习题7.5 1.一根10m长的轴,密度分布为p(x)=(0.3x+6)kg/m(0≤x≤10), 求轴的质量 解m=°03x+6k=75(kg,即轴的质量为75kg 2.已知抛物线状电缆y=x2(-1≤x≤1)上的任一点处的电荷线密 度与该点到y轴的距离成正比,在(1)处的密度为q,求此电缆上 的总电量。 解Q=引,小+4=9+4+-65-y,即此电缆上的总电 量为(55-1) 3.水库的闸门是一个等腰梯形,上底36m,下底24m,高16m,水 平面距上底4m,求闸门所受到的水压力(水的密度为1000kg/m3)。 解以梯形的上底为y轴,从上底的中点垂直向下为x轴正向,则水 下离水面距离为x处,高度为d的一段闸门一侧所受的水压力为 dF=10004x)24+7(16-x)ax, 于是闸门所受的总的水压力为 F=1000(4+x)241(6-x)x≈54×107(N) 4-.一个弹簧满足圆柱螺线方程 x= a cos 0(a>0.b>0), D 其上任一点处的密度与它到Oxy平面的距离成正比,试求其第 247习 题 7.5 ⒈ 一根 10m 长的轴，密度分布为 ρ( ) x = (0.3x + 6) kg/m（0 ≤ ≤ x 10）， 求轴的质量。 解 （kg），即轴的质量为 75kg。 10 0 m x = + (0.3 6)dx = 75 ∫ ⒉ 已知抛物线状电缆 y = x 2 （−1 ≤ x ≤ 1）上的任一点处的电荷线密 度与该点到 轴的距离成正比，在 处的密度为 q，求此电缆上 的总电量。 y ( , 11) 解 3 1 2 2 2 1 1 0 1 1 1 4 (1 4 ) (5 5 1) 6 6 Q q x x dx q x q − = + = + = − ∫ ，即此电缆上的总电 量为 1 (5 5 1) 6 − q。 ⒊ 水库的闸门是一个等腰梯形，上底 36m，下底 24m，高 16m，水 平面距上底 4m，求闸门所受到的水压力（水的密度为 1000kg/m3 ）。 解 以梯形的上底为 y 轴，从上底的中点垂直向下为 x轴正向，则水 下离水面距离为 x处，高度为dx的一段闸门一侧所受的水压力为 3 1000 (4 ) 24 (16 ) 4 dF g x x dx ⎡ ⎤ = + + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 于是闸门所受的总的水压力为 16 7 0 3 1000 (4 ) 24 (16 ) 5.4 10 4 Fgx x dx ⎡ ⎤ = + + − ≈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ × (N)。 ⒋ 一个弹簧满足圆柱螺线方程 x a t y a t z bt = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ cos , sin , , t > 0（a > 0,b > 0）， 其上任一点处的密度与它到 Oxy 平面的距离成正比，试求其第一 247