D0I:10.13374/1.issm100103.2008.08.018 第30卷第8期 北京科技大学学报 Vol.30 No.8 2008年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2008 类三维混沌系统界的估计 郑宇 张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要对一类三维混沌系统的界进行了估计·首先运用参数法给出了该三维混沌系统在条件一1≤<0下两变量的一个 上界估计定理并进行了证明，其次在两变量上界估计的基础上给出了该混沌系统三变量的一个上界估计定理并进行了证明： 最后给出了具体参数下该三维混沌系统的上界估计值并进行了数值模拟· 关键词三维混沌系统：混沌；有界；李雅普诺夫函数：参数法 分类号0415.5 Estimatiion of bounds for a kind of three-dimensional chaotic system ZHENG Yu.ZHA NG Xiaodan School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACT The bound of a kind of three-dimensional chaotic system was estimated.Firstly,under the condition of-10, the theorem about an upper bound estimate of two variables was given by parameterization and proved.Secondly.the theorem about an upper bound estimate of three variables was proposed and proved.Finally.the actual parameter bounds of the three-dimensional chaotic system were estimated and their numerical simulations were done. KEY WORDS three-dimensional chaotic system:chaos:bound:Lyapunov function:parameter method 混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形 x=(25a十10)(y-x) 式，自从20世纪60年代Lorenz在数值试验中偶然 y=(28-35a)x-xz十(29a-1)y (1) 发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论在许多领域 -&十8 中获得了巨大而深远的发展，理论上研究混沌的目 =xy一3 的是多方面的，主要是要揭示混沌的本质，刻画它 令a=25a+10,m=28-35a,6=寸8， 3,c= 的基本特征，了解它的动力学形态，并力求对它加 以控制和利用使之为人类服务].混沌系统是有 29a-1,系统(1)变为： 界，它的界的估计对混沌的控制、同步及其应用有 i=a(y-x) 着很重要的意义[-).然而，它的界很难求得. y=mx一xz十cy (2) 1987年，Leonov等门研究了Lorenz系统的界 、i=xy一bz 并得出了系统的球形和柱形上界.2003年，陈关荣 当0≤时，>10.b>m>-1Ke<0 等讨论了Chen系统的有界性8]，得到了Chen系统 的上界估计.2005年，李大梅等[9-10]对Lorenz系统 1三维混沌系统两变量的上界估计 族进行了界的估计， 定理1当一1≤c<0时，系统(2)满足y2十 在文献[8]的基础上，本文运用参数法对统一混 沌系统进行了界的估计，系统描述如下： (e-m)2≤- 4c(b+c) 证明：取Lyapunov函数 收稿日期：2007-06-12修回日期：2007-12-14 基金项目：北京科技大学科研基金资助项目(N。,000090I0) 作者简介：郑字(1983一)，女，硕士研究生，E-mail:zhengyubeijing@163.com;张晓丹(1959一)，女，教授一类三维混沌系统界的估计 郑 宇 张晓丹 北京科技大学应用科学学院‚北京100083 摘 要 对一类三维混沌系统的界进行了估计．首先运用参数法给出了该三维混沌系统在条件－1≤ c＜0下两变量的一个 上界估计定理并进行了证明‚其次在两变量上界估计的基础上给出了该混沌系统三变量的一个上界估计定理并进行了证明； 最后给出了具体参数下该三维混沌系统的上界估计值并进行了数值模拟． 关键词 三维混沌系统；混沌；有界；李雅普诺夫函数；参数法 分类号 O415∙5 Estimatiion of bounds for a kind of three-dimensional chaotic system ZHENG Y u‚ZHA NG Xiaodan School of Applied Science‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China ABSTRACT T he bound of a kind of three-dimensional chaotic system was estimated．Firstly‚under the condition of －1≤ c＜0‚ the theorem about an upper bound estimate of two variables was given by parameterization and proved．Secondly‚the theorem about an upper bound estimate of three variables was proposed and proved．Finally‚the actual parameter bounds of the three-dimensional chaotic system were estimated and their numerical simulations were done． KEY WORDS three-dimensional chaotic system；chaos；bound；Lyapunov function；parameter method 收稿日期：2007-06-12 修回日期：2007-12-14 基金项目：北京科技大学科研基金资助项目（No．00009010） 作者简介：郑 宇（1983－）‚女‚硕士研究生‚E-mail：zhengyubeijing＠163．com；张晓丹（1959－）‚女‚教授 混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形 式．自从20世纪60年代 Lorenz 在数值试验中偶然 发现第一个混沌吸引子以来‚混沌理论在许多领域 中获得了巨大而深远的发展．理论上研究混沌的目 的是多方面的‚主要是要揭示混沌的本质‚刻画它 的基本特征‚了解它的动力学形态‚并力求对它加 以控制和利用使之为人类服务［1－4］．混沌系统是有 界‚它的界的估计对混沌的控制、同步及其应用有 着很重要的意义［5－6］．然而‚它的界很难求得． 1987年‚Leonov 等［7］ 研究了 Lorenz 系统的界 并得出了系统的球形和柱形上界．2003年‚陈关荣 等讨论了 Chen 系统的有界性［8］‚得到了 Chen 系统 的上界估计．2005年‚李大梅等［9－10］对 Lorenz 系统 族进行了界的估计． 在文献［8］的基础上‚本文运用参数法对统一混 沌系统进行了界的估计‚系统描述如下： x ·＝（25α＋10）（ y－ x） y ·＝（28－35α） x－ xz ＋（29α－1） y z ·＝ xy－ α＋8 3 z （1） 令 a＝25α＋10‚m＝28－35α‚b＝ α＋8 3 ‚c＝ 29α－1‚系统（1）变为： x ·＝ a（ y－ x） y ·＝ mx－ xz ＋cy z ·＝ xy－bz （2） 当0≤α＜ 1 29 时‚a＞10‚b＞ 8 3 ‚m＞ 777 29 ‚－1≤c＜0． 1 三维混沌系统两变量的上界估计 定理1 当－1≤ c＜0时‚系统（2）满足 y 2＋ （ z － m） 2≤－ b 2m 2 4c（ b＋c） ． 证明：取 Lyapunov 函数 第30卷 第8期 2008年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．8 Aug．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．08．018