第二章行列式 行列式是多元一次方程组(线性方程组)求解中产生的,现在它不仅是解线性方程组的工具,也是线 性代数以及别的数学分支,物理学中常用工具.行列式的概念很简单.关键是计算行列式的技巧及应用行 列式的灵活性.这是要特别注意的
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2.1矩阵 在数域P中取mn数,将它们排成m(横行(row),n(竖列( column)的长方阵(将第 讠行,第j列的元素( entry),记为ij),再加上括号,即有 C 2 我们称它为P上的一个m×n矩阵( matrix).通常用一个英文大写字母,例如A表示,从上到 下的各行依次叫第1行, 并记为row1A,,, rowm A;从左到右的各列依次叫第1 列, 第列,并记为col1A, olnA;矩阵中每个数,也叫做矩阵的元素,第行,第j列 处的数(元素)j,也记为 entia P上的m×矩阵A与kxl矩阵B叫做相等,如果满足1)m=k,n=2)emt;jA eItB,1≤≤m,1≤j≤n.也就是说A,B是一样的 只有一行的矩阵称为行矩阵;只有一列的矩阵称为列矩阵 个”×?的矩阵叫做阶方阵.7阶方阵 10 01 其中 tij In = di 0,;≠, 称为7阶单位矩阵 例1矩阵 的第2行,第3列与第2行第3列的元素分别为 013A ent 23A=3 设A是一个m×的矩阵 21 49
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将A的第1行,第2行,,第m行顺次竖排成第1列,第2列,,第列,得到另一个矩阵 称为A的转置.常记为A(或A) 显然A是 矩阵.且与A有以下关系: A,1≤<,1≤j≤ rowiD"=(olA),1≤i≤m; Dl; A'=(row; A) 而且,若个nXm矩阵B与A有上述关系之一,则B=A,另外两个关系也成立 例2矩阵 的转置为 21 为叙述方便,我们介绍三个术语以及表示它们的符号 1.若将矩阵A的第讠行(第j列)的每个元素都乘以数k,而其它元素不变,所得的矩阵称为 A的第行(第j列乘k,记为Akr;(Akc).于是A与Akr;有下面关系 (hent; A 第二个等式右边简记为krow;A,于是 TOw 7i Ari= k rowi A 类似地Akx;与A有下面关系 olA,l≠j; k A 例3设A 46则
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123 242 2.将矩阵A的第i行(列)加上第j行(列)的k倍,而其它行(列)(包括第j行(列)不 变,即A的第i行(列)的每个元素加上第j行(列)对应元素的k倍.这样得到的矩阵记为A;+kr (A;+kx).于是 A,l≠ 我们将上式右边记为rowA+ k row A.于是 类似地,有 hx 其中 entli A+kent A col: A+kcl; A t 2i A+ kent 2jA 例4对于例3中的A,有 000 309 369 246},A 369 将矩阵A的第i行(列)与第j行(列)互换,其余行(列)不动,所得的矩阵记为Ax (Acg;),即有 rowlArir;=row1A,l≠,j 类似地, A,l≠1,j; olj Ac 51
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例5对于例3中,A,有 132 A 定义1设A,一个矩阵称Akr;≠014r+k;4 rir; Akc;b≠01r4e+k;r4g 为A经过-j初等行列,变换得到,阵k初等。变换,初等4变换,统标初等变换
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2.2行列式 中学课.中已经介绍过23阶s3r及其在23元一)2线性方.组中应用我们在23阶3 基础上用归纳方法定义一般)阶方阵1,s3r,记为为t1或|1 若1=2,1为1阶方阵,则将,叫做1,33r,即为t1=, 我们知道2阶33r为 为 12.3 12e3+le2,3+en,2l3,,le2l3,11,2e3,ell2,3 e2a|,2/12 我们可以依定义列阶,5阶,…方阵,33rk一般假定),1阶方阵,33r已经定义了k 对于一个)阶方阵 A W, HW, Ah 划去et;1所在,s2第4s1与所在, 831后封一个),1阶方阵 44,44Wy,4 k,s3rtij叫做ent;1, 用余子r,语言,上面zr3阶33r可以写成 由此我们用归纳方法定义)阶方阵,33rk
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定rA阶,阵A=1c22行j为 A=是22是 即果·A阶:阵/行已过定义,则·阶:阵A/行了定义为 是 nt2;A2 M. 等中M2;方eIt2A余子,即划道A第A行,第r8后对得 A阶,阵,行 例A设A方 1角方 222 即<r假, entia A=0+则 e·=A假,划后成立、设·A假划后成立、于方 0 由行,定义知 为tA=题是 因而划后成立 定理A)A个,12阶,陈则 为etA Sapient a A2假,定,显:成立、假设·A假定,成立设A为·阶阵,且enm4=c+ 于方
9 ( * (?<B@ 2 ( B@ ) 8B FD G8+ ( . * ( E, E 2 E FG3* EFG37 DB@A F.FG3 9G * ! (2 E B /-3E* EB 3* ( . 7
由于M1j是7-1阶(方阵的)行列式,且A的第i行(≥2)去掉aij之后为M1的第-1 行.因而由归纳假设有 ∑(-1)a1(M)n 其中(M1)i1是A划去第1行,第i行,第j列与第1列后所得的7-2阶方阵的行列式,即 G+1j-1G+1j+1 an2 an j+ 另一方面,M1也是7-1阶方阵的行列式而且A的第了列去掉a之后是M1的第j-1 列.因而由行列式的定义有 其中(Mn1)1是A去掉第行,第1行,第1列与第j列后所得的"-2阶方阵的行列式,由此 因而,我们有 ∑(-1)+a;Mn 2 a1M1+ (-1)+an1a1;(M1)n 于是定理对任何7≥2都成立 例2设A是一个n阶上三角方阵即miA=0当>j时,则dA=emA 证利用定理1及例1的办法即可
D7 ( . DI 1G F.D@AE* ) FD & G8+ ( ,9 (.. DI 1G F.DB@ ) DI & G8+ (DH F. 7B 8HJ 03 . * ! ( E, K E2 IB LA B
7阶方+ 1222 从左上角到右下角叫主对角线或简称对角线a其上元素一a-220.ann称为对角线上元素或对 角元素如A满足(时 0a即 则称A为对角矩阵且记为 A=diag(中22中中n7 此时,deM=-.-22
( $#J%$!J! HE , HE )$ HE , H E * %( E 2 HE . HE
(n行列式的性质 按行列式的定义来计算行列式往往很复杂,因而需0研究行列式的1质,以便简化计算 性质A若A为方+A的转置.则 de用4=de用 证对A的阶数作归纳证明.阶为显然此1质成立.设阶为7-A时成立.讨论A的阶为n 是1是 于是 =1 其中M1为7-A阶方+的行列式,于是 是j1是 MI 是 是 是 是 是j1是 是 是 是 是 是 最后,个恰为A的元素e用14的余子式M1·而e用1A=en用A=是;于是由定理A知 ∑(-M+是 a a ce用41 因而1质A仍成立.故1质A对任何7成立 此1质说明,行列式中行与列处于平等地位.因此对于行的1质,可自然变为列的1质.下面只叙述 对于行的1质.主0考察初等变换对行列式的影响 性质2行列式中两行互换行列式变号.即 de用4 de用4
>>?MIJ NB@KLLOK F.LMMN Æ P / 342 8 ( O@APN( /-HN3*( E3OG ( * 7 ) (7 QG!P $ 8B . 7DB A F.N Q3QN 8HJ 3 HN'N &(7R)5RFH87N BS-2N!9*50 87NTSR=)2:8UV 29:2