《变分法》课程教学资源（知识点例题解，共六部分）

变分法简介 第一章广义函数简介 1.1背景知识 函数是古典分析中的基本概念之一,然而这样 的一个基本概念,随着科学的发展已不够用.下 面用几个例子加以说明. 例1.1.1(脉冲)20世纪初, Heaviside在解电 路方程时,提出了一种运算方法,称之为算子演 算.这套算法要求对如下函数 1,x≥ 求导,并把导数记为6(x).但按照经典分析的理 论,h(x)并不可导,因此6(x)不可能是普通意 义下的函数,它除了作为一个记号进行形式演算 外,在数学上是没有意义的.但是,6(x)在实际 中却是有意义的,又代表一种理想化的“瞬时”单 位脉冲 例1.1.2( Dirac符号)在微观世界中,把可观 测到的物质的状态用波函数来描述,最简单的波 函数具有形式e(x∈(-∞,+∞),A是实参数, 并考虑如下形式的积分 eiar d x 2丌J-2r 这种积分按 Cauchy积分来定义,即 ear dx= lim/eiar dx=lim I sinn入 显然,这个极限在普通意义下不存在.然而,物 理学家认为这个极限是前面所提到的6(X),并认 为是 Dirac符号.特别,在量子力学中,进一步发 展了许多关于6(A)的运算法则,并广泛地使用 例1.1.3(广义微商)在数学本身的发展中,也 时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范 围所加的限制.20世纪30年代, Sobolev为了确

￾
    1.1  ￾ ￾￾

￾
￾
      1.1.1() 20  Heaviside          ￾￾ h(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 1, x ≥ 0, 0, x< 0, ￾ δ(x). ￾
￾  h(x)   δ(x) 
  ￾￾  ￾
 
 δ(x) 

  “ ”    1.1.2(Dirac ) 
 Æ ￾￾ ￾￾ eiλx(x ∈ (−∞, +∞)), λ
!￾   
1 2π  2π −2π eiλx d x.  
 Cauchy 
" 1 2π  2π −2π eiλx d x = limn→∞  n −n eiλx d x = limn→∞ 1 π sin nλ λ .  # Æ !
"# δ(λ), ! 
Dirac $ $%
&  '! δ(λ) " ()%  1.1.3( ) ￾&
# *'￾
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$% + %#& 20  30 (Sobolev  ) 1

定微分方程解的存在性、惟一性问题,通过分部 积分公式,推广了函数可微性的概念,建立了广 义微商理论,形成了 Sobolev空间理论.这标志着 现代微分方程理论的诞生 基于上述原因,扩充函数概念,为广义函数寻 找坚实的数学基础,对数学家提出了新的挑战 20世纪40年代, Schwartz完成了这一艰巨的任 务,创立了广义函数的系统理论,并因此而获得 1950年数学最高奖一菲尔兹奖 12基本函数空间 设9是Pn的有界开集,用x=(x1,x2,…,xn) 表示Pn中的点 局部空间定义为 L(9)=∩{D(9):cc9 其中gcc9意味着9c9,且d(O0,02)>0.对 任一9上定义的函数,称集合{x∈92f(x)≠0} 的闭包为f的支集,记为 supp f 考虑上具有支集含于9的无穷可微函数空 C(9)={u∈C∞(9): suppu cs} 我们有以下重要定理 定理1.2.1C。(g)是DP(9)(1<p<∞)的稠密 子集 首先引进记号: 表示a阶的微分算子,其中la|=∑a 在讨论 Soboley空间中的函数的某些性质时, 往往先对光滑函数证明该性质,然后利用稠密性 过渡到极限,这就需要用光滑函数在某种意义下 逼近给定的函数,为此先引进磨光算子 设p(x)满足 (1)p∈C(B

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"+ ￾￾'#$ , . Sobolev %&  /* +
 0- !,'1￾￾ ￾￾- .(￾2￾ /.0 20  40 ( Schwartz 1. )*/ 23$ ￾￾30 +4 1950 (￾5, — 67, 1.2   1 Ω
Rn -. x = (x1, x2, ··· , xn) 2 Rn
8 /- Lp %&" Lp loc(Ω) = {Lp (Ω ): Ω ⊂⊂ Ω}, 3
Ω ⊂⊂ Ω 4 Ω ⊆ Ω, 4 d(∂Ω , ∂Ω) > 0.  / Ω "￾￾.0 {x ∈ Ω| f(x) = 0} 9: f
,  suppf.  Ω 5.1! Ω 65￾￾% & C∞ 0 (Ω) = {u ∈ C∞(Ω) : suppu ⊆ Ω}. 7Æ 8" !" 1.2.1 C∞ 0 (Ω)
Lp(Ω)(1 7= 34￾￾9  ?8@"￾￾9::3 1 ρ(x) ;# (1) ρ ∈ C∞(Rn), 2

(2)uppp C B1(0) (3)/p(x)dx=1 称它为光滑子.显然这样的光滑子是存在的,例 如 cexp(x12-1)-1,若|x|1, 其中c为常数,满足条件 p(r)d 若取h>0,h<d(x,092),那么{h=p(xh-1)}就构成 个光滑子族.对u∈L(92),作卷积 (a(a)=”(=nm(d 称它为u的磨光算子,也称un(x)=(J)(x)为u 的均值函数(正则化函数).算子J的作用是把 函数u磨光,若在g的余集上补充定义u(x)≡0 则可以证明an(x)∈C∞(F),且当supu为有界集 时,∈C(P) 在集合C(g2)上定义收敛性如下 定义1.2.2设{ym}cCo(92),yo∈C(9),如果 (1)存在一个相对于9的紧子集Kc9,使得 (2)对于任意指标a=(a1…,an)恒有 max|D°ym(x)-D°≠0(x)→0(m→∞ x∈K 即{D°ym}在K上一致收敛于D°po 则称序列{m}在C(2)中收敛于φ.赋予上 述收敛性的线性空间C(2),称为基本函数空间 D(9) 1.3广义函数的定义和基本性质 定义1.3.1D(92)上的一切连续线性泛函都称 为广义函数即广义函数是这样的泛函f:D(92)→ R,满足

(2) suppρ ⊂ B1(0), (3)  Rn ρ(x) d x = 1,  $%. 34
#  ρ(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ c exp(|x| 2 − 1)−1, 1, 3
c *￾;#=9  Rn ρ(x) d x = 1. <> h > 0,h.A1" u(x) ≡ 0, " max x∈K |Dαϕm(x) − Dαϕ0(x)| → 0(m → ∞),  {Dαϕm}  K AA<! Dαϕ0, "B? {ϕm}  C∞ 0 (Ω)
,- ! ϕ0. CC A<'D'%& C∞ 0 (Ω),    D(Ω). 1.3  .! /0 ! 1.3.1 D(Ω) B@ED'(￾D   ,  ￾￾
(￾ f : D(Ω) → R1, ;# 3

(1)线性 (f,191+A2y92)=A1(f,91)+入2(f,y2) Vg1,y2∈D(92),VA1,A2∈R (2)对于任意的{9m}∈D(2),当pm→yo时,恒 有 (f,9m)→(f,g0)(m→∞) 一切广义函数∫所组成的集合记作D(92)f在点 9处的值f(y)记为(f,y),于是(f,g)=f(p) 若对于任意的有界可测集Ec9,f(x)在E上 按 Lebesgue意义是可积的,则称f(x)在Ω上是 局部可积的,记这种函数全体为L(9).f(x)对应 着一个广义函数 ( p)=/f(a)(a)da, VE D(O) 注:广义函数是局部可积函数的推广.每个 局部可积函数对应一个广义函数.并不是所有的 函数都是广义函数.事实上,普通的不可测函数 并不能看成是广义函数 例1.3.26-函数.设6∈9.,定义 (6,9)=y(6),Vy∈D(2) 6函数是一个广义函数 定义1.33设{m}CD(92),f0∈D(9).如果 对一切p∈D(9,有 lim(m, p)=(, p) 则称{fm}在D(92)中收敛于f 例1.3.4在R上 1 sin fm(a) m=1,2, 是一列L()函数,从而可以看作是广义函数 列.我们有fm→6(m→∞) 1.4广义导数及其性质

(1) D'  f,ϕm → f,ϕ0 (m → ∞). B ￾￾ f #1..0 D (Ω). f 8 ϕ EF f(ϕ)  f,ϕ , !
f,ϕ = f(ϕ). <!/. E ⊂ Ω, f(x)  E   Lebesgue 
" f(x)  Ω 
2345.,  ￾￾CD L1 loc(Ω). f(x) G  ￾￾ f,ϕ =  Ω f(x)ϕ(x) d x, ∀ ϕ ∈ D(Ω). < ￾￾
/-￾￾+ E /-￾￾G ￾￾ 
# ￾￾D
￾￾ F ￾￾  A.
￾￾  1.3.2 δ- ￾￾ 1 θ ∈ Ω, " δ, ϕ = ϕ(θ), ∀ ϕ ∈ D(Ω). δ ￾￾
 ￾￾ ! 1.3.3 1 {fm}⊂D (Ω), f0 ∈ D (Ω). Æ B ϕ ∈ D(Ω),  lim m→∞ fm, ϕ = f,ϕ , " {fm}  D (Ω)
,- ! f.  1.3.4  R1  fm(x) = 1 π sin mx x , m = 1, 2, ···
? L1 loc(R1) ￾￾FA
￾￾ ? 7Æ fm → δ(m → ∞). 1.4  6780 4

广义函数求导的想法来源于古典分析中的分 部积分.为此我们先回顾一下分部积分的基本思 想.设f和φ都是定义在R上的连续可微函数, φ具有紧支撑.由分部积分公式,有 f(a)p(ar)da f(ar)y(a)da 这个等式表明利用分部积分可以对一个函数的求 导运算转化为对另一个函数的求导.这一简单而 又重要的事实启发我们按以下方式引进广义函数 的导数 定义1.4.1(局部可积函数的广义导数)设u, 为g上局部可积函数,若 成立,则称为u的a阶广义导数 定义14.2(广义函数的广义导数)设f,g∈D(92) 是广义函数,满足 (f,D°g)=(-1)°(g,y),Vy∈D(92) 则g称为f的a阶广义导数 定理14.3任一广义函数的所有阶广义导数 都存在而且都是广义函数 例1.4.4由 Heaviside函数h所定义的函数 1,x≥0. h(a) 的广义导数h=6. 证明:对于任意的y∈D(B),有 M()=-My2)=-dx=(0)=09) 因此 例1.4.5| 证明:对于任意的p∈D(B),取a>0,使得

￾￾H!
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7Æ9BC
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G  1 f D ϕ D
" R @E￾￾ ϕ =5G I
-
"  ∞ −∞ f (x)ϕ(x) d x = −  ∞ −∞ f(x)ϕ (x) d x. H6
-
￾￾ 9E￾￾  8FH7Æ : ￾￾ ￾ ! 1.4.1(/-￾￾ ￾) 1 u, v  Ω /-￾￾ a > 0, %4 5

suppy C(-a,a),则有 P()=()=/u(a)d rp"(r)dx+/ p"(a)d r (a)d p(0)+9(0)=26(9) 因此|z|"=26(9) 定理14.6设函数u∈DP(92),则u具有积分的 整体连续性,即对于任意的ε>0,存在δ>0,当 H<6时 lu(ar+h)-u()p<e 定理1.4.7设u∈L(2),则 Hullo≤ulp,lim‖Ju-al=0 注:当Du∈L(2)时,有 lim Dou-Deul 定理14.8(变分法基本引理)如果u∈LP(2)满 足 u(ar)p(a)dx=0, VY E C0(2) 则u=0在9上几乎处处成立(记为u=0a.e.于 g2,或u=0p.p.于9 局部可积函数的广义导数等价于以下定义 定义1.4.9设u,∈L2(2),若对于任意gcc 92,存在函数列un∈C∞(92)满足 lun-lp→0,‖De p→0(n→∞) 则称v是u的a阶广义导数 注:广义导算子就是经典导算子在L的闭 扩张,因此若函数有经典a阶导数存在,则它与 广义a阶导数一致.但是二者也有区别:经典导 数由低阶定义高阶,而广义a阶导数是直接给出 定义,因此高阶广义导数存在不能推出低阶导数 也存在 局部可积函数的广义导数具有如下初等性质

suppϕ ⊂ (−a, a), " |x| (ϕ) = |x|(ϕ) =  ∞ −∞ |x|ϕ(x) d x = −  0 −a xϕ(x) d x +  a 0 xϕ(x) d x =  0 −a ϕ (x) d x −  a 0 ϕ (x) d x = ϕ(0) + ϕ(0) = 2δ(ϕ),  |x| = 2δ(ϕ). !" 1.4.6 1￾￾ u ∈ Lp(Ω), " u 
JD@E'!/ ε > 0, # δ > 0, B |h| < δ u(x + h) − u(x)p < ε. !" 1.4.7 1 u ∈ Lp(Ω), " Jhup ≤ up, lim h→0 Jhu − up = 0. <B Dαu ∈ Lp(Ω)  lim h→0 Dαuh−Dαup = 0. !" 1.4.8(I
: ) Æ u ∈ Lp(Ω) ; #  Ω u(x)ϕ(x) d x = 0, ∀ ϕ ∈ C∞ 0 (Ω), " u = 0  Ω FEE.$ ( u = 0 a. e. ! Ω, G u = 0 p. p. ! Ω). /-￾￾ ￾HH! " ! 1.4.9 1 u, v ∈ Lp loc(Ω), <!/ Ω ⊂⊂ Ω, #￾￾? un ∈ C∞(Ω ) ;# un − up → 0, Dαun − vp → 0(n → ∞), " v
u α 2  6. < 7
￾ L1 loc 9 'K<￾￾￾ α 2￾#"L  α 2￾A 
JM#I%<￾ ￾IK2"52  α 2￾
NI@ "52 ￾# +K2￾ ## /-￾￾ ￾ H' 6

1)D(au+bu)=aDu+bDou (2)D+au=D(D°u) (3)若Du=0普一切a=m成立的设是必称 条件中u几乎每每等于一个(m-1)次多项 义时 1.5 Soboley空间 定义1.5.1设k为非负整数,p≥1,定义 Soboley空间为 W(92)={u∈DP(D)D°u∈DP(9,va≤k W(92)中的推数定义为 Soboley空间数作Wb(92)或Wk(92) W(92)中完们的空间时 切k=0时,测一W(g)=DP(9) 切p=2时,W2(9)中 Hilbert空间,一般简 数为H(92).这中由于在H(9)中可以定义 内积 (u,)=∑(Da,Dn)=∑/ Deudeydx ·切10.2≠P时,Wb2(92)中W(2)的真子空间时

(1) Dα(au + bv) = aDαu + bDαv. (2) Dα+βu = Dα(Dβu). (3) 0, Ω = Rn Wk,p 0 (Ω)
Wk p (Ω) P%& 7

研内Wb(92)的方便的处是W2(92)中的任何 数数都u可以连处延拓到Wb(P).为此,只称让 (x),x∈92 →a构集W6(2)→W()的连处延拓 组X1,X2是两个赋范都性空间,作们的范数分 别为‖·‖1,‖·‖2,着果满足条件 (2)存在常数c,空得‖u2≤cul1,va∈x1 定称空间X1嵌入到空间X2,以作X1→X2,着果 嵌入还满足恒等算子I:X1→X2是条的,定称这 个嵌入是条的 定理1.5.3集立 C(92) p>n, L9(2) 1n, lull≤C(n,q)g2H‖Duln,p=n,1≤q1)的情按有嵌入 m -(=-Up(k-D)< n, C(9,0≤1≤k- 推论1.5.5Wb(9)中可以定义着.的等价范 llull.P(=∑Deal

QJ Wk,p 0 (Ω) RE
Wk,p 0 (Ω)
/K ￾￾D u @ERK Wk p (Rn). SL u¯(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ u(x), x ∈ Ω, 0, x/∈ Ω. u → u¯ :. Wk,p 0 (Ω) → Wk p (Rn) @ERK 1 X1, X2
LC+D'%&Æ+￾
% ·1, ·2, Æ;#=9 (1) X1 ⊂ X2; (2) #*￾ c, %4 u2 ≤ cu1, ∀ u ∈ X1, "%& X1 MN%& X2,  X1 → X2. Æ MNM;#>H I : X1 → X2
=" MN
= !" 1.5.3 .$ W1,p 0 → ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ C(Ω) ¯ , p > n, Lq(Ω), p = n, 1 ≤ q n, uq ≤ C(n, q)|Ω| 1/qDun, p = n, 1 ≤ q 1) OMN Wk,p 0 → ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ Wl,s 0 (Ω), s = np n − (k − l)p,(k − l)p < n, Wl,q 0 (Ω), (k − l)p = n, 1 ≤ q < ∞, Cl (Ω) ¯ , 0 ≤ l ≤ k − n p . <= 1.5.5 Wk,p 0 (Ω)
" HH+ ￾ uWk,p 0 (Ω) =  |α|=k Dαup. 8

定义1.5.6号果所在一明固前锥K92,使每明点 x∈O皆有以x为顶点与Ka全等念锥Ka(x)c9, 则能2满足内部锥条件 定理1.5.7号果a满足内部锥条件面则 Lp/(n=P)(92) kp n C(92) 0n 则有H6lder空间嵌入 W()7ck-1m/P() 当k-古非整函 C==1(2),当k#古整函 定理1.5.10号果ag满足内部锥条件面则有 wk(9)at C(),A>n,10,使得 2d)2≤M/∑(u3+1my

! 1.5.6 Æ#N"> KΩ, %E8 x ∈ ∂Ω O x S8L KΩ CH> KΩ(x) ⊂ Ω, " ∂Ω ;# ?3@A. !" 1.5.7 Æ ∂Ω ;#J->=9" Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ L(np)/(n−kp) (Ω), kp =9 kp > n, " H¨older %&MN Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Ck−1,n/p(Ω), B k − n p
NJ￾ Ck−n/p−1,1(Ω), B k − n p
J￾. !" 1.5.10 Æ ∂Ω ;#J->=9" Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Cl (Ω), kp > n, l =9 
! Wk,p 0 (Ω), =9" L 7
Wk,p 0 (Ω) D Wk p (Ω) 8I% !" 1.5.11(Friedrichs HPoincar´e H) Æ u ∈ W1 2 (Ω), "#*￾ M > 0, %4 (  Ω |u| 2 d x) 1/2 ≤ M[  Ω n i=1 ( ∂u ∂xi ) 2 + |  ∂Ω uds| 2 ] 1/2 . 9

敛紧1.5.12对函数集合 B={u∈C(9)∩C()u=0在a上} 有.面的不等式 n2dx≤C/|DuP2dx,vu∈Bb 即 lall≤CDul2,a∈Bb 其中C是与u无关而只与92有关的常数时

<= 1.5.12 ￾￾.0 B1 0 = {u ∈ C1 (Ω)  C0 (Ω) ¯ | u = 0 ∂Ω }   H  Ω u2 d x ≤ C  Ω |Du| 2 d x, ∀ u ∈ B1 0 ,  u2 ≤ CDu2, ∀ u ∈ B1 0, 3
C
L u 6SL Ω *￾ 10