第三章矩阵 矩阵是线性代数中的重要內容.线性代数中的计算及线性代数的应用都离不开矩阵及其计算.掌握并 灵活运用矩阵运算规律是很重要的
3.1矩阵的运算 本节将介绍矩阵的加法,矩阵与数的乘法,矩阵与矩阵的乘法,减法可变为加法,因而不必单独介绍. 以后,用PmNn表示元素在数域P中的所有m×n矩阵的集合 矩阵的加法,矩阵与数的乘法 定义1设A=(aj),B=(;)∈Pm.则A与B的和A+B定义为 a+B 求A,B的和的运算称为加法 根据这个定义,我们立即知道,若A,B,C∈Pm.则 C=A+B 当且仅当 ent;C=ent:jA+ent:B,1≤≤m,1≤j≤7 当且仅当 row;C= TOw: A+row;B,1≤≤m 当且仅当 col;C= col; A+ col;B, 1<i<n 定义2设A=(a)∈PM,k∈P.定义k与A的积为 kA=(kaij 求k与A的积,称为矩阵与数的乘法 根据定义,若A,B∈Pm,k∈P,则 当且仅当 etiB= kentijA,1≤8≤m,1≤j≤7 当且仅当 row;B=krow:A,1≤a≤m 当且仅当 ol;B=kool;A,1≤j≤" 从上面矩阵加法,矩阵与数的乘法的定义立即可得下面性质 1.A+B=B+A,VA,B∈Pm×n 2.(A+B)+C=A+(B+C), VA, B,CE Pxn
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3.以0记所有元素为0的m×7矩阵(称为零矩阵).则 A+0=A,yA∈P 4.记-A=-1·A,则 A+(-A)=0,VA∈P (k)A=k(LA),vk,l∈P,A∈P 7.(k+lA=kA+lA,vk,l∈P,A∈Pmnn 8.k(A+B)=kA+kB,k∈P,A,B∈PMn 这八条是最基本的性质,此外还有 9.若A+B=A+C,则B=C. 事实上,B=B+(A+(-A))=(A+B)+(-A)=(4+C)+(-4)=C+(A+(-A)) 10.若A,B∈Pm×n,定义 B=A+(-B) 这样,我们在PXn中也有减法运算 11.以A,B′表示矩阵A,B的转置 (A+By=A+By,(kAy=kA,Vk∈P,A,B∈P 例1以Ej表示第行,第j列处为1,而其余元素为0的m×7矩阵,即 kE=k;0l,1≤k≤m,1≤ 又A=(aj)∈P×.从矩阵加法,矩阵与数的乘法的定义及性质知 A 矩阵乘法 定义3设 阵 hm1am阵 b1b阵…b 阵…b
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分别为mmp(pm8矩的,定即1加)A积1)为一个mm8矩的,且0第n处,第t列处A 乘素为 平性性三華·1j+矩+L+pj CL Lll Cin O矩矩矩lC矩 222l2l2 cm1Cmn矩 LLl Cm n 0及 平性性;(1inm(1 i ti 8 求二矩的A积A运7叫矩阵的定表 如果m=8=1,这时 (=1l)5 一性性 由定即,我们知道若1nPm×P( Pp( e n P.则 当且仅当 e性em性;)= ent fje(1 n: m(1 当且仅当 eI阵e(1inim(1iti8 当且仅当 阵=row阵t)(1i 当且仅当 cole =1 I col,)(li ti 8+ 注意.3任何两个矩的b可,相乘,1加)能相乘,必须1A列4加)A处4相等a法而 1)而意即, 定)1而意即a如1=(12)()=(01),则1)=(12),但)加1 能相乘a 即使1加);)加1b可,相乘,但1)加)1未必3同类型A矩的a如1 1则1)=4为1m1矩的(4),而)1 为 矩 减1()同为8阶方的时,1)()1基3加1()相同阶A方的,但1)加)1.一定相 如 81
/0 ! $ 1 - .- (. ! 1$ ) *2 "+ 2 ! #" # !# # !# # !# # !# 3 ,3- 4 .45 ( .44 6!1 6!* 5 .4 !/ 45 0127* 1 36+ * 41365 1 4 4*
均为2阶意<,须 阵中00性中阵20 性阵中6中阵 因而1≤的乘法运+与(,型项式,函(的乘法运+有运大差别,这=、特别留心的 例2设B是1P三性中1PP×p则 row数1j0性知运性 TowREwgl j row IF 证若运6,则row数0于 row数 Ewsl j krow数知是中j0 er医 I j ent数次数中 数数中 Iow地 EkIFL j row唐 例3设阵1P=P性E是1Pxp则 Co数阵j慝l 证注意到 因而 coBj阳ol数,a;B3思 矩 例4设B数1P1×1则 B是5数j数娅 1≤乘法,加法及1≤与(的乘法间有以下一些常、的一质
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1矩1∈p=p则I=1j1j1p 13.1∈P 别Pm(Pm及PmB零矩A都0表示,则01j0 (10;0k∈P=m算及01;0∈P=m,01B的0∈Pp 14.若1∈P=m()∈Pm9e∈P卿,则 证容易看出k1)le(1k)el∈P=m,且 思 s×1 PLp e l j ent*H1 k)el( Vn≤n≤m(tk≤t≤8l+ 故k1)lej1k)elp 15.设1∈Pm()∈Pm(k∈P,则 kk1)lj kk10 j lkk )I+ 16.设1(12∈P=m()1()2∈Pmm,则 k11+124)1j11)1+12)1(11k)1+)2lj11) 7.1∈P=m()∈Pm,则 证果1)∈P=m当k1) p别 ()n∈Pm,故)1 而且 eI1)1 j ent是1) 2 row是∞l lt"krOw是 coLE n t)1"(Vf(t+ 于是k1)2j)"p
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设矩457 矩欣的t57 证令eI1矩.31-4ent15.6部于j,由例,鄱,知 的t矩B的t5 HB318 0B0 32HB328 0 EB 0 EEBEEBEEB EB EB EB EEB IFB 382HB388 的0BB061612HB618 0,的HB0621622HB628 EEBEEB EB EB EB EEB EB EE 0 HEB 1682HB688 任取9(的A9A1礵右面行列式第1+的行的31倍,第1+,行的31倍,77第,1行的 318倍都加到第9行.此时,第9行为 (00HB0 cl cl2 FEBc8姓 C13161+31262=+HB+31868=et14矩5双 00 EEB 0 C Ci2 EB Ci8 00B C21 C22 ElB C28 FEBFEB EEB EB FEB FEB EB 的t矩1的t5 00 FEB 0 C81 C82 HB C88 7 的0BB061612HB68 的B0 EEB EEB EEB EB EEB FB EEB 00HB,的68 再由例,都知的t矩的t5.的t 矩阵多项式 如果矩45都j1阶方≤,则矩545矩及矩十5也都j1阶方≤.这种情形会经常出现 设矩n=Smn87矩的幂定义如下 矩.I84矩 矩(阵矩7 称为矩的·次方藏或矩的·次幂 由于结合W成立,有下面一些一质 7 其(矩(1k2,矩(27
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nr(矩数).(矩麦都 ir则矩45"m1剩矩5.5矩(这转称矩与5可换则 矩贴数5 定义阵法m矩性城,矩nm1m4f(xkm{∫(x及.∑3称1阶方阵 f(矩及3*矩数+3理1矩题+B+3矩+31.∑3矩 矩矩的一个多项式卻 由阵阵运.的性质有得下知性质 jr法∫(x9(x可x为xkm諷∫(g(及.可x∫(取(x及.为x则 对置何矩nm1m有 ∫(矩及+9(矩及.可矩∫(矩攻(矩及为矩
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是可逆加阵 阵也.经的阵之 定义A一个∈方阵八可逆矩阵剩基果存在∈意方阵·使得 时此立·矩≤i逆矩阵b 矩讨论一个方阵阶此而逆2需.下知伴随的阵概念j 定义,表≤a,ⅥB1P8x8-<1矩v1=n(余子须;则立的阵 ≤11<21555≤81 12≤22555≤82 矩<i伴随矩阵b 引理A表<*矩≤a,ⅥBP8x8伴随的阵2则 B 证由定理,b5A知 Gs≤B∑≤(ⅳ(=形≤G们=d(j≤58B G≤sB∑Ⅵ(≤a形出≤aj=≤58尽 因3,,B成称 定理,表≤a,ⅥB1P8x8b则≤而逆面且即面 证表<而逆2·矩≤i逆的阵于 d(<5d·ad,<·Bda 反之2表d<60b于 A Ba dc< dG<d≤58a哟 因3≤而逆且≤矩t逆的阵 从这个定理定们而得取而逆的阵则干经i性质j
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推论≤可逆矩1阵逆矩是唯阵最为14,则148y81,且11V114y 证下乘理以面以14V1是1阵逆短j有且1411又设)如是1阵 )11).111 1有)V1,且141￥11AV1+ 推论以1/可 1S如可逆 证果141V1面14可逆以且其逆矩14Av1 推论有设1为可逆矩j则17如可逆以且 事实上以1714my41理y1+ 推论阵设1()p是8阶可逆方j则1)如是可逆阵以且 事实上以)A141)A14y114yn1 定理有设1是8阶可逆方又)8∈P8)帐P,3从面结论零 ≤存在唯阵e8∈P16使质1e8)8矩 以存在唯一阵e蘸∈Pm使质e的 证≤,以阵证明类似j只证≤ 81令是1e8V)81又若D8∈P16使质 1D8y)8,故le8y1D8 D811e8e8 推论11∈P可逆/es(D8∈Pl6(e的D的dP的,则 1e8y1D8知且仅知e8D e的VD的知且仅知e的 例≤判之矩 有 1V 是逆可逆以若可逆以求其逆方j 解果d1y-∈y0面1可逆且 有-≤ ≤有
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