第五章稳恒磁场 引言: 电流通过导体有热效应,通过电解液有化学效应。本章讨论电流的磁效应 电流在其周围空间激发磁场,磁场对电流有磁力作用。 本章重点介绍真空中静磁学知识,建立稳恒磁场之基本方程式。研究方法仍 为场论方法,注意与静电场比较和区别。 §1磁的基本现象和规律 磁作用 电与磁常相伴随、相互转化,相互作用综述为图5-1所示几种情况。 磁铁 磁铁 S N S 电流 电流 图5-1 图5-2 1、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明: (1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引,参见图5-2; 将一磁棒分为两段,N、S极并不能相互分离,不存在磁单极; (3)地球本身是一大磁体,其磁性N极在地理南极,磁性S极在地理北极。 自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北,即是上规律的体现一一指南针及 应用 2、电流对磁铁的作用 图 5-1-1
5－1－1 第五章 稳恒磁场 引言： 电流通过导体有热效应，通过电解液有化学效应。本章讨论电流的磁效应： 电流在其周围空间激发磁场，磁场对电流有磁力作用。 本章重点介绍真空中静磁学知识，建立稳恒磁场之基本方程式。研究方法仍 为场论方法，注意与静电场比较和区别。 §1 磁的基本现象和规律 一、磁作用 电与磁常相伴随、相互转化，相互作用综述为图 5-1 所示几种情况。 图 5-1 图 5-2 1、磁铁间的相互作用 结合实物演示说明： (1)同种磁极相互排斥、异种磁极相互吸引，参见图 5-2； (2)将一磁棒分为两段，N、S 极并不能相互分离，不存在磁单极； (3)地球本身是一大磁体，其磁性 N 极在地理南极，磁性 S 极在地理北极。 自由悬挂的条形磁棒或长磁针始终指南北，即是上规律的体现——指南针及 应用。 2、电流对磁铁的作用 图 5-3 N S N S N S N S N S 电流 磁铁 磁铁 电流 ③ ② ② ③ ① ④ I S N S I N S N S I N S N S S
通电导线周围产生磁场,通电螺线管相当于条形磁铁,参见图5-3。 3、磁铁对电流的作用 电流是运动电荷形成,表明磁极对运动电荷也有磁力作用,参见图5-4 图5-4右手定则判受力 4、电流对电流的作用 参见图5-5说明。 同向电流:吸引 反向电流:排斥 图5-5 以上均称为磁相互作用,是基本的磁现象 、磁场 、物质磁性的基本来源 螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性,启发人们:磁铁与电流是否在本源上 致 (19世纪,法国)安培分子电流假说:组成磁铁的最小单元—一—磁分子就 是环形电流。若这些分子电流定向排列,宏观上即显示N、S极。 ●磁分子的“分子电流”等效成图5-6 ●分子环流形成的微观解释:原子、分子内电子的绕核旋转和自转。 综上可见:一切磁效应均来源于电流;一切磁作用都是电流与电流之间的相 互作用,或说成运动电荷之间的相互作用
5－1－2 通电导线周围产生磁场，通电螺线管相当于条形磁铁，参见图 5-3。 3、磁铁对电流的作用 电流是运动电荷形成，表明磁极对运动电荷也有磁力作用，参见图 5-4。 图 5-4 右手定则判受力 4、电流对电流的作用 参见图 5-5 说明。 同向电流：吸引 反向电流：排斥 图 5-5 以上均称为磁相互作用，是基本的磁现象。 二、磁场 1、物质磁性的基本来源 螺线管通电后的磁性与磁棒的相似性，启发人们：磁铁与电流是否在本源上 一致？ （19 世纪，法国）安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元——磁分子就 是环形电流。若这些分子电流定向排列，宏观上即显示 N、S 极。 ●磁分子的“分子电流”等效成图 5-6 ●分子环流形成的微观解释：原子、分子内电子的绕核旋转和自转。 综上可见：一切磁效应均来源于电流；一切磁作用都是电流与电流之间的相 互作用，或说成运动电荷之间的相互作用。 I N S F N S F
内部消 磁矩m=磁棒断面 相当于螺线管 图5-6 2、磁场 在静电学中,电的作用是近距作用,同样磁作用也是近距的:即磁作用是通 过磁场传递。 电流(或N、S极)在空间激发磁场,而磁场对置于其中另外的电流(或磁 极)施力作用,这一观点与电场近距观点一致。即: 电流—磁场——电流 无论电荷静止与否均存在库仑作用,但只有运动电荷之间才存在磁作用! 三、安培定律 既然一切磁作用均归于电流之间的相互作用,本节当研究电流之间的相互作 用规律一—Am Law 1、电流元的概念 电学中:研究带电体间相互作用时, 先引入点电荷理想模型,研究点电荷间的作用满足库仑定律; 再椐叠加原理,把任带电体视作点电荷之集合把整个问题求出。 磁学中:研究电流之间相互作用时, 仿上—一把载流回路看作大量无穷小载流线元之集合。这些载流 线元称为电流元(与点电荷位置相当),用ll表示,只要知道任 ˉ对电流元之间相互作用规律,即可据叠加原理计算整体回路间 的相互作用 需要指出—一稳恒电流只能存在于闭合回路中,孤立电流元是不存在的,如 5-1-3
5－1－3 图 5-6 2、磁场 在静电学中，电的作用是近距作用，同样磁作用也是近距的：即磁作用是通 过磁场传递。 电流（或 N、S 极）在空间激发磁场，而磁场对置于其中另外的电流（或磁 极）施力作用，这一观点与电场近距观点一致。即： 电流 ———— ————电流 无论电荷静止与否均存在库仑作用，但只有运动电荷之间才存在磁作用！ 三、安培定律 既然一切磁作用均归于电流之间的相互作用，本节当研究电流之间的相互作 用规律—— Ampere’s Law 。 1、电流元的概念 电学中：研究带电体间相互作用时， 先引入点电荷理想模型，研究点电荷间的作用满足库仑定律； 再椐叠加原理，把任带电体视作点电荷之集合把整个问题求出。 磁学中：研究电流之间相互作用时， 仿上——把载流回路看作大量无穷小载流线元之集合。这些载流 线元称为电流元（与点电荷位置相当），用 Idl 表示，只要知道任 一对电流元之间相互作用规律，即可据叠加原理计算整体回路间 的相互作用。 需要指出——稳恒电流只能存在于闭合回路中，孤立电流元是不存在的，如 磁场 m i s 磁矩 m is = 内部消 磁棒断面 相当于螺线管
5-7(a),无法由实验直接验证,只能由此假设导出的结论间接验证。 12d2 回路 L1、L两载流回路 (a) (b) 图5-7 2、安培定律 通过对各种载流回路间相互作用分析、概括。安培认为:载流回路上任一电 流元对另一载流回路上任一电流元之作用力,如图5-7(b),即电流元1:14l1→ 电流元2:22作用力为 12dl2×(l1dl1×2) ni: 式中k为比例系数,与单位的选取有关 在SI制中,电流强度为安培,比例系数k取为 式中山为真空磁导率,实验测得为 故安培力公式成为 d.=Ho 12d2 x(I,dl, xi) 4丌 [讨论]
5－1－4 5-7(a)，无法由实验直接验证，只能由此假设导出的结论间接验证。 (a) (b) 图 5-7 2、安培定律 通过对各种载流回路间相互作用分析、概括。安培认为：载流回路上任一电 流元对另一载流回路上任一电流元之作用力，如图 5-7(b)，即电流元 1：I 1dl 1 → 电流元 2： 2 2 I dl 作用力为 2 12 2 2 1 1 12 12 ( ) r I dl I dl r dF k = 式中 k 为比例系数，与单位的选取有关。 在 SI 制中，电流强度为安培，比例系数 k 取为 4 0 k = ( 2 A N ) 式中 0 为真空磁导率，实验测得为 7 0 4 10− = （ 2 A N ） 故安培力公式成为 2 12 0 2 2 1 1 12 12 ( ) 4 r I dl I dl r dF = [讨论] I 回路 Idl L2 I1 L1 I2 1 1 I dl 2 2 I dl 12 r L1、L2 两载流回路
(1)F2的大小一F2:与(1d·l22)成正比 与r2成反比(平方反比律 与两电流元的取向有关 (2)dF12的方向。如图5-8,设l41与2组成的平面为S1平面,它们之间的 夹角为1;2dl2与1dl1×F2组成的平面为S2平面,对应夹角为O2。则 S2平面垂直于S1平面(l2d2在S2平面内) (l141xn12)垂直于S平面(即在S面之法向)。 可见:aF12在S1平面内,且与122、(l4×2)均垂直,即F12既垂直于l2dl2 (受力者)、又垂直于(1d1×2)(施力者)所决定的平面。 Ii d/ Aidl F r,dl 图5-8 有了方向分析,便可写出其大小表式 dF, ol1l1·l2l2sine1smb2 在其中,当仅仅改变O1、θ2时,只改变了dF2的大小,而不影响dF2的方向 分析如下: 若l4在S面内仅方向发生变化,即改变O时,但不改变L41×2之方向, 即F1的方向不变。当O=0时,即1a1/2时,F2=0;当1=时,即垂直 时,dF12达最大
5－1－5 (1) F12 d 的大小— dF12 ： 与（ 1 2 2 I dl I dl ）成正比； 与 2 12 r 成反比（平方反比律）； 与两电流元的取向有关。 (2) F12 d 的方向。如图 5-8，设 1 1 I dl 与 12 r 组成的平面为 1 S 平面，它们之间的 夹角为 1 ； 2 2 I dl 与 1 1 12 I dl r 组成的平面为 2 S 平面，对应夹角为 2 。则： 2 S 平面垂直于 1 S 平面（ 2 2 I dl 在 2 S 平面内）； ( 1 1 12 I dl r )垂直于 1 S 平面（即在 1 S 面之法向）。 可见： F12 d 在 1 S 平面内，且与 2 2 I dl 、（ 1 1 12 I dl r ）均垂直，即 F12 d 既垂直于 2 2 I dl （受力者）、又垂直于（ 1 1 12 I dl r ）（施力者）所决定的平面。 图 5-8 有了方向分析，便可写出其大小表式 2 12 0 1 1 2 2 1 2 12 sin sin 4 r I dl I dl dF = 在其中，当仅仅改变 1.、 2 时，只改变了 F12 d 的大小，而不影响 F12 d 的方向。 分析如下： 若 1 1 I dl 在 1 S 面内仅方向发生变化，即改变 1 时，但不改变 1 1 12 I dl r 之方向， 即 F12 d 的方向不变。当 1 =0 时，即 1 1 I dl // 12 r 时， F12 d =0；当 2 1 = 时，即垂直 时， F12 d 达最大。 1 θ1 S1 S2 2 θ2 I1 1 dl 2 2 I dl I1 1 12 dl r d F12 12 r
若l2al2在S2面内仅改变方向时,即e2变化时,则F2方向不变。当2=0 时,即l22在(141×F2)方向时,F12=0,—此方向有特殊意义(见后); 当O2=时,即12l2⊥(1l1x元2),则lF2最大, 此最大值很有用(见 后)。(注:它们分别定义了B的方向、大小) (3)同理,l2d2→l4l1的作用力仍有类似形式 d,=地1d1x(l2l (4)电流元之间的作用力一般不满足牛顿第三定律。 举一反例进行说明如下: 如图5-9放置的两电流元,则 dF2=地l2dl2×(14xh12=0,(B=0,故括号内因子为零) /2 :|=4d45m90y45m9)≠0 r21 但可以证明(见作业):两闭合回路L、L2间的合作用力满足牛顿第三定律。 L, dl 电流元 图5-9 图5-10 (5)若电流不是线分布,则需考虑细节。因稳恒电流线闭合,可取电流管元 作为电流元,然后积分之。此时替代关系为:lal>jihv,参见图5-10予以理 解。 3、安培力的叠加原理 (1)回路L对电流元2dl2的合作用 如图5-11,只考虑l2l2受L作用时,可对L上各电流元对12d2的作用进行 5-1-6
5－1－6 若 2 2 I dl 在 2 S 面内仅改变方向时，即 2 变化时，则 F12 d 方向不变。当 2 = 0 时，即 2 2 I dl 在（ 1 1 12 I dl r ）方向时， F12 d =0，-----此方向有特殊意义（见后）； 当 2 2 = 时，即 2 2 I dl ⊥（ 1 1 12 I dl r ），则 F12 d 最大，------此最大值很有用（见 后）。（注：它们分别定义了 B 的方向、大小） (3) 同理， 2 2 1 1 I dl I dl → 的作用力仍有类似形式： 2 21 0 1 1 2 2 21 21 ( ) 4 r I dl I dl r dF = (4) 电流元之间的作用力一般不满足牛顿第三定律。 举一反例进行说明如下： 如图 5-9 放置的两电流元，则 0 ( ) 4 2 12 0 2 2 1 1 12 12 = = r I dl I dl r dF ，（∵ 1 =0，故括号内因子为零） 0 sin 90 ( sin 90 ) 4 2 21 0 2 2 0 0 1 1 12 = r I dl I dl dF 但可以证明（见作业）：两闭合回路 L1、 L2 间的合作用力满足牛顿第三定律。 图 5-9 图 5-10 (5)若电流不是线分布，则需考虑细节。因稳恒电流线闭合，可取电流管元 作为电流元，然后积分之。此时替代关系为： Idl jdv ，参见图 5-10 予以理 解。 3、安培力的叠加原理 (1) 回路 L1 对电流元 2 2 I dl 的合作用 如图 5-11，只考虑 2 2 I dl 受 L1 作用时，可对 L1 上各电流元对 2 2 I dl 的作用进行 dS j dι 电流元 F21 d 1 1 I dl 2 2 I dl 12 21 r r = −
矢量叠加 dF2=dF1→1424兀 Ldl. x 式中积分只与空间取定点的场点P有关,由L1而定,而与2d2的情况无关。 P 2d 图5-11 (2)回路L对回路L2的合作用 上述dF2是122所受L之合作用,L2上有许多电流元,L2所受L的合作用 则为 可证:两闭合回路间的相互作用满足牛顿第二定律(见练习) 四、磁感应强度矢量B 1、B的定义 仿照电学中定义电场:E=F,变形成F=9E 磁学中稍复杂:电流在其周围空间激发磁场,仍从置于场中的试探电流元 J0d受安培力角度定义描述磁场的物理量B-磁感应强度(历史用名)。 电流元l0d受回路L的作用力为(见上述)
5－1－7 矢量叠加 1 2 2 2 L I dl dF dF → = = ( ) 4 1 2 12 1 1 12 2 2 0 L r I dl r I dl 式中积分只与空间取定点的场点 P 有关，由 L1 而定，而与 2 2 I dl 的情况无关。 图 5-11 (2)回路 L1 对回路 L2 的合作用 上述 F2 d 是 2 2 I dl 所受 L1 之合作用， L2 上有许多电流元， L2 所受 L1 的合作用 则为 = → = 2 1 2 12 2 L F FL L dF = 1 2 2 12 0 2 2 1 1 12 ( ) 4 L L r I dl I dl r 可证：两闭合回路间的相互作用满足牛顿第二定律（见练习）。 四、磁感应强度矢量 B 1、 B 的定义 仿照电学中定义电场： 0 q F E = ，变形成 F q E = 0 。 磁学中稍复杂：电流在其周围空间激发磁场，仍从置于场中的试探电流元 0 0 I dl 受安培力角度定义描述磁场的物理量 B ----磁感应强度（历史用名）。 电流元 0 0 I dl 受回路 L 的作用力为（见上述）： L1 I1 1 dl1 I r 12变 P 2 2 I dl
dF=lodn×(ofl×F、 式中F为L上电流元M指向1的位置矢,如图5-12(a)。对于确定的载流回 路L,式中积分值与lod0的大小、方向无关,但与其所在位置P有关(因为涉 及产)。若用B表示此积分结果,即 B=o f ldlr 则B反映了l所在处P点磁场的强弱,它完全由回路L所确定,是计算电流 回路(L)激发磁场的计篡公式。以后会发现此B表式特别有用,另有研究,称 毕奥一萨伐尔定律。需要说明:这样的分解与F=qE形式上一致 Podl o 场点 L场源 (b) 图5-12 引入B的表示之后,则回路对l0dl的作用力可写为 dF=lodl×B 此公式称为安培公式,是B的定义式。值得指出:上式中B可不只局限于回路L 激发的,应理解成除l0dl0之外的空间存在的总磁场,dF则为此场中对ldl0之作 用,故dF的大小、方向可列于下 dF=lolo bsin 8 式中为d与B的夹角,如图5-12(b),最大值为
5－1－8 ) 4 ( 2 0 0 0 = L r Idl r dF I dl 式中 r 为 L 上电流元 Idl 指向 0 0 I dl 的位置矢，如图 5-12(a)。对于确定的载流回 路 L ，式中积分值与 0 0 I dl 的大小、方向无关，但与其所在位置 P 有关（因为涉 及 r ）。若用 B 表示此积分结果，即 = L r Idl r B 2 0 4 则 B 反映了 0 0 I dl 所在处 P 点磁场的强弱，它完全由回路 L 所确定，是计算电流 回路（ L ）激发磁场的计算公式。以后会发现此 B 表式特别有用，另有研究，称 毕奥—萨伐尔定律。需要说明：这样的分解与 F q E = 0 形式上一致。 (a) (b) 图 5-12 引入 B 的表示之后，则回路对 0 0 I dl 的作用力可写为 dF I dl B = 0 0 此公式称为安培公式，是 B 的定义式。值得指出：上式中 B 可不只局限于回路 L 激发的,应理解成除 0 0 I dl 之外的空间存在的总磁场， dF 则为此场中对 0 0 I dl 之作 用，故 dF 的大小、方向可列于下 dF = I 0dl0Bsin ， 式中 为 dl B 0与 的夹角,如图 5-12(b)，最大值为 dF θ 0 dl0 I B I Idl L 场源 r P 0 0 I dl 场点
dFma=lo Bdo=dFi B B 图5-12 定义空间某点磁场B:分别地就大小、方向进行定义 大小一B=几 1t对应于:图5-12(c) 方向-1dl不受力的方向(即=0,x)。对应于:图5-12(d) 最后,再根据F=l00×B即可唯一地确定B。 这样定义的B的方向,与中学内容有关磁针北极受力方向即磁场方向相一 2、B的单位 在S制中,8/知B的单位为:1N (特斯拉)。 文献中常沿用实用制单位GS(高斯):1T=10·GS 3、磁感应线-B线 引入B线形象化地描述磁场矢量场,象电力线描述电场一样。B线的切向代 表该点磁场方向,疏密表示磁场的强弱,磁感应线在实验上可显示。 综上,比较静电与静磁 静电: F=199 4 qE Eo I tEO
5－1－9 = Bdl = dF⊥ dF I max 0 0 (c) (d) 图 5-12 定义空间某点磁场 B ：分别地就大小、方向进行定义 大小---- B = 0 0 0 0 max I dl dF I dl dF ⊥ = ，对应于：图 5-12(c)。 方向--- 0 0 I dl 不受力的方向（即 = 0, ）。对应于：图 5-12(d)。 最后，再根据 dF I dl B = 0 0 即可唯一地确定 B 。 这样定义的 B 的方向，与中学内容有关磁针北极受力方向即磁场方向相一 致。 2、 B 的单位 在 SI 制中，据 0dl0 I dF B ⊥ = 知 B 的单位为：1 T A m N 1 （特斯拉）。 文献中常沿用实用制单位 GS（高斯）: T GS 4 1 = 10 。 3、磁感应线---- B 线 引入 B 线形象化地描述磁场矢量场，象电力线描述电场一样。 B 线的切向代 表该点磁场方向，疏密表示磁场的强弱，磁感应线在实验上可显示。 综上，比较静电与静磁 静电： r r q q F 2 1 2 4 0 1 = ， F q E = 0 ， r r dq E = 2 4 0 1 ； B 0 0 I dl 0 0 I dl 0 0 I dl B B
静磁:,=1面x(1山1×F2),正=10mxB,B=地团xF 两个常数:50=88109N m2A=4z×10y
5－1－10 静磁： 2 12 0 2 2 1 1 12 12 ( ) 4 r I dl I dl r dF = ，dF I dl B = 0 0 ， = L r Idl r B 2 0 4 。 两个常数： 2 12 0 8.85 10 N m C = − ， 2 7 0 4 10 A = − N