§5电势及其梯度 、静电场的环路定理 已知电荷分布,利用电场叠加原理、高斯定理可计算电场分布,但因E为矢量,不 够方便,可引入另一物理量一一电势来研究问题方便。 1、静电场力做功与路径无关。 做功与路径无关,只由起点、始点位置决定的力一一保守力,下面由库仑定律结合 力的叠加原理证明静电力是保守力。 (1)点电荷形成的场中电场力做功 在点电荷q形成的电场中,q由a→b,如图1-26a所示,电场力做功计算如下: dA=F dl=Fcose dl= Fdr=goEr- goq dr 4 qo Edr= yoq rs dr 40q 表明:此情况下,电场力做功与路径无关。只决定于始、末位置、b。 (2)任意带电体系的电场中场力做功 F=f1+f2+…=q0E=q0(E1+E2+…) A.=Fd=q1E·d=qnm + go E 由(1)知,该式每一项均与积分路径无关,故场力之功A也与路径无关。证毕 d l b 起点 (a) 图1-26
1－5－1 §5 电势及其梯度 一、静电场的环路定理 已知电荷分布，利用电场叠加原理、高斯定理可计算电场分布，但因 E 为矢量，不 够方便，可引入另一物理量——电势来研究问题方便。 1、静电场力做功与路径无关。 做功与路径无关，只由起点、始点位置决定的力——保守力，下面由库仑定律结合 力的叠加原理证明静电力是保守力。 (1) 点电荷形成的场中电场力做功 在点电荷 q 形成的电场中， 0 q 由 a →b ，如图 1-26(a)所示，电场力做功计算如下： ∵ 2 0 0 0 4 cos r q q d r dA F dl F dl Fdr q Edr = = = = = ∴ ) 1 1 ( 4 4 0 0 2 0 0 0 a b r r r r r r q q r q q d r A q Edr b a b a = = = − 场 表明：此情况下，电场力做功与路径无关。只决定于始、末位置 a r 、 b r 。 (2) 任意带电体系的电场中场力做功 ∵ ( ) 1 2 0 0 1 2 F = f + f + = q E = q E + E + ∴ → = = = + + b a b a b a b a a b A F dl q E dl q E dl q E dl 0 0 1 0 2 由 (1) 知，该式每一项均与积分路径无关，故场力之功 Aa→b 也与路径无关。证毕# (a) (b) 图 1-26 a I b 起点 II E dr dl q0
保守力的另一等价数学表示:据上述a→b成两路线aIb、aIIb,如图1-26(b),有 qoE·d 40 E lI b n。)Ed=0 亦即 意义表明:在电场E中移动q一周电场力做功为零 2、静电场是保守场一一环路定理 由上述可知 fE·d=0 即静电场的环流为零。表明:静电场力移动单位正电荷一周做功为零。有这一结论,才 能引入电势,即保守场中有势、势能等概念。 二、电势差和电势 1、外力做功 处在静电场E(x,y,=)中的点电荷q0’在一个与电场力F=q0E大小相等、方向相反 的外力F(F=-F)的作用下,以非常缓慢的速度由场内一点(如P点)沿任路径至另 点(如Q点),外力F之功为 Apse= FdI=-fFdI 即外力之功等于电场力之功的负值,因Ap0与路径无关,故Ap也与路径无关。又 F=-F,故q所受合力:F+F=0,未改变q0(物体)的动能。(故此部分不涉及动 能的讨论) 若APQ>0,则电场力做负功,即AQ<0,称外力反抗电力做功;若ApQ(0, 则电场力做正功,即ApQ<0,称电场力反抗外力做功。 2、电势能 静电力为保守力,外力反抗保守力做功,虽然不改变物体的动能,但要改变物体势 1-5-2
1－5－2 保守力的另一等价数学表示：据上述 a →b 成两路线 a I b、a II b，如图 1-26(b)，有 q E dl q E dl a I b a II b = 0 0 即 ( + ) 0 = 0 q E dl a I b b II a 亦即 = l E dl 0 意义表明：在电场 E 中移动 0 q 一周电场力做功为零。 2、静电场是保守场——环路定理 由上述可知 = l E dl 0 即静电场的环流为零。表明：静电场力移动单位正电荷一周做功为零。有这一结论，才 能引入电势，即保守场中有势、势能等概念。 二、电势差和电势 1、外力做功 处在静电场 E(x, y,z) 中的点电荷 0 q ，在一个与电场力 F q E = 0 大小相等、方向相反 的外力 ( ) ' ' F F F = − 的作用下，以非常缓慢的速度由场内一点（如 P 点）沿任路径至另 一点（如 Q 点），外力 ' F 之功为： P Q P Q Q Q P AP→ F dl F dl = −A → = = − 即外力之功等于电场力之功的负值，因 AP→Q 与路径无关，故 A P→Q ' 也与路径无关。又 ' F F = − ，故 0 q 所受合力： F + F = 0 ，未改变 0 q （物体）的动能。（故此部分不涉及动 能的讨论）。 若 0 ' A P→Q ，则电场力做负功，即 AP→Q 0 ，称外力反抗电力做功；若 A P→Q ' 〈0， 则电场力做正功，即 AP→Q 0 ，称电场力反抗外力做功。 2、电势能 静电力为保守力，外力反抗保守力做功，虽然不改变物体的动能，但要改变物体势
能。在静电场中可引λ静电势能:外力反抗保守力做功等于物体系势能的増量:对于静 电场中,外力反抗静电力做功则应等于电荷处在场中的静电势能(用W表示)的增量: A=△W=W(Q)-W(P) Ap-0=PF. d=golE.d/=W(P)-W(@)=-AW 其中,W(P)、W(⑨)分别为电荷qo在场E中P、Q点的电势能。 上述表明:电场力做正功,则是以减少电势能为代价;电场力做负功,则电势能增 加。释义如下: 若Ao>0,则-△W>0.∴△W<0即W(Q)-W(P)<0,得W(Q)<W(P),末的电势 能比初的电势能低。 着重指出几点 (1)电荷qo在q之场E中任一点具有一定的电位能W,此W是体系所共有的的,实 为q与q的相互作用能,故W不能完全反映场性质。(如同库仑力F反映q与E两因素 样,故W不能用于描述场)。 ()电势能差是绝对的:△H=%Ed,与电势能零点参考的选取无关:但电势 能是相对的,即与电势能零点的选取有关 例:当q0距q无限远时,相互作用能为零,W。=0,故场中某点P处的电势能等于 场力将由该点移至无限远所做的功:W(P)=JqEd (3)电势能是标量,有正、负之分,电势能的高、低点要从体系考虑。 3、电势差及电势 W与qo之比与q无关,仅反映场属性,此即申势U (1)电势差 UPO(Up -Uo) w(P)-w(Q) ∫E 即单位正电荷在场中P、Q两点的电势能之差,反映场本身在P、Q两点的属性
1－5－3 能。在静电场中可引入静电势能：外力反抗保守力做功等于物体系势能的增量；对于静 电场中，外力反抗静电力做功则应等于电荷处在场中的静电势能（用 W 表示）的增量： A W W(Q) W(P) P →Q = = − 或 A F dl q E dl W P W Q W Q P Q Q P P→ = = 0 = ( ) − ( ) = − 其中， W (P) 、W (Q) 分别为电荷 0 q 在场 E 中 P、Q 点的电势能。 上述表明：电场力做正功，则是以减少电势能为代价；电场力做负功，则电势能增 加。释义如下： 若 APQ 0 ，则− W 0,W 0,即W(Q) −W (P) 0 ，得 W (Q) W (P) ,末的电势 能比初的电势能低。 着重指出几点： (1) 电荷 0 q 在 q 之场 E 中任一点具有一定的电位能 W，此 W 是体系所共有的的，实 为 0 q 与 q 的相互作用能，故 W 不能完全反映场性质。（如同库仑力 F 反映 0 q 与 E 两因素 一样，故 W 不能用于描述场）。 (2) 电势能差是绝对的： = − Q P W q E dl 0 ，与电势能零点参考的选取无关；但电势 能是相对的，即与电势能零点的选取有关。 例：当 0 q 距 q 无限远时，相互作用能为零， W = 0 ，故场中某点 P 处的电势能等于 场力将 0 q 由该点移至无限远所做的功： = P W(P) q E dl . 0 (3) 电势能是标量，有正、负之分，电势能的高、低点要从体系考虑。 3、电势差及电势 W 与 0 q 之比与 0 q 无关，仅反映场属性，此即电势 U 。 (1) 电势差 = − − = Q Q P PQ P E dl q W P W Q U U U 0 ( ) ( ) ( ) 即单位正电荷在场中 P 、Q 两点的电势能之差，反映场本身在 P、Q 两点的属性
(2)电势 ①用电势能定义: W(P) ②用电势差定义:若选Q点电势为0作为参考,则P点电势为 ∫Ed 对于电荷分布在有限域,常选U=0,有 实用中,选大地电势为零参考,U地=0 需要指出: a.电势差与电势零点的选取无关,具有绝对意义;而电势则不然。 b.电势差(即电压)与电势的关系为 EdI=EdCE C.场中某点电势能用电势表示为 W=qoSEdl=qoU 4、电势能和电势的单位 在SI制中,电势能和电势的单位均为导出单位。 电势能一一同于能量单位:焦耳(J) lev=16×10 lMep=10°ev,lGev=10°e 电势一一移动单位正电荷之功:伏特(V) 焦耳 1伏特,1=1 库仑 5、综述说明 (1)区别电势与电势能 空间某点的电势与有否试探电荷q无关,反映电场本身的性质
1－5－4 (2) 电势 ①用电势能定义： = = P P E dl q W P U 0 ( ) ②用电势差定义：若选 Q 点电势为 0 作为参考，则 P 点电势为 = Q P P U E dl 对于电荷分布在有限域，常选 U = 0 ，有 = P P U E dl 实用中，选大地电势为零参考， U地 = 0。 需要指出： a.电势差与电势零点的选取无关，具有绝对意义；而电势则不然。 b.电势差（即电压）与电势的关系为 P Q P Q Q P UPQ = E dl = E dl − E dl =U −U c.场中某点电势能用电势表示为 = = P P q UP W q E dl 0 0 4、电势能和电势的单位 在 SI 制中，电势能和电势的单位均为导出单位。 电势能——同于能量单位：焦耳（J）。 ev J 19 1 1.6 10− = ， Kev ev 3 1 =10 ， Mev ev 6 1 =10 ， Gev ev 9 1 =10 。 电势——移动单位正电荷之功：伏特（V）。 伏特 库仑 焦耳 1 =1 ， V C J 1 =1 。 5、综述说明 (1) 区别电势与电势能 空间某点的电势与有否试探电荷 0 q 无关，反映电场本身的性质；
电势能则与场中某点的qo大小正、负有关,为场及试探电荷所共有。 (2)电势是标量,有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图1-27加以分析,其中设q、 q本身代表正电荷: E二 q …>∞O 源 E go Ed 0 E·d0) 负场源电荷之场中远点电势高(p<0) 正场源场中/正q在远点处电势能低 电势能高低 负q在远点处电势能高 负场源中正荷在远点W高 负荷在远点W低 推论:ⅱ)正场源电荷的场中,近电荷处Up高;负场源电荷的情况则反之。U~r曲 线如图1-28所示。 r (a) 图1-28 ii)正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点;负电荷则相反
1－5－5 电势能则与场中某点的 0 q 大小正、负有关，为场及试探电荷所共有。 (2) 电势是标量，有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图 1-27 加以分析，其中设 q 、 0 q 本身代表正电荷： = − = = − = P P P P P E dl q W U W q E dl 0 0 , ( 0) 0 0 = = = = P P P P P E dl q W U W q E dl 0 0 , ( ) 0 0 (a) (b) 图 1-27 结论： ( 0) ( 0) P P V V 负场源电荷之场中远点电势高 正场源电荷之场中近点电势高 电势高低 电势能高低 负荷在远点 低 正荷在远点 高 负场源中 负 在远点处电势能高 正 在远点处电势能低 正场源场中 W W q q 0 0 推论: i) 正场源电荷的场中，近电荷处 UP 高；负场源电荷的情况则反之。 U ~ r 曲 线如图 1-28 所示。 (a) (b) 图 1-28 ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；负电荷则相反。 ⊝ • 源 P ∞ E ♁ • － 源 P ∞ E q0 + q0 q − q
ii)沿电力线方向电势逐点降低。 三、电势的计算 1、方法之一:场强积分法 已知场E=E(xy2)分布,代入Un-0=-Ed,选取合适积分路径,即可计算 P、Q两点的电势差。若取UQ=0,则Up=E·d当电荷分布在有限区域时,可选 ∫E 例1:试求点电荷q电场中的电势U分布。 如图1-2%a),由场强积分法可得 Un= q Eo -4πE0p 例2:求均匀带电为q、半径为R的薄球壳的电势U分布 如图1-29(b),由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性 E()={4xr2 ,(r> 0.(rR域:U=「Ed=q r<R域:U=E+「E,=q 4TER 可见,壳外场点电势分布与点电荷时相同:壳内场点电势分布为常量,与壳面等势 此处,壳内外U连续,而E不连续。 (b) 图1-29
1－5－6 iii)沿电力线方向电势逐点降低。 三、电势的计算 1、方法之一：场强积分法 已知场 E E(x, y,z) = 分布，代入 − = Q P P Q U U E dl ，选取合适积分路径，即可计算 P 、Q 两点的电势差。若取 UQ = 0 ，则 = Q P P U E dl ; 当电荷分布在有限区域时，可选 UQ = U = 0 ，则 = P P U E dl 。 例 1：试求点电荷 q 电场中的电势 U 分布。 如图 1-29(a)，由场强积分法可得 = = = = P P r P P P r q r q dr U E dl E dr 0 2 4 0 4 例 2：求均匀带电为 q 、半径为 R 的薄球壳的电势 U 分布。 如图 1-29(b)，由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性 = 0,( ) ,( ) ( ) 4 2 0 r R r R r q E r = + = = = R r R r R q r R U E dr E dr r q r R U E dr 0 0 4 4 域： 内 外 域： 可见，壳外场点电势分布与点电荷时相同；壳内场点电势分布为常量，与壳面等势。 此处，壳内外 U 连续，而 E 不连续。 (a) (b) 图 1-29 q P r p ∞ E
例3:无限大均匀带电σ平面。 如图1-30,平面两侧均匀场E=,由于电荷分布无限,故不能取Un=0参考 可选取平面上U面=0参考,场中距平面为d的场点处电势为 U=「E·d=-Ed +0 02P 图1-30 图1-31 [拓展] (1)在例1中,若取r=1m处为电势零参考,则场中分布如何? (答案:U=9(- 4TEo r (2)由电力线走向可判定电位高低,如图1-31。 (3)荷电的粒子越过电势差为U伏的空间获动能为△T=qU。 2、方法之二:电势叠加原理法 先介绍电势叠加原理内容。当电荷分布于有限域内,可选U。=0,则 点电荷场中:U=「E,d=-q,(见前例 4丌Er 电荷组场中:U=∑E,d=∑厂E,d=∑U,(分立时)。 连续电荷分布:取dq=pd,ads,元dl,则dU= 4兀Er 1-5-7
1－5－7 例 3：无限大均匀带电 平面。 如图 1-30，平面两侧均匀场 0 0 2 E = ，由于电荷分布无限，故不能取 U = 0 参考。 可选取平面上 U面 = 0 参考，场中距平面为 d 的场点处电势为 = = − 面 P UP E0 dl E0 d 图 1-30 图 1-31 [拓展] (1) 在例 1 中，若取 r =1m 处为电势零参考，则场中分布如何？ （答案： 1) 1 ( 4 0 = − r q U ） (2) 由电力线走向可判定电位高低，如图 1-31。 (3) 荷电的粒子越过电势差为 U 伏的空间获动能为 T = qU 。 2、方法之二：电势叠加原理法 先介绍电势叠加原理内容。当电荷分布于有限域内，可选 U = 0 ，则 点电荷场中： = = r r q U E dl 4 0 ，（见前例 1）。 电荷组场中： = = = i i r i i r U Ei dl Ei dl U ，（分立时）。 连续电荷分布：取 dq = dv, ds, dl ，则 r dq dU 4 0 = ，而 = r dq U 4 0 1 +σ d •P 0 2 0 x U A B
例1:电偶极子的电势。 选用球坐标系变量表述,用U=∑U=U4+U-,如图132,所以 4rc0r+4丌E04丌60F 其中,=r-c0S日、r=r+cosb。因r>l,r;=A、V05b2 r-r+≈ Icos,故 lcos Pcos p·F 4z d 内 r 图1-32 图 例2:已知空间电荷分布具有球对称性,p=pe(r,a为常数),求空间距中心R 处的U分布。 分析一如图1-3,满足川→0,电荷分布于有限区域,仍可选U=0 ()可用场强积分法:先用高斯定理求出E分布,再由Up=JEb积分便可 得结果。 (2)也可用电势叠加原理做:物理思想丰富,但需注意过场点P、半径为R 的球面内、外区域电荷对P点的U贡献计算有别: 内部电荷相当于集中于之位:U=∠ mdi R 外部电荷贡献需多球层叠加,每一层对内等势:U tEO 1-5-8
1－5－8 例 1：电偶极子的电势。 选用球坐标系变量表述，用 U = U = U+ +U− i i ，如图 1-32，所以 + − + − + − − = − = r r q r r r q r q U 4 0 4 0 4 0 其中， cos 2 cos 2 l r r l r+ = r − 、− = + 。 因 r l ， 2 2 2 2 cos 4 r l r+ r− = r − 、 r− − r+ l cos ，故 3 0 2 0 2 0 4 4 cos 4 cos r P r r P r ql U = = 图 1-32 图 1-33 例 2 *：已知空间电荷分布具有球对称性， ( , ) 0 e a r a为常数 r − = ，求空间距中心 R 处的 U 分布。 分析—如图 1-33，满足 → 0 r→ ，电荷分布于有限区域，仍可选 U = 0。 (1) 可用场强积分法：先用高斯定理求出 E 分布，再由 = R UP Edr 积分便可 得结果。 (2) 也可用电势叠加原理做：物理思想丰富，但需注意过场点 P、半径为 R 的球面内、外区域电荷对 P 点的 U 贡献计算有别： = = R R R r r d r U r d r R o U 外部电荷贡献需多球层叠加，每一层对内等势： 。 内部电荷相当于集中于 之位： ； 2 0 0 2 0 4 4 1 4 4 1 0 r r R P dr 内 · )θ r－ r+ r P － ＋ 0 l Z －q +q
qp p a 答案—1-11+4U4mE。RE0 +-(R+a)e -% 四、等势面电势梯度 1、等势面 (1)定义静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲面(或体)。此面即称等势 面。例如 点电荷U=9,凡r=常数的各点U相同,此面为球面 4 均匀带电Q的球壳内为等势区,U=U壳面 (②)规定象电力线一样形象描述场,用等势面疏密反映场的强弱,规定相邻两等 势面之间的电势差相等,即相邻等势面间△相同。 (3)性质 ①等势面处处与电力线(即电场)垂直 反证:如图1-34(a),若不垂直,则令单位正电荷在等势面上由P→P'移动一 元位移d,有 E· PP cose≠0 即P,P'点不等势,此与等势面矛盾,故 E (a) 图1-34 ②等势面密处E大、疏处E小
1－5－9 答案—— a R R a e a R q U U U − = + = + ( + ) 4 0 0 内 内 外 。 四、等势面 电势梯度 1、等势面 (1) 定义 静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲面（或体）。此面即称等势 面。例如： 点电荷 r q U 4 0 = ，凡 r = 常数的各点 U 相同，此面为球面； 均匀带电 Q 的球壳内为等势区， U = U壳面 。 (2) 规定 象电力线一样形象描述场，用等势面疏密反映场的强弱，规定相邻两等 势面之间的电势差相等，即相邻等势面间 U 相同。 (3) 性质 ① 等势面处处与电力线（即电场）垂直。 反证：如图 1-34(a)，若不垂直，则令单位正电荷在等势面上由 P →P 移动一 元位移 dl ，有 EPPcos 0 即 P,P 点不等势，此与等势面矛盾，故 2 = 。 (a) (b) 图 1-34 ② 等势面密处 E 大、疏处 E 小。 E dl θ E Δn
如图1346b,1=1Ed|=EM,(M小,所以E=|m0。在△U相 同下,Mn小处E大;Mn大处E小。 2、电势梯度 (1)方向导数和梯度 在标量场U(x,y,z)中,过场点P,U沿任意1方向的空间变化率 aU= lim AU= lim U(P)-U(P M→0 标量场U中过P点有无限多个方向,l任意,故方向导数有许多 V(p) 矢量分析中,任一标量场U之梯度定义为 大小—一等于标函数U沿其等值面法向的方向导数 方向一一为等值面法向且指向U的值增一侧。 梯度是矢量,记为 gradU aU 其中n为等值面单位法向,指向U→U+dU值增一侧,如图1-35。 U 无论 均是方向导数,只不过n方向是一般l方向中特殊者,沿n方 n 向导数最大。在相邻等势面间△相同的约定下,则因Mn<M,而有
1－5－10 如图 1-34(b)， U E dl E n , ( n小) Q P = ，所以 n U E n = →0 lim 。在 U 相 同下， n 小处 E 大； n 大处 E 小。 2、电势梯度 (1) 方向导数和梯度 在标量场 U(x, y,z) 中，过场点 P，U 沿任意 l 方向的空间变化率 l U P U P l U l U l l − = = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 标量场 U 中过 P 点有无限多个方向， l 任意，故方向导数 l U 有许多。 图 1-35 矢量分析中，任一标量场 U 之梯度定义为： 大小——等于标函数 U 沿其等值面法向的方向导数 n U ； 方向——为等值面法向且指向 U 的值增一侧。 梯度是矢量，记为 n n U gradU = 其中 n 为等值面单位法向，指向 U →U + dU 值增一侧，如图 1-35。 无论 l U ，还是 n U ，均是方向导数，只不过 n 方向是一般 l 方向中特殊者，沿 n 方 向导数最大。在相邻等势面间 U 相同的约定下，则因 n l ，而有 P P ’ l n l