§4复杂电路 不能用简单电路方法解决的多电源、多电阻复杂联接的电路问题,解决这类 电路计算的基本公式是基尔霍夫( Kickoff)方程组(KCL、KV)。 基本概念 l、支路—-电源与电阻串联而成的一段电路,其上Ⅰ相同。往往以Ⅰ为求解 对象 2、节点一三条或更多条支路的联接点。还可推至广义节点。 3、回路—由几条支路构成的闭合通路。 投影:以直流电桥为例,说明其中含有:6条支路、4个节点、7条回路 二、基尔霍夫方程组 1、第一方程组(KCL:谈节点电流关系) 理论依据:将d=0应用于节点 电流正方向:各支路电流真实方向事先难以判断,可预设,照此列方程,终 结果为正则真、负则伪。此人为预设Ⅰ的流向,即参考正方向。 定:流出节点的电流前冠“+”号,流入节点的电流前冠“-”号 容 ±l=0 即流入节点的各支路电流之代数和为零。 [注意事项] (1)n个节点可列(n-1)个独立节点电流方程 (2)定律公式中含双层正负号形式上的“±”,1本身的正负; (3)各支路电流正方向是人为选定的,一旦选定,中途不再随意改动 2、第二方程组(KⅥL:谈回路电压关系) 理论依据:将「Ed=0用于回路; 绕行方向:即沿回路线积分的方向,人为事先任意选定,从某处开始,沿回 路绕行一周回至原处 电位降落正负规定:沿回路绕行历经从低到高或从高到低电位的过程,统称 电位降落。 4-4-1
4－4－1 §4 复杂电路 不能用简单电路方法解决的多电源、多电阻复杂联接的电路问题，解决这类 电路计算的基本公式是基尔霍夫(Kichoff)方程组（KCL、KVL）。 一、基本概念 1、支路---电源与电阻串联而成的一段电路，其上 I 相同。往往以 I 为求解 对象。 2、节点---三条或更多条支路的联接点。还可推至广义节点。 3、回路---由几条支路构成的闭合通路。 投影：以直流电桥为例，说明其中含有：6 条支路、4 个节点、7 条回路。 二、基尔霍夫方程组 1、第一方程组（KCL：谈节点电流关系） 理论依据： 将 = s J ds 0 应用于节点。 电流正方向：各支路电流真实方向事先难以判断，可预设，照此列方程，终 结果为正则真、负则伪。此人为预设 I 的流向，即参考正方向。 规 定：流出节点的电流前冠“+”号，流入节点的电流前冠“-”号。 内 容： = 0 节点 i I 。 即流入节点的各支路电流之代数和为零。 [注意事项] (1) n 个节点可列（n-1）个独立节点电流方程； (2) 定律公式中含双层正负号---形式上的“ ”， i I 本身的正负； (3) 各支路电流正方向是人为选定的，一旦选定，中途不再随意改动。 2、第二方程组（KVL：谈回路电压关系） 理论依据：将 = l E dl 0 用于回路； 绕行方向：即沿回路线积分的方向，人为事先任意选定，从某处开始，沿回 路绕行一周回至原处。 电位降落正负规定：沿回路绕行历经从低到高或从高到低电位的过程，统称 电位降落
j电位从高→低的电位降落之前冠正号:(真降) 电位从低→高的电位降落之前冠负号:(伪降) 具体做法是-顺流而下,R上电位降为正,反之为负; 从电源正—>负,电位降为正,反之为负 内容:∑U=∑()+∑(士R)=0。 即沿回路绕行一周,电位降落之代数和为零。 [注意事项] (1)公式中仍存有双重正负号问题,各有其意 (2)m个独立回路可列m个独立电压方程(平面网络,网孔回路即独立) 三、基尔霍夫方程组对复杂电路的可解性 复杂电路多见求解各支路电流:P条支路有p个未知支路电流待求 此外,n个节点:可列n-1个独立节点电流方程;m个独立回路:可列m个 独立回路电压方程。 拓扑学可证:p=(n-1)+m,即方程数恰好等于未知数个数,可解。[参见 《大学物理》1985年第3期、第12期梁灿彬等的文章] 四、例题与步骤 例1:如图4-27电位差计电路。已知E1=6,n1=29;E2=2,F2=2; R3=R4=49,R1=49,R2=592。试求l、l2、l3及UAB E1,71 R R B A中 R2 Ra 图4-27 4-4-2
4－4－2 → → 电位从低 高的电位降落之前冠负号；（伪降） 电位从高 低的电位降落之前冠正号；（真降） 具体做法是---顺流而下，R 上电位降为正，反之为负； 从电源正 ⎯⎯内→ 负，电位降为正，反之为负。 内 容： U =() +(IR) = 0 。 即沿回路绕行一周，电位降落之代数和为零。 [注意事项] (1) 公式中仍存有双重正负号问题，各有其意； (2) m 个独立回路可列 m 个独立电压方程（平面网络，网孔回路即独立）。 三、基尔霍夫方程组对复杂电路的可解性 复杂电路多见求解各支路电流： p 条支路有 p 个未知支路电流待求。 此外， n 个节点：可列 n −1 个独立节点电流方程； m 个独立回路：可列 m 个 独立回路电压方程。 拓扑学可证： p = (n −1) + m ，即方程数恰好等于未知数个数，可解。[参见 《大学物理》1985 年第 3 期、第 12 期梁灿彬等的文章]。 四、例题与步骤 例 1：如图 4-27 电位差计电路。已知 1 = 6V, r1 = 2 ； 2 = 2V, r2 = 2 ； R3 = R4 = 4, R1 = 4, R2 = 5 。试求 UAB I 1、I 2、I 3 及 。 图 4-27 1 1 ,r R3 1 I 2 I A 3 I R1 B R2 R4 2 2 ,r
解: 标定各支路电流,选好绕行方向,判知两节点(A,B)、两网孔,可列三式 3=1+/2 1(+R2+R3)-E1+l3R1=0 l2R1+l,(r2+R1) 0 消去l3得 1(+R1+R2+R3)+l3R1=E1 LR+1(2+R1+R)= 代入数据,成为 141+102=2 解出 1=0.39A>0 12=0.05A>0 表明均与实际预设方向一致。连带计算电位差U为 3R1=-(12+1)R1 即B点电位高。 例2:直流电桥电路中求lx R, R, A Ra 图4-28
4－4－3 解： 标定各支路电流，选好绕行方向，判知两节点（A，B）、两网孔，可列三式： + + − = + + − + = = + ( ) 0 ( ) 0 3 1 2 2 4 2 1 1 2 3 1 3 1 3 1 2 I R I r R I r R R I R I I I 消去 3 I 得 + + + = + + + + = 1 1 2 2 1 4 2 1 1 1 2 3 3 1 1 ( ) ( ) I R I r R R I r R R R I R 代入数据，成为 + = + = 4 10 2 15 4 6 1 2 1 2 I I I I 解出 0.05 0 0.39 0 2 1 = = I I 表明均与实际预设方向一致。连带计算电位差 UAB 为 UAB = −I 3R1 = −(I 2 + I 1 )R1 = −0.44 4 = −1.76V 0 即 B 点电位高。 例 2：直流电桥电路中求 g I 。 图 4-28 1 2 I + I A B C 1 I g I − I 1 G g I + I 2 2 I R1 R3 g I R4 R2 D
如图4-28,标各支路电流及正方向;选网孔绕向;图中已标各电流,其中 已用节点方程,可见有1,12待求。 R1+12R2-12R3=0 三网孔,列三回路方程{(1-)R2-(2+lg)R2-R2=0 12R3+(12+l2)R4-E=0 整理成 R1-R22+R3lg=0 R3-R4l2-(R3+R4+Rn)l=0 (R1+R川1-Rlg 用线性方程组之行列式解法解,经算只要△≠0,则有:lg 4’其中 R1 R2 Ro -R40=(R, -R,R4)E ,+r0 8 欲电桥平衡,则=0,即Δ。=0,有电桥平衡条件 RR3=RR [综述一般步骤] ①设出各支路L,并标注正方向参考; ②列节点电流方程,独立方程(n-1)个; ③列回路电压方程:先选独立回路,后标绕行方向,再列独立回路方程∑U=0 ④联立方程求解,讨论结果,指出的实际方向 ⑤求出其它
4－4－4 如图 4-28，标各支路电流及正方向；选网孔绕向；图中已标各电流，其中 已用节点方程，可见有 I 1 ,I 2 ,I g待求。 三网孔，列三回路方程 + + − = − − + − = + − = ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 2 3 2 4 1 2 2 4 1 1 2 3 I R I I R I I R I I R I R I R I R I R g g g g g g g 整理成 + − = − − + + = − + = g 1 g g g g R R I R I R I R I R R R I R I R I R I 1 3 1 3 3 4 2 3 4 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 0 用线性方程组之行列式解法解，经算只要 0 ，则有： = g g I ，其中 ( ) 0 0 0 2 3 1 4 1 3 3 4 1 2 R R R R R R R R R R g = − + − − = 欲电桥平衡，则 I g = 0 ，即 g = 0 ，有电桥平衡条件 R2R3 = R1R4 [综述一般步骤] ① 设出各支路 i I ，并标注正方向参考； ② 列节点电流方程，独立方程 (n −1)个 ； ③ 列回路电压方程：先选独立回路，后标绕行方向，再列独立回路方程 U = 0 ； ④ 联立方程求解，讨论结果，指出 i I 的实际方向； ⑤ 求出其它
