§2动生电动势和感生电动势 引言: 1、对E=-4=-2「B深入研究的必要性。 (1)φ是对回路而言。若回路非导体制成,甚至想象的几何曲线回路,此时φ仍有 意义,也有意义,但无电流I,试问 dt ①感生电动势存在否? ②电动势起源于非静电作用,此非静电起源的作用存在否? ③电压的概念有意义否? (2)若对电磁感应定律的认识仅停留于=-4的形式,诸如图69中的现象则令 人难以理解 N 均匀B 金属盘转动 圆柱形导电 G中有电流,但盘中未变 永磁体恒ω转动,G中有电流 图6-9 如何深入讨论s=-a9? 综合φ变化各情况,归纳如下 (1)B不变一导线回路或其上一部分导体在B中运动切割磁力线,引起E一动生。 2)B变化一导线回路固定不动,引起φ变化,产生E一感生电动势。 (至于B变化原因可以磁极、载流线圈运动,也可时间变化等)
6－2－1 §2 动生电动势和感生电动势 引言： 1、对 = − = − s B dS dt d dt d 深入研究的必要性。 (1) 是对回路而言。若回路非导体制成，甚至想象的几何曲线回路，此时 仍有 意义， dt d 也有意义，但无电流 I，试问： ① 感生电动势存在否？ ② 电动势起源于非静电作用，此非静电起源的作用存在否？ ③ 电压的概念有意义否？ (2) 若对电磁感应定律的认识仅停留于 dt d = − 的形式，诸如图 6-9 中的现象则令 人难以理解: 金属盘转动 圆柱形导电 G 中有电流，但盘中 未变 永磁体恒 转动，G 中有电流 图 6-9 2、如何深入讨论 dt d = − ？ 综合 变化各情况，归纳如下： (1) B不变—导线回路或其上一部分导体在B中运动切割磁力线，引起 —动生。 (2) B变化—导线回路固定不动，引起 变化，产生 —感生电动势。 （至于B变化原因可以磁极、载流线圈运动，也可时间变化等） 均匀 B G G N S 0
、动生电动势 1、动生电动势由洛仑兹力引起 (1)特例分析 如图6-10(a),其中感生电动势可用g=求出为:g=B。 dt 运动ab段:如图6-10(b)电子受电力及洛仑兹力分别为F=-EE、F=-e×B, 平衡后,a、b间建立一定电势差,U。>U,相当于电源Eb=-Ub=Ua=Un-Ub B R (a) (b) (c) 图6-10 外路αcb段:导体框αcb外路导通,形成电流,平衡破坏,电子在F2=-c下×B作用 下继续a→b,等效成闭合电路,如图6-10(c)。 分析可见:F扮演非静电力作用,运动ab段相当于电源内部,不动的外路acb仅 提供形成电流Ⅰ的闭路通道 定义非静电场强:R==二xB=×B(单位正电荷所受洛仑兹力),则 Eb=nK.d=(XB).d=vBd/=vB 与用E=-求得结果相一致。 (2)一般情况下动生电动势的计算公式 运动导线非直线 当运动导线各部分速度不一,此时如何求E一一微分法。 磁场在空间上分布非均匀
6－2－2 一、动生电动势 1、动生电动势由洛仑兹力引起。 (1)特例分析 如图 6-10(a)，其中感生电动势可用 dt d = − 求出为： = Blv 。 运动 ab 段：如图 6-10(b)电子受电力及洛仑兹力分别为 Fe eE = − 、FL ev B = − ， 平衡后，a、b 间建立一定电势差， Ua Ub ，相当于电源 ba = −Uba = Uab = Ua −Ub 。 外路 acb 段：导体框 acb 外路导通，形成电流，平衡破坏，电子在 FL ev B = − 作用 下继续 a →b ，等效成闭合电路, 如图 6-10 (c)。 分析可见： FL 扮演非静电力作用，运动 ab 段相当于电源内部，不动的外路 acb 仅 提供形成电流 I 的闭路通道。 定义非静电场强： v B e ev B e f K = − − = − = (单位正电荷所受洛仑兹力)，则 K dl v B dl vBdl vBl a b a b a b ba = = = = ( ) ba = −Uba = Uab = Ua −Ub 与用 dt d = − 求得结果相一致。 (2) 一般情况下动生电动势的计算公式 当 磁场在空间上分布非均匀 运动导线各部分速度不一 运动导线非直线 ，此时如何求 ——微分法。 (a) (b) (c) 图 6-10 B a b c I l B eE − a b + _ f e B × I I ab r Rabc
例如:如图6-11,在无限长载流直导线激发的磁场中,半圆形导线定轴转动,出现 B非均匀、运动部分非直线,且各元段上不等速。此时处理方法为:在运动导线上取元 段M,则△;=(XB1)△,然后标量叠加,得总电动势为 E=∑△E1=∑(xB) 对于连续情况,写成一般表达式为 (v×B)·dl E的大小可由此积分公式计算,E的方向可结合K=下×B判知 图6-11 [讨论] ①电动势E动仅存在于运动导线段上,此段相当于电源; ②若一段导线在B中运动而无回路,则有电动势E动,而无I; ③电动势E动对应的非静电力为洛仑兹力(vxB); ④导体怎样运动才产生电动势E动:形象地说成—一导线切割磁感应线产生E 可举几图示让学生分析。 2、动生电动势与能量守恒 回路中电动势E动推动电荷可做功,而上述E动由∫洛引起,这与J洛不做功相 矛盾吗?回答:否。分析如下:
6－2－3 例如：如图 6-11，在无限长载流直导线激发的磁场中，半圆形导线定轴转动，出现 B 非均匀、运动部分非直线，且各元段上不等速。此时处理方法为：在运动导线上取元 段 i l ，则 i i i i v B l = ( ) ，然后标量叠加，得总电动势为 = = i i i i i i v B l ( ) 对于连续情况，写成一般表达式为： = l v B dl ( ) 的大小可由此积分公式计算， 的方向可结合 K v B = 判知。 [讨论] ① 电动势 动 仅存在于运动导线段上，此段相当于电源； ② 若一段导线在 B 中运动而无回路，则有电动势 动 ，而无 I； ③ 电动势 动 对应的非静电力为洛仑兹力（ v B ）； ④ 导体怎样运动才产生电动势 动 ：形象地说成——导线切割磁感应线产生 动 。 可举几图示让学生分析。 2、动生电动势与能量守恒 回路中电动势 动 推动电荷可做功，而上述 动 由 f洛 引起，这与 f洛 不做功相 矛盾吗？回答：否。分析如下： 图 6-11 I r R
B 图6-12 如图6-12所示,载流导线在外磁场B中以匀速运动,则电子参与两种运动: ①随体以诉运动:②定向漂移 形成Ⅰ,故合成速度为:+节,且⊥p。 电子参与两种运动,在B中就有两洛仑兹力:F=f+f”,其中f=-exB与节对 应,∫=-elxB与i对应,且∫·v=0、f'·n=0,又 (+)=(+f)·(a+v)=f·(+v)+f(l+) fv+fu=(eu x B)v+(ev x B).u euBr-(ev Bu)=0 合洛仑兹力不做功 这一结论与以前相一致。又从上述过程可见:·v+f·=0,即fv=fu,表明合洛 仑兹力的两分力之功率相等。 当导线以匀速运动时,F外=-∫,即外力克服对棒做功,外力功率 F外力·节=-f·下=fv=fl,表明:外力克服总洛仑兹力的一分力f做功,通过另一分 力∫引起电荷定向移动产生E,并转换为感应电流的能量,两者大小相等(能量守恒) 物理图象如下: 外力功→洛仑兹力(桥梁)→>电能
6－2－4 如图 6-12 所示，载流导线在外磁场 B 中以匀速 v 运动，则电子参与两种运动： ① 随体以v运动 ；② 定向漂移u − − −形成I ，故合成速度为： u v + ，且 u v ⊥ 。 电子参与两种运动，在 B 中就有两洛仑兹力： F = f + f ，其中 f ev B = − 与 v 对 应， f eu B = − 与 u 对应，且 f v = 0 、 f u = 0 ，又 ∵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F u v f f u v f u v f u v + = + + = + + + f v f u eu B v ev B u = + = (− ) + (− ) ' = −euBv − (−evBu) = 0 ∴ 合洛仑兹力不做功。 这一结论与以前相一致。又从上述过程可见： 0 ' f v + f u = ，即 f v = f u ' ，表明合洛 仑兹力的两分力之功率相等。 当导线以匀速 v 运动时， ' F f 外 = − ，即外力克服 ' f 对 棒 做 功，外力功率 F v = − f v = f v = f u ' ' 外力 ，表明：外力克服总洛仑兹力的一分力 ' f 做功，通过另一分 力 f 引起电荷定向移动 u 产生 ，并转换为感应电流的能量，两者大小相等（能量守恒） 物理图象如下： 外力功 → 洛仑兹力（桥梁） → 电能。 I 图 6-12 f F u f B B u +
3、应用一交流发电机 A D Cu环 正视θ=(中面 每匝 图6-13 匀强磁场中,单匝线圈绕定轴转动发电,如图6-13所示。任一时刻,AB段、CD 段切割磁力线产生电动势为 E4B =EcD=vxB dl= vBdI sin(+0) vBABcos6=vblcos e 8=EB+Ecp= 2v Bl cos0 若导线框以匀角速度O旋转,则v=·,由上式得 8=oBblocos6= Rsocose 其中S=b为线圈面积。令日=0时作为计时开始,则任时刻转过角度为6=t, 故E可表成 E coso t 其中电动势幅值En=BSO,O为圆频率。 [注]实际发电机:电枢多匝,多极,转动磁极;以上也可用E=-方法求出。 、感生电动势涡旋电场 1、感生电动势和涡旋电场 (1)感生电动势 当磁场B()随时间变化,而回路不变时产生的感 S 生电动势,如图6-14。由 Faraday’sLaw给出为: dd--dfB.dS=-I 图6-14
6－2－5 3、应用---交流发电机 匀强磁场中，单匝线圈绕定轴转动发电，如图 6-13 所示。任一时刻， AB 段、 CD 段切割磁力线产生电动势为 = = = + B A B A AB CD v B dl vBdl ) 2 sin( = vBABcos = vBl cos ∴ = AB + CD = 2vBl cos 若导线框以匀角速度 旋转，则 2 b v = ，由上式得 =Bblcos = BScos 其中 S = bl 为线圈面积。令 = 0 时作为计时开始，则任时刻转过角度为 = t ， 故 可表成 E t = m cos 其中电动势幅值 Em = BS ， 为圆频率。 [注]实际发电机：电枢多匝，多极，转动磁极；以上也可用 dt d = − 方法求出。 二、感生电动势 涡旋电场 1、感生电动势和涡旋电场 (1) 感生电动势 当磁场 B(t) 随时间变化，而回路不变时产生的感 生电动势，如图 6-14。由 Faraday’s Law 给出为： = − = − = − S S dS t B B dS dt d dt d B S L 图 6-14 f A B C D N S Cu环 n ˆ A D l b A D B C 正视 =（n ˆ ,中面） 每匝 图 6-13
式中S由回路l所围的任意曲面。只当回路不变时,上述最后等号才成立。 2)涡旋电场是感生电动势之非静电力 实验表明,感生E完全与导体种类和性质无关,由变化B()引起。麦克斯韦分析了 一些电磁感应现象后,敏锐地感觉到:感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应,他 相信,即使不存在导体回路,变化的磁场周围也会激发一种电场,称之为涡旋电场,此 场即ε感之非静电力。故上述回路中感生E为: E (3)场方程 综上有 fEs aB 般地,空间E、E并存,有总场:E=E位+E,因为5Ed=0,故 5Ed5E:d+5E旋:d=E:≠0,所以,场方程有可写为 E=「E.d= B 表明电场、磁场不可分割,有了变化的磁场就有变化的电场(另一方面见以后)。 2、涡旋电场的性质 (1)E为有旋场,旋涡就在变化磁场处 aB 表明E旋有旋无势。E旋与。方向间的关系如图6-1 E旋对电荷施力作用:qE旋。 (2)E旋为无源场,E力线为无头无尾闭线。 E旋·dS=0, 图6-15 E旋场通量为零(作为假设),所以
6－2－6 式中 S 由回路 l 所围的任意曲面。只当回路不变时，上述最后等号才成立。 (2) 涡旋电场是感生电动势之非静电力 实验表明，感生 完全与导体种类和性质无关，由变化 B(t) 引起。麦克斯韦分析了 一些电磁感应现象后，敏锐地感觉到：感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应，他 相信，即使不存在导体回路，变化的磁场周围也会激发一种电场，称之为涡旋电场，此 场即 感 之非静电力。故上述回路中感生 为： = l E dl 旋 (3) 场方程 综上有 dS t B E dl l s = − 旋 一 般 地 ， 空 间 E位 、 E旋 并 存 ， 有 总 场 ： E E位 E旋 = + ，因为 = 0 l E dl 位 ， 故 = + = 0 E dl E dl E dl E dl l l l 位 旋 旋 ，所以，场方程有可写为 dS t B E dl l S = = − 表明电场、磁场不可分割，有了变化的磁场就有变化的电场（另一方面见以后）。 2、涡旋电场的性质 (1) E旋 为有旋场，旋涡就在变化磁场处 0 = − dS t B E dl l s 旋 表明 E旋 有旋无势。 E旋 与 t B 方向间的关系如图 6-15， E旋 对电荷施力作用： qE旋 。 (2) E旋 为无源场， E旋 力线为无头无尾闭线。 = 0 S E dS 旋 ， E旋 场通量为零（作为假设），所以 t B ε 图 6-15 E旋
表明,高斯定理仍成立 [讨论] ①有≠0,就有E,但有E则需导体。「E。,=0是此处特例 ②变化场情况,区域内处处有电源,不宜划分源内、源外; ③动生、感生划分只具有相对意义; 3、应用一电子感应加速器 (1)原理 变化的磁场B(1)在空间激发涡旋电场,利用E旋加速电子(F=-eE旋)、利用B(1)约 束电子圆轨道运动(F向=-×B(),此装置即电子感应加速器 (2)装置 电磁铁:用频率约为10Hz强大交变电流励磁,设产生的场为B()= B. sin o t。 环形真空室:电子加速运动的环形跑道,在同一轨道上E旋同大。 某时刻磁极极性、电子受力及运动方向如图6-16(a)所示 某时刻极性 B() 环形室 B 俯视 BB 环形室 B() 参考方向 靶、电子枪 图6-16
6－2－7 0 q E dS E dS S S = = 位 表明，高斯定理仍成立。 [讨论] ① 有 0 t B ，就有 E旋 ，但有 则需导体。 = 0 l E dl 位 是此处特例； ② 变化场情况，区域内处处有电源，不宜划分源内、源外； ③ 动生、感生划分只具有相对意义； 3、应用---电子感应加速器 (1) 原理 变化的磁场 B(t) 在空间激发涡旋电场，利用 E旋 加速电子（ F eE旋 = − ）、利用 B(t) 约 束电子圆轨道运动（ F ev B(t) 向 = − ），此装置即电子感应加速器。 (2) 装置 电磁铁：用频率约为 10Hz 强大交变电流励磁，设产生的场为 B(t) B sin t = 0 。 环形真空室：电子加速运动的环形跑道，在同一轨道上 E旋 同大。 某时刻磁极极性、电子受力及运动方向如图 6-16(a)所示。 ⊙ S N 某时刻极性 环形室 俯视 环形室 靶、电子枪 T 2 B n E旋 B(t) B B B t 参考方向 B(t) L (a) (b) 图 6-16 f E旋 v
(3)分析与设计 问题之一:对电子加速与圆轨道控制双重限制下,B()变化一周期内可使用的时 间范围。结合图6-16(b)分析如下 ①对B方向的要求:使洛仑兹力提供的是向心力,对应可用的时间段为t:0 ②对方向(也即E方向)的限制:欲在E数作用下加速电子,则需E方向与 电子运动反方向,故t对应:0 T 综上:可用时间范围为第一个周期,在0~了内电子已运动多周,在末时刻引出 射向靶 问题之二:实现电子维持在恒定半径圆形轨道(如R)上加速,对此约束磁场分布 有一定的特殊要求,需设计特殊形状磁极。(即对电子圆轨道处磁场Ba的要求: BR=B,B为圆轨道内的平均磁场,出自φ=nR2B) R B R 欲R恒定,则需B2∝m,然而加速中v↑,亦有m=-mo↑,但只要m的增加与 B(人为设计)成正比即可,如何实现分析如下 动量变化Mm决赶于>E决定于、OB 可见,电子动量变化与磁场变化密切相关,可找出其间关系如下 ①据法拉第定律求得E旋 dl do dt 2mRE旋
6－2－8 (3) 分析与设计 问题之一： 对电子加速与圆轨道控制双重限制下， B(t) 变化一周期内可使用的时 间范围。结合图 6-16(b)分析如下： ① 对 B 方向的要求：使洛仑兹力提供的是向心力，对应可用的时间段为 t： 2 0 ~ T ； ② 对 t B 方向（也即 E旋 方向）的限制：欲在 E旋 作用下加速电子，则需 E旋 方向与 电子运动反方向，故 t 对应： 4 0 ~ T 。 综上：可用时间范围为第一个 4 1 周期，在 4 0 ~ T 内电子已运动多周，在末时刻引出 射向靶。 问题之二：实现电子维持在恒定半径圆形轨道（如 R ）上加速，对此约束磁场分布 有一定的特殊要求，需设计特殊形状磁极。（即对电子圆轨道处磁场 BR 的要求： BR B 2 1 = ， B 为圆轨道内的平均磁场，出自 R B 2 = ） ∵ R mv evBR 2 = ∴ eR mv BR = 欲 R 恒定，则需 B mv R ，然而加速中 v ，亦有 2 0 1 ( ) c v m m − = ，但只要 mv 的增加与 BR （人为设计）成正比即可，如何实现分析如下 动量变化 mv ⎯决定于 ⎯⎯→ E旋 ⎯决定于 ⎯⎯→ t B 可见，电子动量变化与磁场变化密切相关，可找出其间关系如下： ① 据法拉第定律求得 E旋 ∵ dt d E dl l = − 旋 ∴ dt d RE 旋 = − 2 dt d R E 2 1 旋 = −
②据牛顿定律确定m与φ的关系 (mv)=-eE 2TR dt ∴d(mv)= 2TR 积分之得 O+c 又=0时,B=BSO1=0,中=「Bd=0,并设叫m=0,可定出常数c=0 ∴m= 27R 其中用到电子回路内的磁通 设电子轨道内平均磁场为B,则p=zR2B,代入上式便有 最后将此关系代入表式B2=m中,便给出设计特殊磁极的依据,以实现 B=-B 即只要设计出特殊磁极形状实现,则可实现电子恒轨道上加速。 三、内容小结及举例 法拉第电磁感应定律 B·dS 动生:E=「(xB)d,非静电力为洛仑兹力k=xB 感生:E=E·dl= dS非静电力为涡旋电场 般情况下,E=E动+E感。 例1:如图6-17(a),匀强磁场中一段长为2L的导线绕一端转动,用E=xB),d 求电动势E
6－2－9 ② 据牛顿定律确定 mv 与 的关系 ∵ mv eE旋 dt d ( ) = − dt d R E 2 1 旋 = − ∴ d R e d mv 2 ( ) = 积分之得 c R e mv = + 2 又 t = 0 时， B = B0 sin t = 0 ， = B dS = 0 ，并设 v t=0 = 0 ，可定出常数 c = 0 。 ∴ R e mv 2 = 其中用到电子回路内的磁通。 设电子轨道内平均磁场为 B ，则 R B 2 = ，代入上式便有 eRB R e mv 2 1 2 = = 最后将此关系代入表式 eR mv BR = 中，便给出设计特殊磁极的依据，以实现 BR B 2 1 = 即只要设计出特殊磁极形状实现，则可实现电子恒轨道上加速。 三、内容小结及举例 法拉第电磁感应定律 = − = − s B dS dt d dt d 动生： = L v B dl ( ) ，非静电力为洛仑兹力 k v B = ； 感生： = = − s L dS t B E dl 旋 非静电力为涡旋电场。 一般情况下， = 动 + 感 。 例 1：如图 6-17(a)，匀强磁场中一段长为 2L 的导线绕一端转动，用 = L v B dl ( ) 求电动势
L 2L 2L L b 图6-17 解:E的方向:由k=下xB判知为O→>a,即Ua>U。; E的大小:6=C,M=Cmb=Ohb=2E [讨论] ①导体圆盘垂直B放置,盘半径2L,绕中心轴转动,结果同上; ②上例中将转动改为平动,如图6-17(b),则 2v BLain e ③若转轴不在一端, 若是在中央,如图6-17(c),则En=0,但Eo=oBL2=E 若是在处,情况又如何? 例2:长螺线管通电,半径为R,求管内、外E旋 解:如图6-18(a),E旋具有轴对称性,可由环路定理直接求E旋 R:B=0n() Ex 2m- OB at E=--r r>R:B=0 旋2m=OB t
6－2－10 解： 的方向：由 k v B = 判知为 o →a ，即 Ua Uo ； 的大小： = = = = a a L vBdl rBdr B rdr BL 0 2 0 2 2 0 。 [讨论] ① 导体圆盘垂直 B 放置，盘半径 2L ，绕中心轴转动，结果同上； ② 上例中将转动改为平动，如图 6-17(b)，则 = 2vBLsin ③ 若转轴不在一端， 若是在中央，如图 6-17(c)，则 ba = 0，但 a BL ob = = 2 0 2 1 ； 若是在 2 L 处，情况又如何？ 例 2：长螺线管通电 I ，半径为 R ，求管内、外 E旋 。 解：如图 6-18(a)， E旋 具有轴对称性，可由环路定理直接求 E旋 : ( ) 0 r R B = nI t 2 2 r t B E r 旋 = − t B E r = − 2 1 旋 r R : B = 0 2 2 R t B E r 旋 = − 0 (a) (b) (c) 图 6-17 a 0 2L B a 2L B ) θ a L 0 b a b L 0 0
