§4暂态过程 暂态过程也称瞬变过程,指的是在阶跃电压(0→E或E→0)作用下RL组成的电路, 因存在,而电路电流讠不会瞬间突变;或RC电路中,u不可能突变。 在RL、RC等电路中,在阶跃电压作用下i或u从开始发生变化到渐达稳态有一个 过程,此过程即暂态过程(指从一个稳态→另一个稳态的过程),研究此过程中有关电 流、电压等的时变规律和电路特点。 需指出:此类问题中i或L虽变化,但变化不快而可视作似稳,认为欧姆定律、基 尔霍夫定律等仍适用。 、RL电路 研究电路中电流()~t的关系,分述如下 1、接通电源 如图6-30所示,R,L,E及K组成闭合电路,E为阶跃作用信号。 K→1:接通电源。回路方程及定解条件为 E+EL=iR → (对应初态与稳态) R 因为51“所以回路方程成为 iR 是关于电流的一阶常系数非齐次微分方程。 K 图6-30
6－4－1 §4 暂态过程 暂态过程也称瞬变过程，指的是在阶跃电压 (0 → 或 → 0) 作用下RL组成的电路， 因存在 L 而电路电流 L i 不会瞬间突变；或 RC 电路中， c u 不可能突变。 在 RL、RC 等电路中，在阶跃电压作用下 L i 或 c u 从开始发生变化到渐达稳态有一个 过程，此过程即暂态过程 （指从一个稳态 → 另一个稳态的过程），研究此过程中有关电 流、电压等的时变规律和电路特点。 需指出：此类问题中 L i 或 c u 虽变化，但变化不快而可视作似稳，认为欧姆定律、基 尔霍夫定律等仍适用。 一、RL 电路 研究电路中电流 i(t) ~ t 的关系，分述如下： 1、接通电源 如图 6-30 所示， R, L, 及 K 组成闭合电路， 为阶跃作用信号。 K →1 ：接通电源。回路方程及定解条件为 + L = iR R i i I t t =0 = 0, → = = （对应初态与稳态） 因为 dt di L = −L ，所以回路方程成为 iR dt di − L = 是关于电流的一阶常系数非齐次微分方程。 2 R L i K 1 图 6-30
以下求解微分方程 ∵L iR dt E R +a L 其中A为积分常数,所以 Ae l R 得 E A R 运用d。=0,确定出A=56,故满足初始条件的解为 i(1)=(1 R R 则 i()=1(1-e) 其中稳定值为Ⅰ= 讨论 (1)结果表明接通电源,i~t按指数律增长。当t=τ=时,i;=l(1-e-)=63%, 这里给出了r的物理意义。理论上应经t→∞方有()=6=1,实际上经(3~5)x即近似 R 认作稳定值。 (2)反映指数增加快慢的特征常量是r=2--“时间常数”了大则达稳态越慢,了 R 小则i增长快;r的单位为秒
6－4－2 以下求解微分方程： ∵ iR dt di L = − 即 dt L R i R di = − t A L R i R − ln( − ) = + 其中 A 为积分常数，所以 t L R i A e R − − = ' 得 t L R A e R i − = − ' 运用 0 0 = t= i ，确定出 R A = ，故满足初始条件的解为 ( ) (1 ) t L R e R i t − = − 令 R L = 则 ( ) (1 ) t i t I e − = − 其中稳定值为 R I = 。 [讨论] (1) 结果表明接通电源， i ~ t 按指数律增长。当 R L t = = 时， i I(1 e ) 63%I 1 = − = − ， 这里给出了 的物理意义。理论上应经 t → 方有 I R i t = = ( ) ，实际上经 (3 ~ 5) 即近似 认作稳定值。 (2) 反映指数增加快慢的特征常量是 R L = -----“时间常数”： 大则达稳态越慢， 小则 i 增长快； 的单位为秒
r的物理意义:当达稳值的63%时所对应的时间t=r r的物理意义也可从另外方面认识一一考察t=0时电流的时间变 化率 dh ∴=r 表明,若电流以初始时的增加率增加,则用τ时间即达稳态值。 () 接通 短接 图6-31 (3)求得()的变化规律,便可求R上的电压变化规律 i=E(1 结果为指数升。也可得L上的电压变化 uL =E-UR=-EL=8e 结果为指数降。 (4)比较不同τ下(1)~曲线的上升情况。参见图6-31 2、撤去电源(短接) K→2:E→0阶跃,仍沿用上述正方向规定。 方程与初始条件为:E2=iR,或-L=iR (以新过程的起点作为计时零点) 特解:a_R ,i=Ae",由=1,得A=1 i(0=le 6-4-3
6－4－3 的物理意义：当达稳值的 63%时所对应的时间 t = ； 的物理意义也可从另外方面认识——考察 t = 0 时电流的时间变 化率 I I e dt di t t t = = = − = 0 0 1 ∴ =0 = t dt di I 表明，若电流以初始时的增加率增加，则用 时间即达稳态值。 (3) 求得 i(t) 的变化规律，便可求 R 上的电压变化规律 (1 ) t R u iR e − = = − 结果为指数升。也可得 L 上的电压变化 t L R L u u e − = − = − = 结果为指数降。 (4) 比较不同 下 i(t) ~ t 曲线的上升情况。参见图 6-31。 2、撤去电源（短接） K →2： →0 阶跃，仍沿用上述正方向规定。 方程与初始条件为： iR dt di L = iR, 或 − L = I R i t = = = 0 （以新过程的起点作为计时零点） 特解： dt L R i di = − ， t i A e − = ，由 i I t = =0 ，得 A = I ，故 t i t I e − ( ) = i(t) I 0 接通 短接 t 图 6-31
结果仍指数律变化(此为指数衰减),快慢仍以τ来衡量。 讨论 (1)解决实际问题时,应具体问题具体对待。例如,上述初始条件不同,结果也就 不同,不能死记硬背,应该:电压方程→微分方程→≯确定满足条件的特解。(在《电工 学》中有“三要素”法) (2)同一回路,充磁、放磁曲线(如图6-31)相交处对应的t=?(答: rh0.5=69%x)。有关计算需算e的指数式值 、RC电路 研究RC电路中电量、电流或电压的时变规律:q()、(t)、u() 1、充电 如图6-32:R、C、E及开关K组成的闭合电路。 i(1) E 图6-32 K→1:给C充电,E为阶跃信号电压,则电路的初、终态为 初始:d=0.u-c 终态:q=c=Q,d=0 方程及解为 E=l2+uR,或 g+ 又i=代入方程,选定q(1)作为求解对象,所以 dt R
6－4－4 结果仍指数律变化（此为指数衰减），快慢仍以 来衡量。 [讨论] (1) 解决实际问题时，应具体问题具体对待。例如，上述初始条件不同，结果也就 不同，不能死记硬背，应该：电压方程 → 微分方程 → 确定满足条件的特解。（在《电工 学》中有“三要素”法） (2) 同 一回 路 ，充 磁、 放 磁曲 线 （如 图 6-31） 相交 处 对应 的 t = ? （答： − ln 0.5 = 69% ）。有关计算需算 e 的指数式值。 二、R C 电路 研究 RC 电路中电量、电流或电压的时变规律： q(t) 、i(t) 、u(t) 。 1、充电 如图 6-32： R 、C、 及开关 K 组成的闭合电路。 K →1 ：给 C 充电， 为阶跃信号电压，则电路的初、终态为 = = = = = = → → = = = : , 0 : 0, 0 0 0 0 t t t t c t q c Q i c q q u 终态 初始 方程及解为 = uc + uR ，或 + iR = c q 又 dt dq i = 代入方程，选定 q(t) 作为求解对象，所以 + q = dt C dq R 1 图 6-32 R K C i(t) 1 2
d q q RC hn(CE-q t+a g=Ae 运用d-=0,得A=C,故特解为 q=C6(-e- /RC) 其中Q=CE,τ=RC-—时间常数 [注]:记忆=1R,=RC方法:ce=LC [讨论] (1)如图6-33,q~t按指数律增加,增长率由τ描述,τ的单位为:秒(s)。 图6-33 (2)求得q()后便可求其它 山E。%-1。% dt R iR 结果为指数减; q E(1 结果为指数升 放电
6－4－5 dt C q RC dq 1 = − t A RC C − q = − + 1 ln( ) t RC C q A e − − = t RC q C A e − = − 运用 0 0 = t= q ，得 A = C ，故特解为 (1 ) (1 ) t RC t q C e Q e − − = − = − 其中 Q = C ， = RC ——时间常数。 [注]：记忆 RC R L L = , C = 方法： 2 0 1 L C = LC = 。 [讨论] （1） 如图 6-33， q ~ t 按指数律增加，增长率由 描述， 的单位为：秒 (s) 。 （2） 求得 q(t) 后便可求其它 t R t t u iR e e I e dt R dq i − − − = = = = = 结果为指数减； (1 ) t c e C q u − = = − 结果为指数升。 2、放电 q Q t 0 图 6-33
仍沿用上述正方向规定,如图6-32。满足的初始条件为 q-0=Q,E=0 电路方程为 u c tUr q 0,2+iR=0 满足初始条件的解为 q(1)=Q 所以 d q u =ir=-Ue /r U=IR Q-% 其中的负号表示与原假设正方向相反。电荷、电流随着t的变化曲线如图6-34 q 0 Q 三、LC振荡电路 设t=0时:C上电荷q=0=Q,L中电流d。=0, 如图6-35。电路满足的方程为 di q 令2 则上式成为谐振方程 图6-35 d -q +ag= 0
6－4－6 仍沿用上述正方向规定，如图 6-32。满足的初始条件为 , , 0 0 0 = = = = = q Q C Q u t t 电路方程为 q dt RC dq iR C q uc uR 1 + = 0, + = 0, = − 满足初始条件的解为 t q t Qe − ( ) = 所以 t I e dt dq i − = = − t C t R e C Q C q u u iR Ue U IR − − = = = = − , = 其中的负号表示与原假设正方向相反。电荷、电流随着 t 的变化曲线如图 6-34。 三、LC 振荡电路 设 t=0 时：C 上电荷 q Q t = =0 ，L 中电流 0 0 = t= i ， 如图 6-35。电路满足的方程为 + = 0 C q dt di L ， 或 0 1 2 2 + = dt LC d q 令 LC 2 1 = ，则上式成为谐振方程 0 2 2 2 + q = dt d q 图 6-35 L C 图 6-34 q 0 t i Q t − I 0
其解为 q= Acos(@ t+o) 其中A,为待定常数;此外 dq i=-=-Aosin(@ t+o) 运用初始条件0=0知:g=0;用引m=Q知:Q=A,因此 =Coso t 可以证明:任意时刻电容、电感总储能W=W+W=恒值。 [证明] -L i=-Oosn o 1 (O cos@1-+-LGOosn o 1) Y 2C oD+5oLO sin@t 2c CoSo/+102 (恒值)。 四、RLC电路 电路如图6-36,研究q~t关系 k→1:接通电源E 0 C 设 ,达稳态即成 =0 k→2:短掉电源,上过程的末态为下过程的初态 L ^ 图6-36 1、电路方程
6－4－7 其解为 q = Acos( t +) 其中 A, 为待定常数；此外 = = −A sin( t +) dt dq i 运用初始条件 0 0 0 = = = 知： t i ； q Q Q A t = = = 用 知： 0 ，因此 q = Qcos t 可以证明：任意时刻电容、电感总储能 W = WL +WC = 恒值。 [证明] i Q t C L , sin 2 1 = = − ∴ 2 2 2 2 ( sin ) 2 1 ( cos ) 2 1 2 1 2 1 Q t L Q t C q Li C W = + = + − t LQ t C Q cos sin 2 2 2 2 2 1 2 = + C Q t C Q t C Q 2 2 1 2 2 2 2 2 2 = cos + sin = （恒值）。 四、RLC 电路 电路如图 6-36，研究 q ~ t 关系。 → = = = = → → → = = ：短掉电源 ，上过程的末态为下过程的初态。 设 ，达稳态即成 ：接通电源 2 0 0 0 1 0 0 k i q C i q k t t t t 1、电路方程 图 6-36 R L K C 1 ε 2 2 i
6(k→1) +un+ L-tir+ C|0 LC-3+ RC+q 为关于q()的二阶线性常微分方程 2、通解 (1)非齐次方程齐次化 令q()=q 则 dq (2)特征根法求q 特征方程:LCr2+RCr+1=0,其特征根为 RC±√R2C2-4LC F1 2LC R RC 2L√LC 定义电路阻尼度:=RCRC 4L 2VL 则特征根为 R √LC (3)通解 求得q0后,则原问题的通解为 q=go+Ca 现在对各种情况的解分述如下:
6－4－8 → → + + = 0 ( 2) ( 1) k k uL uR uC + + = + + = 0 0 2 2 C q dt dq RC dt d q LC C q iR dt di L 为关于 q(t) 的二阶线性常微分方程。 2、通解 （1）非齐次方程齐次化 令 q(t) = q (t) +C 0 ，则 0 0 0 2 0 2 + + q = dt dq RC dt d q LC （2）特征根法求 0 q 特征方程： 1 0 2 LCr + RCr + = ，其特征根为 LC RC R C LC r 2 4 2 2 1,2 − − = 1 4 1 2 2 = − − L R C L LC R 定义电路阻尼度： L R C L R C 4 2 2 = ，则特征根为 1 1 2 2 1,2 = − − L LC R r （3）通解 求得 0 q 后，则原问题的通解为 q = q +C 0 现在对各种情况的解分述如下：
①若 即4>1,有两个不等的实根,对应解为 4L2 LC A,etB,,,, e R}21 =e 2l(A c +Be 2L LC 较快 此情况下,R较大,q随1变化但不振荡。当t→∞时,q0→0,而q→CE。称之 为过阻尼。 ②若 42=EC,即A=1,有二重根(r==h2=分),则解为 2L qo=(42+B2)e (A2+B2)e2 此情况下,RVC(R比第一种情况小,q随t变化。当1→∞时,q0>0,q→CE, 称之为临界阻尼。 ③若 4L2 LC 即A∞仍趋于零, 即引→CE。称之为阻尼振荡(欠阻尼) 3、确定系数 以上诸式中常数(A4,B)(4,B2)(4,q),均可用初始条件引。,确定,结果 如下
6－4－9 ① 若 L LC R 1 4 2 2 ，即 1 ，有两个不等的实根，对应解为 rt r t q A e B e 1 2 0 1 1 − = + ( ) 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 2 2 2 t L LC R t L LC R t L R e A e B e − − − − = + 此情况下，R 较大， 0 q 随 t 变化但不振荡。当 t → 时， 0 0 较快 q → ，而 q → C 。称之 为过阻尼。 ② 若 L LC R 1 4 2 2 = ，即 =1，有二重根（ L R r r r 2 = 1 = 2 = − ），则解为 r t q (A B t) e 0 = 2 + 2 t L R A B t e 2 2 2 ( ) − = + 此情况下， C L R 4 = （R 比第一种情况小）， 0 q 随 t 变化。当 t → 时， 0 0 较慢 q → ，q → C ， 称之为临界阻尼。 ③ 若 L LC R 1 4 2 2 ，即 1，有两不等的复根，则解为 ) ) 2 ( 1 cos( 2 2 0 = 3 − + − t L R LC q A e t L R 此情况下，R 较小， 0 q 随 t 作指数减幅振荡（含时变余弦函数），终随 t → 仍趋于零， 即 q C t→ → 。称之为阻尼振荡（欠阻尼）。 3、确定系数 以上诸式中常数 ( , ), ( , ), ( , ) A1 B1 A2 B2 A3 ，均可用初始条件 0. 0 , t= t= q i 确定，结果 如下：
A=-CE( B1=C( R 4L 4L V2L′LC A2=-Ca B Ca Ce A3 R oS p R VLC 2L 或cosq=LCYC412 4、讨论 (1)阻尼振荡 特点:减幅振荡(每当i流过R,便耗一部分能量); 振荡频率不变,0=-(Ry LC 2L (2)当R=0,即λ=0时,便退化为LC振荡电路。此时o2 等幅振荡,结 LC 果与前述所论内容一致 1 Z=1 <1 K→1(充) 图 (3)上述求解对k→1、k→2一并适用,其q~t曲线分别如图6-37所示。 5、应用一一灵敏电流计 (1)构造简述 投影图示,介绍各部件功用
6－4－10 cos . ) 2 1 1 ) 2 4 ( ( 3 2 2 1 C A A C L LC R L R A C = − = − + − = − ) ) 2 ( 1 2 ( . 2 ) 2 1 1 ) 2 4 ( ( 2 1 2 2 1 L R LC L R tg C L R B L LC R L R B C − = − = − − − = − 或 1 2 2 2 ) 4 1 cos ( − = − L R LC LC 4、讨论 （1）阻尼振荡 特点：减幅振荡（每当 i 流过 R，便耗一部分能量）； 振荡频率不变， 2 ) 2 ( 1 L R LC = − 。 （2）当 R=0，即 = 0 时，便退化为 LC 振荡电路。此时 LC 2 1 = ，等幅振荡，结 果与前述所论内容一致。 （3）上述求解对 k →1、k →2 一并适用，其 q ~ t 曲线分别如图 6-37 所示。 5、应用——灵敏电流计 （1）构造简述 投影图示，介绍各部件功用。 图 6-37 t K→1(充) q c 0 1 =1 1 K→2(放) c q 0 1 =1 1 t