第四章线性空间 线性空间是数学中最基本的概念之一,线性空间理论不仅是高等代数的核心,而且广泛渗透到各自然 科学,工程技术,经济管理科学中.因而线性空间理论既是现代数学的支柱又是应用广泛的理论 线性空间又叫向量空间,在一定意义上说,线性空间是几何学特别是解析几何学的推广与升华.解析 几何学为抽象的线性空间提供了一个具体,生动,有血有肉的模型.而线性空间则是解析几何的灵魂 106
4.1向量及其线性运算 将平面解析几何的思想,方法用于立体几何学的研究,就是空间解析几何学.因而与平面解析几何学 样,空间解析几何学的最基本的研究对象也是向量.当然,这里向量是包括平面向量在内的空间向量 向量(又称矢量)是既有长度又有方向的量 例如力,速度,加速度等均是向 又如A,B是空间中两点所谓以A为始点,B为终点的向量,是指连接A,B的有向线段 作图时,在线段AB上画一个指向B的箭头, 将此向量记为 的长度为线段AB的长度,即A与B的距离,以团AB表示 零向量长度为零的向量,即始点与终点重合的向量.零向量的方向不确定,可按需要取任意方向 如果能将向量AB平行移动到向量AB,即 AABB, ABAB 则称向量AB与AB相等记为AB=AB.换句话说,相等的向量有相同的长度与方向 如果把相等的向量看成是同一的,即只考虑长度和方向而始点可任意选取,因而位置不固定的向量称 为自由向量 以后常用一个字母表示自由向量.特别,零向量表示为 如二向量长度相等,方向相反,则称它们是相反向量,或互为反向量,负向量.例如向量AB的反 向量为BA.一个(自由)向量a的负向量是唯一的,记为-a.即BA=-AB.显然 如果几个向量平行同一直线,则称它们共线.如果几个向量平行同一平面,则称它们共面.显然, 任意两个向量一定共面 向量的线性运算是指下面两种运算 1.向量与向量的加法设a,B为空间两个向量在空间任取一点O,作O 以O为始点,B为终点的向量OB为与B的和记为a+,即OB=a+B.称此运算为 向量的加法
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容易证明,α+β与O的选取无关 2.向量与数的乘法设c为向量,k∈R.k与a的积是满足下面两个条件的向量 1)|ka=|k·lal; 2)若k>0,则ka与a同向,若k<0,则k与a反向 从条件1)知,k=0或a=0时,ka=0. 定理1空间所有向量的集合对于向量的线性运算满足下面八个条件: 1)a+B=B+ 2)(a+B)+Y=a+(6+y); 3)0+a=a; 6 k(la)=(kl)o 7)(k+la=ka+la 8)k(a+B)=ka+kB 在上述八个条件中,,B,y表示向量.k,l表示实数 证1)在空间任取一点O,作OA=,AB=BOA=B,A1B=a.由于OAA1B1 OA=A1B1,故 OALAB, OA=AB 因而B与B1重合.即 a+B=B+a=0B IBI 2)在空间任取一点O.作OA=,AB=B,BC=.于是AC=B+,OB 因而 (a+B)+y=a+(B+) A
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3),4)及5)是显然的 6)a,k,l中有一个为0,则k(la)=(k)a=0.设a≠0,k≠0,1≠0.此时 k(lc)=|k|·|4·lal=|k·|al=|(k)al 若k>0,1>0.则k>0.k(a)与(kla都与a的方向相同.因而它们同向 若k0.(ka与a同向.la与a反向,k(lax)与la反向,故与 同向,也与(kDa同向 若k0,则k0.,l0,则(k+D)a,ka,la及ka+la四个向量方向相同.且 lka+la= ka+lo 若M0.在空间取O,O,分别作OA=,OA=k;AB=B,AB kB.于是 B=a+B,OB=ka+kB.如下图 显然,△OAB~△OAB.于是|k+k=ka+B.且OB与OB同向.故k(a+B) 其次,显然有(-1 B 若k<0,则 ka+B)=(-1)·|k|(a+B) (-1)·(kx+|k)==ka-|l = ka+kB 即8)成立 109
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4.2坐标系 连接几何与代6的纽带0在空间建图坐标系,从而使几何问题代6化.这0解3几何的核而本节所 建图坐标系 定理一设闻B,0三个不共面的别为则对任,别为6有唯,的,组实6k,l,m使得 6△k间~lB~my 证在空间任取,点O/过O作直线a,量C分别平行间B,/并作OP△6/分间B, 不共面.故a,量C不在,个平面内.过P点作三个平面分别平行O量,Oca,Oa量它们与a,量c 的交点分别8K,D,M·如下图 此0有唯,的k,l,m∈R使得OK△kOL△lB.OM△m?/而)(-)成图 若k,7,m’∈R)6△k间~B~my·则 (k-k)间~(-)~(m-m)△→ 分间B,y不共面,知k-k△l-V△m-m△-/故知k,l,m0唯,的 定义一空间中三个不共面的别为间B,y叫空间的,个坐标系(或,组基)/若别为6△ k间~1B~m则称(186在且间By下的坐标/k间lB,m?称86(在间方别 方别,Y方别)的分,/ 6在且闻B,Y下的坐标,我们下作crd(6;间β,y)/不混淆时,下8crd6.即 d(6;间β,)△ 分定理一知,取定且间β,Y后.每个别为6都有唯,的坐标crd∈R×/反之,对任 X∈R3×1·有唯,别为成X8其坐标 crd(61~2) crd(k6)△kcrd
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定立1共中为6(一点)线不而为一组))则称{中线不而为6(一个c射标架 标系OP为6(一点,向8中在线不而反坐标→与称为点P在标架{中;线不而 反c彷射坐标O此时,下P点为P与方β如反称)中5均.O显然,中坐标为 个 由r,A知,取r标架系,6(每点有唯一坐标→引且…1O反过来对任一Xk→个2‖且 方 3,16(有唯一点有β得得中有k个线>个不>个即有以X为其坐标) 通过中点分d与线不而同向有向直2中X中Y中Z称为坐标轴个面X中YBY中ZB Z中X称为坐标平a;也称此坐标标为中XYZO 若)线而相题垂直|相对成置依次组右a左.手拇指,食指,中指·共面地c前两指个 伸,中指跟它使“垂直”.伸开时一样,则称线不而为右左,手系O 右手系 左手系 一般,我使采用右手标) 如果则,则,则本题相垂直长度为A向8,则称坐标标则,则,则α{中;则,则,则}问 中XYz.为直即坐标系O 这时6(被三个坐标个面分割成八个部分,如反称) 4∠A
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每平部分图为一平卦限)它们6顺序任其O点Px.与z.6况系如反排列 第一卦限:x之,·与之,·z之 第唯卦限:x一,,与之,·z之 第三卦限:x一,·与一 第分卦限:x之,,与 第五卦限:x之,·与之,·z 第六卦限:x 与之,,z 第七卦限:一,,与一,·z 第若卦限:x之,·与一,,z 解析几何O所几何称形7特别本曲间与曲面四成本点6几何轨迹);轴些点本由它们6况系来确定 6)因;点所满足6从件变为点6况系P过满足6从件7;轴些从件本由内9a或,=式.来取点6)从 点与况系轴种关标就知道解析几何有同平点本共题 1,给定曲间或曲面7建图其内9每 的给定况系.与和z6内97确定对P曲间或曲面6形状) 例A共{中;则.则.则}为直角况系标)质点经过P0a0与z0.M间左匀对直间运动7 其对度可k{1·2.3}c,O求质点轨迹6内9) 证平P,与z.取点质点M控间O6成置7t取点时间7架定P过P6时间tk,O伤本 P6况系为时间t6函的 t.k与 t. k 20>U3t 如果可其虑质点轨迹6几何.质7若所t消去)假定U1,B则 020r-To k 01ae-z 轴本3元间.内9组)或者 轴里7如果某平v例如2k,O则与一与k,即与k与O 例l共a.b.c.d∈线β.a.b.c,全为零)试确定内9 ax>b与>czkd 所对P6称形)
IB5 LM):IN$6 B9+JM/ C LM/ C*LM/ C=LM/ C5LM/ CKLM/ CNLM/ CLLM/ C1LM/ @ MM 5' DO &O 5):B9K" ><0? &O0?5 ;N K# 0 B9&8.9 =G & P-. HM;M C 6I HB9 8 "M;M @Q / - 7PB99R F )S79 6 OR DO ' # R '3 # J F " B9 Q/ %167R DOR 1 TPR & UC;? & %Q " , / - R/S" @
相先设d=,中,来设a,中,难验并原点O和线付不,及P三不均在图手 {)容得看开P线,与2.在图手{当且仅当 故此时图手为O,PP1所例定6平面丌中 设d日,中又设有(线(,气,2(,有线→与2-为图手{唯,同点)将它们6食系分别+入 线再从减使 故省(与平面丌平行)故此时6图手是平行确平面丌6平面中 Q1 注同里7满们没如共迹所定系架为标角系架) B=是两平,设线6别量)决定件过空间点P縷(,与,x( 问平行确间及6平面丌6内9) 相设P线,与z..丌则PP,间B设面)确是如,假为零6kL,m.R们使 kPP之l间之mB 若k=,利则间B设线7同与假设矛盾)故k日,中令仿=Al射,坐=Am射中则 P 下代7空间P点7如果满足{述条件7则P.丌中确是丌6内9可写成 T=T(之a彷之量坐 与=与之叫仿之坐 2=2(之a的之量坐 例4设OX定Z为标角食系后)试迹成P(线(,气,2(为球而7架为半径6球面均6M 其中仿坐是两平独立变量 相过P(,P它食系平面XO定6题线7题足为有(,有中过P(它标线平行确有(有校P有 确P中如下图) 113
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P PIP++IPP 如如+士 心 四个面解3几何理论知 如如=44+4 因而 HP|=44+4轴+1加 故连P州本本却为球},任为半径的球面的方程为 4饿少+4轨上 特别,若球}P=中为球点长,面球面方程为 小+与+力=l 在都际中,此定空间{点的成置通常,此定作的经度,纬度与高度 设P岭本与本方为空间{点,虑间P如垂虑例坐标个面X中对如的本与为垂足.设中X到 中如的夹角为同自同自2m中所到中P的夹角为成1自成自x种P=任有反图
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此本 个krm成定这 与krmn成m这 cr,成这图为里P空球av标中图为置.O直(中Z图为置这O迹个面{P,,方个之,} 图为置半以aO极里{极轴与极迹个面从图球a标tO 成原里为原;{迹径为r空原面方几若成写连 个臧成这krm成定这 与城这krm成mn这 aA 方成这k ,<成<丌,,<这<l丌 条,面此lβ此3与此4若成分到{6(曲面空方几若成写连 Fc与方k 空采式{果若成写连 O个个毗长, k与毗长 方k方此长 空采式{这点此长为节8{图为参变.OaA4.图为由a向参与显直O 如∝<为以a向参与显直On.为成原里为原;{r为迹径空球a向参与显直O 条此A若成分出{6(曲(若成r,平方几组来取点零 F1ct与方 55 即曲(本两平曲面空道(且6(曲(果若取点为 个k个度 k与k与度, OB 方k方度, 其/度为节8{图为参变,O即若当曲(,定为里在6(标与角定空化半且B果图为由线向参与显 如d.度本直线向参与显直O 函的方几在的·四析{写四9何/经它共r到且 45
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