《电磁学》第一章 真空中的静电场（1.4）高斯定理

§4高斯定理 电力线 1、引入目的:形象化、直观性地描写电场,作为一种辅助工具。 2、引入方法:电场是矢量场,引入电力线要反映场的两个方面小 方向’委 电场中人为地作出许多曲线,作法如下: (1)反映电场方向一一曲线上每点切向与该点场方向一致; (2)反映电场大小—一用所画电力线的疏密程度表示,申力线数密度与该 点场的大小成正比 △N E∝ 其中二表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数一一电力线数密度,参见 图 E △N (a)垂直时 (b)非垂直时 △N AS △S⊥△scos6 图1-15 在SI制中,比例系数取1,则E △N ,即△N=E·△S= Ecos 8 as。更精 确地有:dN=E·ds= Ecos ds。 例:点电荷Q均匀辐射N条电力线,各向同性,半径为r的球面上电力线 数密度为N:而场强E=9,两者一致,且N=g,球面立体角中 Eor 4-19

1―4―19 §4 高斯定理 一、电力线 1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。 2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面 方向 大小 ，在 电场中人为地作出许多曲线，作法如下： （1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致； （2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该 点场的大小成正比  ⊥   S N E 其中  ⊥  S N 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见 图 1-15。 (a) 垂直时： S N   (b) 非垂直时： S cos N S N   =   ⊥ 图 1-15 在 SI 制中，比例系数取 1，则  ⊥  = S N E ，即 N = E S = Ecos S   。更精 确地有： dN = E  ds = Ecos ds   。 例：点电荷 Q 均匀辐射 N 条电力线，各向同性，半径为 r 的球面上电力线 数密度为 2 4 r N  ；而场强 2 4 0 r Q E  = ，两者一致，且 0  Q N = ，球面立体角 d 中 E  E  ΔS ΔS n  θ

占有(cN)条 4丌 3、电力线的普遍性质 (1)电力线起自正电荷(或来自无穷远处)、止于负电荷(或伸向无穷远处), 不会在没有电荷的地方中断一一不中断; (2)对于正、负电荷等量的体系,正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去一一不多余; (3)无电荷空间任两条电力线不相交一一不相交(否则,场则不唯一); (4)电力线不能是自我闭合线一一不闭合。 4、说明 (1)电力线非客观存在,是人为引入的辅助工具; (2)电力线可用实验演示: (3)展示几种带电体电力线的分布(图略) 二、电通量 静电场是用E描述的矢量场。一般地,研究矢量场时常引入矢量的通量概念, 如:流体力学中的流量νΔ=υscosθ等,静电场中虽无什么在流,但可藉此 研究静电场。 1、定义电通量Φg 在电场中通过一曲面元As的电通量△Φ定义为: AΦg= EAs cos e=E.A(=△N) 式中A=As。因θ可锐角、钝角,故AΦ可正、可负 对于非无限小的曲面,有 = jEcosds=∫E:d S 其中,任意曲面S的法向有两种取法,对于不闭合的曲面,其法向n取何方向无 关紧要。 对于闭合曲面,其电通量定义为 Φ。= ecose ds=E·ds 4-20

1―4―20 占有（ N d 4  ）条。 3、电力线的普遍性质 (1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处）， 不会在没有电荷的地方中断——不中断； (2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去——不多余； (3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。 4、说明 (1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示； (3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。 二、电通量 静电场是用 E  描述的矢量场。一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念， 如：流体力学中的流量 v s = vscos   等，静电场中虽无什么在流，但可藉此 研究静电场。 1、定义电通量 E 在电场中通过一曲面元 s 的电通量 E 定义为： E s cos E s ( N) E =  =  =     式中 s sn    =  。因  可锐角、钝角，故 E 可正、可负。 对于非无限小的曲面，有    = =  S S E E ds E ds   cos 其中，任意曲面 S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向 n  取何方向无 关紧要。 对于闭合曲面，其电通量定义为：    = =  S S E E ds E ds   cos

并规定:取闭合曲面S的外法向矢为正,则电力线穿出S处,90,△Φ。为负(入负) 2、点电荷场中电通量示例 (使用库仑定律) (1)面元d的电通量d E对应的立体角为:dg ds cose ds (球面度),如图1-16(a所示, 故 E nds tEL 4 (2)任意曲面的电通量Φ 划分S成为许多面元d,则 E·ds -△9 4e 其中,△Ω为S对q点所张开的立体角,如图1-16b)所示。 q 图1-16(a) 4-21

1―4―21 并规定：取闭合曲面 S 的外法向矢为正，则电力线穿出 S 处，   90，E 为 正（出正）；进入 S 处，   90，E 为负（入负）。 2、点电荷场中电通量示例 r r q E ˆ 4 2  0 =  （使用库仑定律） (1) 面元 ds  的电通量 dE ds对应的立体角为  ： 2 2 cos r ds r ds d ⊥  = =  （球面度），如图 1-16(a)所示， 故 2 0 2 0 4 cos 4 ˆ r qds nds r qr d E ds E     =  =  =    = =  ⊥ d q r q ds 0 2 4 0 4 (2) 任意曲面 s 的电通量 E 划分 S 成为许多面元 ds ，则  =   =   =  4 0 4 0 q d q E ds E   其中，  为 S 对 q 点所张开的立体角，如图 1-16(b)所示。 ds dsn   = 图 1-16(a)

△2 图1-16b) (3)任意闭合曲面s的电通量Φg 虽然E为矢量,但E的通量Φ为标量,可代数和。以闭合面外法向为正参 考,则 q d=E=n442={ 4. 与r无关。具体解释如图1-17,其中 ①当在S内:处处020>0.f=4,故=% ②当q在S外:0且21=d:=-2, d2=0,故中=0 bdQ q 图1-17(a)

1―4―22 (3) 任意闭合曲面 s 的电通量 E 虽然 E  为矢量，但 E  的通量 E 为标量，可代数和。以闭合面外法向为正参 考，则       =   =   = 0 4 0 0   q d q E ds S S E   与 r 无关。具体解释如图 1-17，其中 ① 当 q 在 S 内：处处   0,   0,  = 4 s d d ，故 0  q E = 。 ② 当 q 在 S 外： 2 1    ， 2 2    且 2 2 2 2 2 1 1 1 = = − = −  ⊥ ⊥ d r ds r ds d ，  = 0 s d ，故 E = 0。 ds  图 1-16(b) n1  n2  2 r ˆ 1 r ˆ 图 1-17(a)

q 图1-17(b) 说明] (1)电场对任曲面的Φg在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如,图 118(a)中,q共发出皇条力线,通过立方体表面=.9条:图11b)中 半球面的Φg可用圆面的Φg代之。 R 图1-18 (2)如图1-19,q在S内,Φg的有效性相当于只一次穿过闭合面;q在S 外,电力线与S面相交偶数次,穿进、穿出相消。 4-23

1―4―23 [说明] (1) 电场对任曲面的 E 在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如，图 1-18 (a)中， q 共发出 0  q 条力线，通过立方体表面 8 0 1  q  =  条；图 1-18(b)中， 半球面的 E 可用圆面的 E 代之。 (a) (b) 图 1-18 (2) 如图 1-19， q 在 S 内， E 的有效性相当于只一次穿过闭合面； q 在 S 外，电力线与 S 面相交偶数次，穿进、穿出相消。 2 r ˆ s 1 1 r ˆ 图 1-17(b)

q (b) 图1-19 高斯定理 1、单个点电荷情况 上述在一个点电荷的电场中已证得 =5E· (q在s内) 0(q在s外) 且注意其中已运用了库仑定律(如E=9 2、多个点电荷情况 现结合场强叠加原理,给出多个点电荷存在时场中任意闭面S的电通量结果 高斯定理 设空间有一组点电荷q、q2、…q1、…、qn,则任一点的场为 场叠加原理 又令一任意形状的闭曲面S包围电荷q1、q2、…、q,而另外q+1 电荷在S之外。则 ④4=5E·d=5(E1+E2+…+E,) =5(E+E2+…+E),d+5(En+…+E)d 4-24

1―4―24 (a) (b) 图 1-19 三、高斯定理 1、单个点电荷情况 上述在一个点电荷的电场中已证得        =  = S E q s q s q E ds 0 ( ) ( ) 0 在 外 在 内    且注意其中已运用了库仑定律（如 r r q E ˆ 4 2  0 =  ）。 2、多个点电荷情况 现结合场强叠加原理，给出多个点电荷存在时场中任意闭面 S 的电通量结果 ——高斯定理。 设空间有一组点电荷 q1 、q2 、 qi 、 、qn ，则任一点的场为 = = n i E Ei 1   （场叠加原理） 又令一任意形状的闭曲面 S 包围电荷 q 、q 、 、qi .... 1 2 ，而另外 qi 、 、qn ... +1 电荷在 S 之外。则 E ds E E E ds S n S E        =  = + + +    ( ... ) 1 2 E E E ds E E ds n S i S i        = + + +  + + +    + ( ... ) ( ... ) 1 2 1 q q S S 1 2 3 1 2 3 4

(q,+ g:So 即分立电荷时,有 E·d=-∑q 3、电荷连续分布情况 若S内的电荷非分立分布,而是连续体分布,作变换∑q→∫P如,则有 E 其中S与V对应。 上述即高斯定理的数学表述,它表明:通过任一闭合曲面S的电通量Φ等 于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和∑9或[h)除以E,与闭合曲面外 的电荷无关。此处的闭合面S称为高斯面。 4、高斯定理的几点认识与说明 (1)高斯定理是静电场基本定理之一,反映了静电场是有源场 高斯定理所述是矢量场E之闭面通量,其结果可用闭面内电量代数和表述 静电场的电力线是有头有尾的,发于正、止于负电荷 (2)高斯定理给出了场E与场源q间的一种联系,这种联系非直接。 由高斯定理中=5E·=q知,q与E之间是积分关系,非直接的 而Φg与q内是直接的关系。若q内=0,则Φg=0,但不意味着S面上处处E=0。 q内仅指S内电荷电量的代数和(可正、可负),而E则指空间所有电荷激 发场之合贡献,S面上的E随点而异,E当然在S面上取值,且与面元ds间夹 角关系十分重要 封闭面S之外的电荷分布并不影响封闭面的Φg,但这不意味S外的电荷分 4-25

1―4―25 = + + =  ( ) 0 1 2 0 1 ( ... ) 1 s内 q q qi qi   即分立电荷时，有 3、电荷连续分布情况 若 S 内的电荷非分立分布，而是连续体分布，作变换  →  v qi  dv ，则有  =   S V E ds  dV  0   1 其中 S 与 V 对应。 上述即高斯定理的数学表述，它表明：通过任一闭合曲面 S 的电通量 E 等 于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和 ( )   q dv i 或  除以 0  ，与闭合曲面外 的电荷无关。此处的闭合面 S 称为高斯面。 4、高斯定理的几点认识与说明 (1) 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是有源场。 高斯定理所述是矢量场 E  之闭面通量，其结果可用闭面内电量代数和表述。 静电场的电力线是有头有尾的，发于正、止于负电荷。 (2) 高斯定理给出了场 E  与场源 q 间的一种联系，这种联系非直接。 由高斯定理 内 E ds q s E 0 1   =   =   知， q内 与 E  之间是积分关系，非直接的； 而 E 与 q内 是直接的关系。若 q内 =0，则 E =0，但不意味着 S 面上处处 E  =0。 q内 仅指 S 内电荷电量的代数和（可正、可负），而 E  则指空间所有电荷激 发场之合贡献，S 面上的 E  随点而异， E  当然在 S 面上取值，且与面元 ds  间夹 角关系十分重要。 封闭面 S 之外的电荷分布并不影响封闭面的 E ，但这不意味 S 外的电荷分   =  S内 i S E ds q 0 1   

布不影响S面上各点的场E的大小、方向;同样,q内一定的电荷在S内的分布 情况也不影响Φ。,但不是说S内电荷分布变化时不影响S上各点E的大小、方 向,例: S q (a)s相同,q在S外移位(分布变,(b)s相同,q在S内移位(分布变, 虽Φ不变,但S上各点E变。 虽Φ不变,但S上E变 图1-20 (3)高斯定理积分形式是对一个区域而言(S,V),仅反映该区域整体面貌 是粗糙地提供信息。一般地,不能用此求得每个场点的场强,仅当电荷分布乃至 场分布具有某种对称性时,才能仅用此求得场。但求不出时切不可误作该定理不 成立(因为完全确定矢量场需要通量、环流两方面性质)。 (4)高斯定理是从库仑定律导出的,主要反映平方比律,即∫∝—。若库仑 定律不服从平方反比律,则得不出高斯定理。因而,证明此定理正确与否,即是 证明库仑定律正确性的一种间接方法,此法精度比库仑扭称法高得多。 (5)认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律 的看法是欠妥的,这因为此定理并未反映静电场是有心力场这一特性。在静电范 围,库仑定律比高斯定理包含更多信息 四、高斯定理的应用 1、应用高斯定理说明电力线的性质 (1)说明电力线的起点和终点。 (2)说明电力线的疏密与E的大小关系。电力线管两截面As,As,处通量相 等:E△s1=E2A 4-26

1―4―26 布不影响 S 面上各点的场 E  的大小、方向；同样， q内 一定的电荷在 S 内的分布 情况也不影响 E ，但不是说 S 内电荷分布变化时不影响 S 上各点 E  的大小、方 向，例： (a) s 相同，q 在 s 外移位（分布变）， (b) s 相同，q 在 s 内移位（分布变）， 虽  不变，但 s 上各点 E  变。 虽  不变，但 s 上 E  变。 图 1-20 (3) 高斯定理积分形式是对一个区域而言（S，V），仅反映该区域整体面貌， 是粗糙地提供信息。一般地，不能用此求得每个场点的场强，仅当电荷分布乃至 场分布具有某种对称性时，才能仅用此求得场。但求不出时切不可误作该定理不 成立（因为完全确定矢量场需要通量、环流两方面性质）。 (4) 高斯定理是从库仑定律导出的，主要反映平方比律，即 2 1 r f  。若库仑 定律不服从平方反比律，则得不出高斯定理。因而，证明此定理正确与否，即是 证明库仑定律正确性的一种间接方法，此法精度比库仑扭称法高得多。 (5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律 的看法是欠妥的，这因为此定理并未反映静电场是有心力场这一特性。在静电范 围，库仑定律比高斯定理包含更多信息。 四、高斯定理的应用 1、应用高斯定理说明电力线的性质。 (1) 说明电力线的起点和终点。 (2) 说明电力线的疏密与 E  的大小关系。电力线管两截面 1 2 s ,s 处通量相 等： 1 1 2 2 E s = E s 。 S q q S q q S S

2、解题示例 (1)电荷分布乃至场E分布具有一定对称性时,可用此定理解答。 (2)解题步骤 ①分析场的对称性,明确E的方向 ②设计(取)通过场点的高斯面(简单几何面),使E与S的各部分平 行,或垂直,或夹恒角; ③计算中=5E6 ④计算q内; ⑤应用定理求E的大小,结合方向得出E。 (3)典型问题:已知电荷分布p=p(x,y,z),求E=E(x,y,z)。 例1:求均匀带电q,半径为R的球壳内、外之场。 R Gs面 图1-21(a) 电荷球面均匀分布:a=9 4n2nx,如图121(a)分析对称性,则 (场点P在壳外) ΦD=5E=E,4m2 0,(场点P在壳内) 所以 r,(r>R E=14nEor 0 (r<R) 4-27

1―4―27 2、解题示例 (1) 电荷分布乃至场 E  分布具有一定对称性时，可用此定理解答。 (2) 解题步骤 ① 分析场的对称性，明确 E  的方向； ② 设计（取）通过场点的高斯面（简单几何面），使 E  与 S 的各部分平 行，或垂直，或夹恒角； ③ 计算   = E  ds E   ； ④ 计算 q内 ； ⑤ 应用定理求 E  的大小，结合方向得出 E  。 (3) 典型问题：已知电荷分布 (x, y,z), E E(x, y,z)    =  求 = 。 例 1：求均匀带电 q ，半径为 R 的球壳内、外之场。 电荷球面均匀分布： 2 4 R q   = ，如图 1-21(a)分析对称性，则       =   =  = 0 ,( ) ,( ) 4 2 0 场点 在壳内 场点 在壳外 P P q E ds E r S E     所以        = 0 ( ) ˆ, ( ) 4 2 0 r R r r R r q E   0 dS dE r  Gs 面 图 1-21(a)

场强大小分布如图1-21(b所示。P点在壳外时相当于在球心O点置q点电荷之 场 平方反比 0 R跳变 图1-21(b) 例2:均匀带正电q,半径为R的球体内、外之场。 电荷均匀体分布,p=,q=3 34mP)。同于例1分析场的球对称性,取高斯 面为球面,则 P点在球内:=E4m2=1.4xrp、E=PP (rR) E~r曲线如图1-2 478 图1-22 4-28

1―4―28 场强大小分布如图 1-21 (b)所示。P 点在壳外时相当于在球心 O 点置 q 点电荷之 场。 例 2：均匀带正电 q ，半径为 R 的球体内、外之场。 电荷均匀体分布， 3 3 4 3 3 4 R q R q    = = 。同于例 1 分析场的球对称性，取高斯 面为球面，则         =  = =   =  =  = =  点在球外： ， 。 点在球内： ， ； ( ) ˆ 4 , 1 4 ( ) 4 ˆ 3 , 3 1 4 4 2 0 0 2 3 0 0 3 0 2 r R r q r P E r q E r R R q r P E r r E r E E              E ~ r 曲线如图 1-22。 图 1-22 图 1-21(b) 平方反比 0 R r