广义函数求导的想法来源于古典分析中的分 部积分.为此我们先回顾一下分部积分的基本思 想.设f和φ都是定义在R上的连续可微函数, φ具有紧支撑.由分部积分公式,有 f(a)p(ar)da f(ar)y(a)da 这个等式表明利用分部积分可以对一个函数的求 导运算转化为对另一个函数的求导.这一简单而 又重要的事实启发我们按以下方式引进广义函数 的导数 定义1.4.1(局部可积函数的广义导数)设u, 为g上局部可积函数,若 成立,则称为u的a阶广义导数 定义14.2(广义函数的广义导数)设f,g∈D(92) 是广义函数,满足 (f,D°g)=(-1)°(g,y),Vy∈D(92) 则g称为f的a阶广义导数 定理14.3任一广义函数的所有阶广义导数 都存在而且都是广义函数 例1.4.4由 Heaviside函数h所定义的函数 1,x≥0. h(a) 的广义导数h=6. 证明:对于任意的y∈D(B),有 M()=-My2)=-dx=(0)=09) 因此 例1.4.5| 证明:对于任意的p∈D(B),取a>0,使得￾￾H!
￾
￾

-
7Æ9BC
-
G  1 f D ϕ D
" R @E￾￾ ϕ =5G I
-
"  ∞ −∞ f (x)ϕ(x) d x = −  ∞ −∞ f(x)ϕ (x) d x. H6
-
￾￾ 9E￾￾  8FH7Æ : ￾￾ ￾ ! 1.4.1(/-￾￾ ￾) 1 u, v  Ω /-￾￾<  Ω uDαϕdx = (−1)α  Ω vϕ d x, ∀ ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) .$" v  u α 2  6. ! 1.4.2( ￾￾ ￾) 1 f, g ∈ D (Ω)
￾￾;# f,Dαϕ = (−1)α g,ϕ , ∀ ϕ ∈ D(Ω). " g  f α 2  6. !" 1.4.3 / ￾￾#2 ￾ D#4D
￾￾  1.4.4 I Heaviside ￾￾ h #"￾￾ h(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 1, x ≥ 0, 0, x< 0 ￾ h = δ. :<!/ ϕ ∈ D(R),  h (ϕ) = −h(ϕ ) = −  ∞ 0 ϕ d x = ϕ(0) = δ(ϕ),  h = δ.  1.4.5 |x| = 2δ. :< !/ ϕ ∈ D(R), > a > 0, %4 5