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.960 北京科技大学学报 第30卷 V(t)=y2+(z-m)2, b2m2 (8) V(t)沿着系统(2)的轨线求导得到： y2+(:-m)≤-4c(6+。) 2i()=g2+bm:-起2. 2三维混沌系统三变量的上界估计 令V(t)=0,则 定理2当一1≤c<0时，系统(2)包含在以下 2 球中： 一cy 4 (3) x2+y2+(e-a-m)≤-0tm2+ 当-1≤c<0时，有 4ac(b+c) 。>106>骨m>g 2me+b+-22+2m-em2+2. 4a(b十c) a 方程(3)参数化得到： 证明：取Lyapunov函数 V1(t)=x2+y2+(z-a-m)2, (4) V1(t)沿着系统(2)的轨线求导得到： 则 2i1(e)=-ax2+g2-e2+(a+m）be (5) 根据系统(2)中x=a(y一x)得到： 另一方面有： s(-ceX-+we-()eds. y=mx一xz十cy= 其中，B、c1为常数 mx 受(1+)+受、FE (6) 由式(8)可知y有界，所以x(t)在区间t∈ (B,十∞)有界. 若(x(t)y(t),z(t)是系统(2)上的点，则将 将式(5)代入式(6)和(7)得到： (一x(t),一y(t),z(t)代入系统(2)有： -x=a(一y十x) x=一 b sine ccose 1-sine 一y=一mx十xz一cy h十cine-1 cos=0. =xy一bz 即 ()当 b十c: c ‘sine-l1cose≠0时，则e=0,说 x=a(y一x) 明e关于时间t是个常量，显然这种情况是不可能 y=mx一xz十Cy 的， ixy-bz (ii)当cose=0时，则sine=士1，将其代入(4) 所以（一x(t),一y(t),z(t)也是系统(2）上的点， 式：(a)当sine=1时，yo=0,z0=m,将yo,z0代 即系统(2)关于z坐标轴对称.因此，x(t)在区间 入V(t)有V(t)=0:(b)当sine=-1时，yo=0, (-∞，一也是有界的，则x(t)在t∈（一∞， z0=0,将y0,z0代入V(t)有V(t)=m2. 十∞)上有界.x2+y2+(z-a-m)2在区间t∈ (一∞，十∞)上是一致有界的. (面)当结m一1=0时ine一6千。则： V1(t)的最大值点满足V1(t)=0,即 ose=土1-sin7e=士B+2e a2=cy2-bz2+(a十m)bz, b+c 则 sine,cosE代入式(4)，得到： aVi(t)=ax2+ay2+a(z-a-m)2= 。±6日+8号 （a+c)y2+(a-b)z2- (2a-b)(a+m):+a(a+m)2= 记Po=(y0,z0),则有： b2m2 (a十c)y2+(a+c)(a-m)2- v()lp。=-4c(b+c) (e+6):-2m+bmth-22 2(b+c) 综合（①）、()和()得到函数V(t)=y2+(z-m)2 沿着系统(2)有： 2c士h土h=2+2am-cm2+d. 4(b+c)V （ t）＝y 2＋（ z － m） 2 V （ t）沿着系统（2）的轨线求导得到： 1 2 V · （ t）＝cy 2＋bmz －bz 2． 令 V · （ t）＝0则 b z － m 2 2 －cy 2＝ bm 2 4 （3） 当－1≤c＜0时有 a＞10b＞ 8 3 m＞ 777 29 ． 方程（3）参数化得到： z ＝ m 2 （1＋sinε）y＝ m 2 － b c cosε （4） 则 z ·＝ m 2 cosεε ·y ·＝－ m 2 － b c sinεε · （5） 另一方面有： y ·＝ mx－ xz ＋cy＝ mx－ mx 2 （1＋sinε）＋ cm 2 － b c cosε （6） z · ＝ xy－bz ＝ mx 2 － b c cosε－ bm 2 （1＋sinε） （7） 将式（5）代入式（6）和（7）得到： x＝－ － b c sinεε ·＋ccosε 1－sinε b＋c c sinε－1 cosεε · ＝0． （i） 当 b＋c c sinε－1 cosε≠0时则 ε · ＝0说 明ε关于时间 t 是个常量显然这种情况是不可能 的． （ii） 当cosε＝0时则 sinε＝±1将其代入（4） 式：（a） 当 sinε＝1时y0＝0z0＝ m将 y0z0 代 入 V （ t）有 V （ t）＝0；（b） 当 sinε＝－1时y0＝0 z0＝0将 y0z0 代入 V （ t）有 V （ t）＝ m 2． （iii） 当 b＋c c sinε－1＝0时sinε＝ c b＋c 则： cosε＝± 1－sin 2ε＝± b 2＋2bc b＋c ． sinεcosε代入式（4）得到： y0＝± m 2（b＋c） － b c b 2＋2bcz0＝ m（b＋2c） 2（b＋c） ． 记 P0＝（ y0z0）则有： V （ t）｜P0＝－ b 2m 2 4c（ b＋c） ． 综合（i）、（ii）和（iii）得到函数 V （ t）＝y 2＋（ z － m） 2 沿着系统（2）有： y 2＋（ z － m） 2≤－ b 2m 2 4c（ b＋c） （8） 2 三维混沌系统三变量的上界估计 定理2 当－1≤c＜0时系统（2）包含在以下 球中： x 2＋y 2＋（ z － a－ m） 2≤－ （ a＋c） b 2m 2 4ac（ b＋c） ＋ （2mc＋ ab＋ mb－2a 2） 2 4a（ b＋c） ＋2am－ cm 2 a ＋ a 2． 证明：取 Lyapunov 函数 V1（ t）＝ x 2＋y 2＋（ z － a－ m） 2 V1（ t）沿着系统（2）的轨线求导得到： 1 2 V · 1（ t）＝－ ax 2＋cy 2－bz 2＋（ a＋ m） bz ． 根据系统（2）中 x ·＝ a（ y－ x）得到： x（ t）＝c1e α（β－t）＋ ae － at∫ t β y（ s）e as d s 其中β、c1 为常数． 由式（8）可知 y 有界所以 x （ t）在区间 t ∈ （β＋∞）有界． 若（ x（ t）y（ t）z （ t））是系统（2）上的点则将 （－ x（ t）－y（ t）z （ t））代入系统（2）有： － x ·＝ a（－y＋ x） －y ·＝－ mx＋ xz －cy z ·＝ xy－bz 即 x ·＝ a（ y－ x） y ·＝ mx－ xz ＋cy z ·＝ xy－bz 所以（－ x（ t）－y（ t）z （ t））也是系统（2）上的点 即系统（2）关于 z 坐标轴对称．因此x （ t）在区间 （－∞－β）也是有界的则 x （ t ）在 t ∈（－∞ ＋∞）上有界．x 2＋ y 2＋（ z － a－ m） 2 在区间 t∈ （－∞＋∞）上是一致有界的． V1（ t）的最大值点满足 V · 1（ t）＝0即 ax 2＝cy 2－bz 2＋（ a＋ m） bz 则 aV1（ t）＝ ax 2＋ ay 2＋ a（ z － a－ m） 2＝ （ a＋c） y 2＋（ a－b） z 2－ （2a－b）（ a＋ m） z ＋ a（ a＋ m） 2＝ （ a＋c） y 2＋（ a＋c）（ z － m） 2－ （ c＋b） z － 2cm＋bm＋ ab－2a 2 2（ b＋c） 2 ＋ （2mc＋ ab＋ mb－2a 2） 2 4（ b＋c） ＋2a 2m－cm 2＋ a 3． ·960· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷