第四章稳恒电流 前几章(真空、导体与电介质)为静电学,涉及静止电荷的电现象:本章论 述有关运动电荷知识。带电粒子运动伴有电量迁移而形成电流,若电流不随 而改变,则称为稳恒电流,即直流(DC)。 研究方法:路论,重点以金属导体为例研究规律及计算。 §1稳恒电流的闭合性及导电规律 电流 电荷的定向移动形成电流 1、产生电流的条件 产生电流需要两方面的条件 金属中:自由电子(本章以此为主) 存在可以自由移动的电荷即载流子{电解液、气体中:正负离子、电子流 半导体中:电子、空穴对 电场作用(本章以此为主) 有迫使电荷作定向运动的某种作用化学作用 机械作用等. 2、电流方向 惯例规定:正电荷流动的方向。多数情况下导电由负电荷引起,而正电荷沿 某方向定向运动与负电荷沿反方向运动产生相同效果(注:有例外,如霍耳效应) 、电流强度和电流密度矢量 1、电流强度I 金属中自由电子作无规则热运动,即使在T=0K,仍≈10°m/s,但 =0。故无宏观净电量迁移。 定向运动形成宏观净电荷迁移,此定向运动为漂移运动ν需由电场提供力作 用来完成,V漂虽小,约为10-4m量级,但却形成宏观电流。 电流强弱用电流强度Ⅰ描述,定义如下 4-1-1
4－1－1 第四章 稳恒电流 前几章（真空、导体与电介质）为静电学，涉及静止电荷的电现象；本章论 述有关运动电荷知识。带电粒子运动伴有电量迁移而形成电流，若电流不随 t 而改变，则称为稳恒电流，即直流(DC)。 研究方法：路论，重点以金属导体为例研究规律及计算。 §1 稳恒电流的闭合性及导电规律 一、电流 电荷的定向移动形成电流。 1、产生电流的条件 产生电流需要两方面的条件： . ; ( ); . ; ( ); , 机械作用等 化学作用 电场作用 本章以此为主 有迫使电荷作定向运动的某种作用 半导体中：电子、空穴对 电解液、气体中：正负离子、电子流 金属中：自由电子 本章以此为主 存在可以自由移动的电荷 即载流子 2、电流方向 惯例规定：正电荷流动的方向。多数情况下导电由负电荷引起，而正电荷沿 某方向定向运动与负电荷沿反方向运动产生相同效果（注：有例外，如霍耳效应）。 二、电流强度和电流密度矢量 1、电流强度 I 金属中自由电子作无规则热运动，即使在 T = 0K ，仍 u m s 6 热 10 ，但 u热 = 0 。故无宏观净电量迁移。 定向运动形成宏观净电荷迁移，此定向运动为漂移运动 v 需由电场提供力作 用来完成， v漂 虽小，约为 10 −4 s m 量级，但却形成宏观电流。 电流强弱用电流强度 I 描述，定义如下： dt dq I =
即导体中单位时间通过的某一给定截面的电量为通过该面的电流强度。(不涉及 导体截厢粗细和截面上电流详细分布)。 [说明] (1)I为标量,单位为:安培(A)—SI制中基本单位之 安=1库,1A=103mA=1064 (2)仅粗略描述单位时间内通过某一曲面(可大可小、可任意形状)的总电 量,不够点点详细,如图4-1所示。 S B (a)I相同,但分布有别 (b)高频趋肤 (c)电阻法探矿 (d)用电流场模拟静电场 图4-1 下面引入电流密度矢量J详细描述电流场分布。 2、电流密度矢量J J=J(x,y,z)是空间坐标的矢函数,其定义为 大小一导体中某点垂直电流方向单位时间、单位截面通过的电量 dt·d⊥ 方向一沿该处正电荷运动方向,即电流方向。 4-1-2
4－1－2 即导体中单位时间通过的某一给定截面的电量为通过该面的电流强度。（不涉及 导体截面粗细和截面上电流详细分布）。 [说明] (1) I 为标量，单位为:安培（A）—— SI 制中基本单位之一。 秒 1安 = 1库 ， A mA A 3 6 1 =10 =10 (2) 仅粗略描述单位时间内通过某一曲面（可大可小、可任意形状）的总电 量，不够点点详细，如图 4-1 所示。 (a) I 相同，但分布有别 (b) 高频趋肤 (c) 电阻法探矿 (d) 用电流场模拟静电场 图 4-1 下面引入电流密度矢量 J 详细描述电流场分布。 2、电流密度矢量 J J J (x, y,z) = 是空间坐标的矢函数，其定义为： = ⊥ 方向— 沿该处正电荷运动方向，即电流方向。 大小—导体中某点垂直电流方向单位时间、单位截面通过的电量 ; dt ds dq J E A 2 s 1 s B + V E + V
[说明] (1)J的单位为42,一般了=J(元,n),空间、时间而变,构成矢量场一 电流场。可引入电流线、电流管的概念: 电流线一一即J线,其上切向代表电流方向、数密度表示J的大小 电流管一一即由J线围成的管状区域。例:导线表面为一自然电流管 (2)J与电流密度p的关系 ①一种载流子:J=p=mv,v为漂移速率,n为荷电q的粒子数密度, 如图4-2 ②多种载流子:J=∑p节,。即使p=0(电中性),但并不代表J=0(因 为ν可不同) h=v 图 图4-3 3、I与J的关系 即强度与通量的关系,如图4-3所示。 ∴d=Jds,=J·ds= J cos e ds
4－1－3 [说明] (1) J 的单位为 2 m A ，一般 J J (r,t) = ，空间、时间而变，构成矢量场--- 电流场。可引入电流线、电流管的概念： 电流线——即 J 线，其上切向代表电流方向、数密度表示 J 的大小； 电流管——即由 J 线围成的管状区域。例：导线表面为一自然电流管。 (2) J 与电流密度 的关系 ① 一种载流子： J v nqv = = ，v 为漂移速率， n 为荷电 q 的粒子数密度， 如图 4-2； ② 多种载流子： = i i i J v 。即使 = 0 （电中性），但并不代表 J = 0 （因 为 v 可不同）。 图 4-2 图 4-3 3、I 与 J 的关系 即强度与通量的关系，如图 4-3 所示。 ∵ ⊥ ⊥ = = ds dI dt ds dq J ∴ dI = J ds = J ds = J cos ds ⊥ ds j υ h = v s =1
故 类似于电通量与场强的关系:=「E 三、电流连续性方程稳恒电流的闭合性 1、电荷守恒定律的数学表述 研究通量与电荷时间变化率的关系:在电流场中任取闭合面S,其体 积为V,如图4-4,其内含电荷总量q)为 小()=[mdr i ds q() 图4-4 单位时间内通过闭合面S流出的总电量为:千,据电荷守恒,此流出量 必等于面S内电荷的减少率,即 dq 此即电荷守恒定律的数学表述,也称之为电流连续性方程。它表明电流场中电流 线是有头有尾的起自正电荷减少处、止于正电荷增加处。 2、稳恒电流条件及闭合性 (1)稳恒电流条件 般了=(F,),电流场了总是伴随电场E(因为E推动q形成J),而该电
4－1－4 故 = s I J ds 类似于电通量与场强的关系： = s e E ds 。 三、电流连续性方程 稳恒电流的闭合性 1、电荷守恒定律的数学表述 研究 J 通量与电荷时间变化率 dt dq 的关系：在电流场中任取闭合面 S，其体 积为 V，如图 4-4，其内含电荷总量 q(t) 为 ( ) = v q t (r,t)dV 图 4-4 单位时间内通过闭合面 S 流出的总电量为： s J ds ，据电荷守恒，此流出量 必等于面 S 内电荷的减少率，即 dt dq J ds s = − 此即电荷守恒定律的数学表述，也称之为电流连续性方程。它表明电流场中电流 线是有头有尾的起自正电荷减少处、止于正电荷增加处。 2、稳恒电流条件及闭合性 (1) 稳恒电流条件 一般 J J (r,t) = ，电流场 J 总是伴随电场 E （因为 E 推动 q 形成 J ），而该电 s ds v q(t) j
场又是由导体各处(内、外及表面上)分布着的电荷p所激发,即 E 欲使电流J稳恒,即=J(),则需空间各处的g分布不随t而变,有=0 由电荷守恒得稳恒电流条件为 J·ds=0 (2)稳恒电流的闭合性 由付J·=0可得稳恒电流线的一个重要性质—一闭合性 稳恒电流从闭合面S某处流入的电流线条数与流出数相等,电流场中找不到 J线的源和尾,即J线闭合而不中断。 J线的闭合性就决定了稳恒电路是闭合电路。如图4-5,分析如下: +o Q R R (a) 图4-5 在图4-5(a)中,已充电的C,让其放电形成暂时电流,空间p乃至E分布变 化,因而J不稳定;在图4-5(b)中,若C换成电源,则电流线闭合。 3)说明点 ①空间电荷分布不变,不意味着电荷不动,而应是动态分布,即:任何地 方流失的电荷必被别处流来的电荷所补充。 ②稳恒电流对应的电场称为稳恒电场,仍遵从: 「Ed=pd,手Ed=0 故仍可有电势概念,不过相比静电场,稳恒电场要求要放宽些,静电场仅为稳恒 电场之特例。 4-1-5
4－1－5 场又是由导体各处（内、外及表面上）分布着的电荷ρ所激发，即： ρ → E → J 欲使电流 J 稳恒，即 J J (r) = ，则需空间各处的 q 分布不随 t 而变，有 = 0 dt dq ， 由电荷守恒得稳恒电流条件为 = 0 s J ds (2) 稳恒电流的闭合性 由 = 0 s J ds 可得稳恒电流线的一个重要性质——闭合性： 稳恒电流从闭合面 S 某处流入的电流线条数与流出数相等，电流场中找不到 J 线的源和尾，即 J 线闭合而不中断。 J 线的闭合性就决定了稳恒电路是闭合电路。如图 4-5，分析如下： (a) (b) 图 4-5 在图 4-5(a)中，已充电的 C，让其放电形成暂时电流，空间 乃至 E 分布变 化，因而 J 不稳定；在图 4-5(b)中，若 C 换成电源，则电流线闭合。 (3) 说明点： ① 空间电荷分布不变，不意味着电荷不动，而应是动态分布，即：任何地 方流失的电荷必被别处流来的电荷所补充。 ② 稳恒电流对应的电场称为稳恒电场，仍遵从： = s v E ds dV 1 0 ， = 0 l E dl 故仍可有电势概念，不过相比静电场，稳恒电场要求要放宽些，静电场仅为稳恒 电场之特例。 + Q − Q c R R I
四、欧姆定律(不含源) 1、欧姆定律的积分形式 欲形成电流I,则需电场力推动电荷定向运动,有了E,在导体两端就有电 压U,I与U的关系满足欧姆定律 或Ⅰ=GU R 其中R为电阻,反映导体对电流的阻碍作用,单位:Ω,且1kQ=103,Mg2=10°g G=称为电导,反映导体对电流的导通能力,单位:西门子 称Ⅰ=一为欧姆定律的积分形式,是因为其中各量均具有积分形式 R R 对于粗细均匀、材料均匀的导体,其电阻为 R= 式中p为电阻率(单位:g·m),l,s为几何尺寸。而电导率为 σ= 当导线的ρ、S任一或都不均匀时,基于上述R表示形式和电阻串联规律,S ρ积分流动点的函数:p=p(x,y,=).s=(x,y,x),积分路径l应沿电流线方向, s取与J垂直面,如图4-6。 dl= du 可见,R与电流方向有关。满足欧姆定律的媒质称为欧姆媒质。 4-1-6
4－1－6 四、欧姆定律（不含源） 1、欧姆定律的积分形式 欲形成电流 I，则需电场力推动电荷定向运动，有了 E ，在导体两端就有电 压 U ，I 与 U 的关系满足欧姆定律 R U I = ，或 I = GU 其中 R 为电阻，反映导体对电流的阻碍作用，单位： ，且 1kΩ =10 ,1MΩ =10 Ω 3 6 。 R G 1 = 称为电导，反映导体对电流的导通能力，单位：西门子。 称 R U I = 为欧姆定律的积分形式，是因为其中各量均具有积分形式： = s I J ds = l U E dl s dl R l = 对于粗细均匀、材料均匀的导体，其电阻为 s l R = 式中ρ为电阻率（单位： m ）， l，s 为几何尺寸。而电导率为 = 1 当导线的ρ、S 任一或都不均匀时，基于上述 R 表示形式和电阻串联规律，S、 ρ积分流动点的函数： = (x, y,z),s = (x, y,z) ，积分路径 l 应沿电流线方向， s取与J垂直面 ，如图 4-6。 图 4-6 可见，R 与电流方向有关。满足欧姆定律的媒质称为欧姆媒质。 I 1 s s 2 s j s dl = dr +
[说明两点] (1)p与R是不同的物理量 ρ描写导体本身特性,与材料、温度有关; R描写一段导体性质,除与上述有关外,还与几何形状、尺度等有关。 (2)导体或元件的伏安特性,有线性、非线性之分,其伏安曲线如图4-7 所示。线性时,R与I、U无关;非线性时,R与I、U有关(如:二极管)。 图 2、欧姆定律的微分形式 电流由电场推动电荷形成,故j~E有直接联系。 如图4-8,J与E方向相同,有 △ R 图4-8 将M=s,△U=E△,R=代入上式,并考虑方向得 σ△
4－1－7 [说明两点] (1) 与R 是不同的物理量。 描写导体本身特性，与材料、温度有关； R 描写一段导体性质，除与上述有关外，还与几何形状、尺度等有关。 (2) 导体或元件的伏安特性，有线性、非线性之分，其伏安曲线如图 4-7 所示。线性时，R 与 I、U 无关；非线性时，R 与 I、U 有关（如：二极管）。 图 4-7 2、欧姆定律的微分形式 电流由电场推动电荷形成，故 j E ~ 有直接联系。 如图 4-8， J 与 E 方向相同，有 R U I = 图 4-8 将 s l I J s U E l R = = = 1 , , 代入上式，并考虑方向得 I U I U j场 l s I U E
该式表明,J与E点点对应,当地的E推动当地的p形成J。E稳恒,则J也稳 恒;一旦E消失,则J也消失。 [推广] (1)以上E指稳恒场,非稳恒场时也成立 (2)以上不含非静电场力对应的场K,而当在电源内时有 =(E+ 五、电功率焦耳定律 1、电功电功率 电流通过导体时,正电荷从高电势到低电势。若电路两端电压为U,则当 单位的电荷通过它时,电场力做功为 A=gU=lUt 因而,电功为 W=A=lUt 而单位时间做功称为电功率 表明:若两端电压U,流入电流为Ⅰ,则此段电路吸收功率即为IU,与该电路 中用电器的性质无关。 单位为:(1)电功A—J,IKW·H=3.6×10°J称为一度电 (2)电功率p-W,10KW=10°W 2、焦耳定律 电流通过欧姆媒质时,其电阻为R,则电能以热的形式释放 热能:Q=A=U=12U2 R 热功率:P==12R=-焦耳定律;
4－1－8 J E = 该式表明， J 与 E 点点对应，当地的 E 推动当地的 形成 J 。E 稳恒，则 J 也稳 恒；一旦 E 消失，则 J 也消失。 [推广] (1) 以上 E 指稳恒场，非稳恒场时也成立； (2) 以上不含非静电场力对应的场 K ，而当在电源内时有 J (E K) = + 五、电功率 焦耳定律 1、电功 电功率 电流通过导体时，正电荷从高电势到低电势。若电路两端电压为 U ，则当 q 单位的电荷通过它时，电场力做功为 A = qU = IUt 因而，电功为 W = A = IUt 而单位时间做功称为电功率 IU t W P = = 表明：若两端电压 U ，流入电流为 I ，则此段电路吸收功率即为 IU，与该电路 中用电器的性质无关。 单位为：(1) 电功 A— J, 1KW·H =3.6×106 J 称为一度电； (2) 电功率 p— W ,10KW =103 W。 2、焦耳定律 电流通过欧姆媒质时，其电阻为 R，则电能以热的形式释放。 热能： t R U Q A IUt I Rt 2 2 = = = = ； 热功率： R U I R t Q P 2 2 = = = ---焦耳定律；
热功率密度:p=J·E=aE2 表示单位体积欧姆媒质所耗热功率。 推导如下:在导体内,取S=1、V=1的截面体元,如图4-9 则 图4-9 1=J,U=E,代入P=几,得p=JE=JE 对于欧姆媒质,J=aE,所以P=σE2 六、金属导电的经典微观解释 1、金属经典电子论 金属可视为晶格点阵上的原子实(微振动)与自由电子(热运动)之集合 忽略电子间的相互作用,遵从F=m(经典!),电子与晶格的作用仅考虑碰撞 时,用一次碰撞理论(即一次碰撞,电子动能即丧尽,散向何方随机)。 如图4-10,当无外电场时,自由电子参与无规则热运动v,其平均值为零 当有外电场作用时,自由电子参与两种运动:热运动(与E无关)、漂移运动 (与E有关),且u<<v 设电子数密度为n,则形成宏观电流为 = pu=-heu 以下求证(与E反向)。 2、欧姆定律的解释
4－1－9 热功率密度： 2 2 J p = J E = E = ，表示单位体积欧姆媒质所耗热功率。 推导如下：在导体内，取 S=1、V=1 的截面体元，如图 4-9。 则 图 4-9 I = J, U = E ，代入 P = IU ，得 p JE J E = = 。 对于欧姆媒质， J E = ，所以 2 2 J p = E = 。 六、金属导电的经典微观解释 1、金属经典电子论 金属可视为晶格点阵上的原子实（微振动）与自由电子（热运动）之集合。 忽略电子间的相互作用，遵从 F ma = （经典！），电子与晶格的作用仅考虑碰撞 时，用一次碰撞理论（即一次碰撞，电子动能即丧尽，散向何方随机）。 如图 4-10，当无外电场时，自由电子参与无规则热运动 v ，其平均值为零； 当有外电场作用时，自由电子参与两种运动：热运动 v （与 E 无关）、漂移运动 u （与 E 有关），且 u v。 设电子数密度为 n，则形成宏观电流为 J u neu = = − 以下求 u （ u与E反向 ）。 2、欧姆定律的解释 j
即导出电导率σ与微观量的关系。 E 匀加速 l 晶格 图4-10 图4-1 自由电子在电场E中获得加速度:a=-CE。因与晶格碰撞受阻,速度增加受限制。 下面考察相邻两次碰撞的细节 平均自由时间z 设相邻两次碰撞之间历经 平均自由程,其间平均速率为 l3=i+i≈节(∵u<v热运动速率) 所以,z=竺,且因v与E无关,故z也与E无关。在相邻两次之间,由初始漂移=0 至末速正,如图4-11,有 1=0+az 求得自由程内平均漂移速度为 E 2 将=2z代入之,得 E 2 mv 再将此式代入前述J=-ne,便得
4－1－10 即导出电导率 与微观量的关系。 图 4-10 图 4-11 自由电子在电场 E 中获得加速度： E m e a = − 。因与晶格碰撞受阻，速度增加受限制。 下面考察相邻两次碰撞的细节： 设相邻两次碰撞之间历经 平均自由程 平均自由时间 ，其间平均速率为 u = u + v v 3 （ u v 热运动速率） 所以， v = ，且因 v 与 E 无关，故 也与 E 无关。在相邻两次之间，由初始漂移 u0 = 0 至末速 1 u ，如图 4-11，有 E m e u u a a 1 = 0 + = = − 求得自由程内平均漂移速度为 E m u u e u 2 1 2 0 1 = − + = 将 v = 代入之，得 E mv e u 2 1 = − 再将此式代入前述 J neu = − ，便得 E − e + 晶格 u + 1 2 u1 u0 = 0 匀加速