作变换=-2 V log w(1.1 则(1.10)→w=AW(1.12)
故作变换 柯勒-霍普变换 ¶ - ¶ = (1.08) 2 (3) x w w u l : ( . ) W W ( . ) t xx 类似的对于 则 1 04 ® = l 1 09 ( . ) x u u t u j j i j i 1 10 3 1 å= = ¶ ¶ + ¶ ¶ lD 作变换u = -2lÑlog W (1.11) ( . ) w W ( . ) t 则 1 10 ® = lD 1 12
相似变换 对于 G() (1.13) 1、分析:使之化为常数 为此 1=v(),=xt1.14)-相似变换 通过选a、使方程只含不显含x 则 ou du as Bxot -u(5 ot dc at =ax24(
1、分析:使之化为常数 相似变换 为此 = ( ), = (1.14) - a b u u z z x t [通过选a、b使方程只含x ,不显含x,t] x t u ( ) d t du t u b z z z a b = ¢ ¶ ¶ = ¶ 则 ¶ -1 x t u ( ) x u a x a b = ¢ ¶ ¶ -1 三、相似变换 ( . ) x u G( u ) t x u 1 13 ú û ù ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ 对于
G)==G)=+l1+(l1)2G1u =Gn)(a-1x31)+ax2)ax22] +a2a+2)G(u) a(a-1)xa-2t G(u)+a2x2(a-l28[G(uJu
[ ] [ ] [G( u )u ] d d x t d du ( )x t G( u ) x t u ( ) G ( u ) G( u ) ( )x t u ( ) x t u ( ) x t u ( u ) G ( u ) x G( u ) x u G( u ) x ( ) ( ) x x = - + ¢ + ¢ ¢ = - ¢ + ¢¢ × + ¢ ¶ ¶ = ú û ù ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ - - - - - - z a z a a a z a a z a z a a b a b a b a b a b a b 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1
代入(1.13则 x au 1.13)→>B =a(a-1)G(l + Gru du 7 1.14) d
( . ) d du G( u ) d d d du ( ) G( u ) d du t x ( . ) 1 14 1 13 1 (1.13) 2 2 2 ú û ù ê ë é + ® = - z z a z z a a z z b z 代入 则