§2载流回路的磁场 Biot- s Lant 以上给出闭合载流回路产生磁场的公式 B 此公式可看成回路上各电流元激发磁场的叠加,即B=dB。因而,相应的微 分形式为 该式为回路上任一电流元M在场点激发磁场的计算式,称之为毕奥-—萨伐尔 定律。 如图5-13,电流元l激发的dB垂直于l与F构成的平面(按右手螺旋定 则判定)。电流元在空间激发的dB是以自身为轴线大小对称、方向沿切向。电流 元在其两端延长线上不激发磁场 ldlt Idl 9 顺流积分dl 图5-13 图5-14 电流的磁场算例 1、载流直导线 如图5-14所示,分析各电流元Md在P点激发的磁场dB,方向相同,故可 代数和
5－2－1 §2 载流回路的磁场 一、 Biot − Sa vart s Law 以上给出闭合载流回路产生磁场的公式 = L r Idl r B 2 0 4 此公式可看成回路上各电流元激发磁场的叠加，即 = L B dB 。因而，相应的微 分形式为 2 0 4 r Idl r dB = 该式为回路上任一电流元 Idl 在场点激发磁场的计算式，称之为毕奥---萨伐尔 定律。 如图 5-13，电流元 Idl 激发的 dB 垂直于 Idl 与 r 构成的平面（按右手螺旋定 则判定）。电流元在空间激发的 dB 是以自身为轴线大小对称、方向沿切向。电流 元在其两端延长线上不激发磁场。 图 5-13 图 5-14 二、电流的磁场算例 1、载流直导线 如图 5-14 所示，分析各电流元 Idl 在 P 点激发的磁场 dB ，方向相同，故可 代数和。 Id l θ B r ˆ I I O R P ι{ θ1 θ r d B θ2 顺流积分 dl Idl
dB 4T r2 以下各量均用Rθ表示(例如l,r等) 因为 7=R ctg(T-6 R n e 所以 dl Rde n26 故 sin e de B= Ldp u/ Od=H0(os9B-cos02),方向为 4TRJ8 4TR [讨论] (1)设载流直导线线长2L,则 中垂面上:因cos1=-cosB2= 而有 R+L I 2L R2 延长线上:B=0 (2)若导线无限长,则=0、2=丌,有 B 其中θ为柱坐标系中的方向角单位矢量。以后用安培环路定理求解,可再给出此 果 (3)若P点在半无限长载流直导线、距一端为R处的垂面上,则因
5－2－2 sin 4 2 0 r Idl dB = 以下各量均用 R, 表示（例如 l,r 等）。 因为 l = R ctg( − ) = −Rtg sin( ) sin R R r = − = 所以 2 sin Rd dl = ， R d r dl = 2 故 d R I dB sin 4 0 = (cos cos ) 4 sin 4 1 2 0 0 2 1 = = = − R I d R I B dB ，方向为： 。 [讨论] (1) 设载流直导线线长 2L ,则 中垂面上：因 2 2 1 2 cos cos R L L + = − = ，而有 2 2 0 2 4 R L L R I B + = 延长线上： B = 0 。 (2) 若导线无限长，则 1 = 0 、 2 = ，有 R I B 2 0 = 其中 为柱坐标系中的方向角单位矢量。以后用安培环路定理求解，可再给出此 结果。 (3) 若 P 点在半无限长载流直导线、距一端为 R 处的垂面上，则因
0,=x、B,=r,而有 2、载流圆环轴线磁场 如图5-15所示载流圆环,在轴线上,因为l⊥F,各电流元l距P等远, 贡献dB等大 dB 4丌 但方向不同,相对电流元L两两配对,可知合成磁场沿z轴的k方向,故 db =dB cos e= Ho ldl cose 4丌r 又d=Rdp,cosb R ,故可统一用R、Z表述,有 cose do=Ho2/zR 方向沿:k 4丌(R2+z x d B d B I dll 图5-15 [讨论] (1)环心处的B 令Z=0,可给出
5－2－3 1 = , 2 = 2 ，而有 R I B 4 0 = 2、载流圆环轴线磁场 如图 5-15 所示载流圆环，在轴线上，因为 Idl r ⊥ ，各电流元 Idl 距 P 等远， 贡献 dB 等大 2 0 4 r Idl dB = 但方向不同，相对电流元 Idl 两两配对，可知合成磁场沿 Z轴的k方向 ，故 cos 4 cos 2 0 r Idl dBz = dB = 又 2 2 , cos R L R dl Rd + = = ，故可统一用 R 、Z 表述，有 2 3 2 2 2 2 0 0 2 0 ( ) 2 4 cos 4 R Z I R d r IR B BZ dBz + = = = = ，方向沿： k 。 图 5-15 [讨论] (1) 环心处的 B 令 Z=0，可给出 O R d B d B P Z I dl I dl θ I d r Z θ
B=0 2R (2)磁偶极子的磁场 当公》R时,载流圆环可视为磁偶极矩为m=S的磁偶极子。由于 (R2+z2)%3-z),则 B=Ao 2zR2I 4T Z 若令m=mR2k=S(磁偶极矩),则其轴线上场点的B为 02 B (3)以上求出了轴线上的磁场B,环两侧(上、下)B的大小对称、方向相 同。但场点不在轴线上时,B并非容易求解(参见有关《电动力学》内容) (4)若半圆环,则在环心处有 o 对应φ圆心角的载流圆弧,则在弧心处,有 B=9k,(即:B=园) (5)亥姆霍兹线圈的磁场分布,在实验中用到,参见教材小字部分(从略)。 3、载流螺线管中的磁场 如图5-16,单层密绕总长为2L、总匝数为N的载流Ⅰ螺线管,求轴上P点 之场 图5-16
5－2－4 k R I B 2 0 0 = (2) 磁偶极子的磁场 当 Z>>R 时， 载流 圆环可 视为磁 偶极矩 为 m IS = 的磁偶极 子。由于 2 3 3 2 2 (R + Z ) ~ Z ，则 k Z R I B 3 2 0 2 4 = 若令 m I R k IS = = 2 （磁偶极矩），则其轴线上场点的 B 为 3 0 2 4 Z m B = (3) 以上求出了轴线上的磁场 B ，环两侧（上、下） B 的大小对称、方向相 同。但场点不在轴线上时， B 并非容易求解（参见有关《电动力学》内容）。 (4) 若半圆环，则在环心处有 k R I B 4 0 = 对应 圆心角的载流圆弧，则在弧心处，有 k R I B 4 0 = ， （即： B B圆 2 = ） (5) 亥姆霍兹线圈的磁场分布，在实验中用到，参见教材小字部分（从略）。 3、载流螺线管中的磁场 如图 5-16，单层密绕总长为 2L 、总匝数为 N 的载流 I 螺线管，求轴上 P 点 之场。 2L ι β1 β β2 x dι χ R{ P 图 5-16
取管轴为x轴,原点在中间,场点坐标为x,单位长匝数n=N。沿螺线管 轴取妞宽电流,其位置在x=l处,将此电流视作圆电流:d′=nd,借用圆环 轴线上的场公式,得 dB= lo 4 因螺线管上各宽元d电流对P点之场的方向相同,故可代数和:B=「dB, 且以下统一于积分变量:B。 x-1=r tgb dB(…场点指定,x可视为定量) R+(x-0) RS B dB 代入之有 dB- onl in B dB B=dB=o& si= Hg (cos B1-cos B) 其中 L Br R2+(x+D)3 +L 0sB:=2m27 [讨论 (1)无限长螺线管轴线上场点:因B=0,B2=x,故B=n。实际上,管 5-2-5
5－2－5 取管轴为 x 轴，原点在中间，场点坐标为 x ，单位长匝数 L N n 2 = 。沿螺线管 轴取 dl 宽电流，其位置在 x = l 处，将此电流视作圆电流： dI = nIdl ，借用圆环 轴线上的场公式，得 i R x l R dI dB 2 3 2 2 2 0 [ ( ) ] 2 4 + − = 因螺线管上各宽元 dl 电流对 P 点之场的方向相同，故可代数和： B = dB ， 且以下统一于积分变量： 2 1 。 ∵ x − l = R ctg ∴ d R dl 2 sin = （ 场点指定， x 可视为定量） 又 3 3 2 3 2 sin [ ( ) ] R R + x − l = 故 2 2 3 2 2 sin [ ( ) ] R d R x l dl = + − 代入之有 d nI dB sin 2 0 = = = = − 2 1 (cos cos ) 2 sin 2 1 2 0 0 nI d nI B dB 其中 2 1 2 2 1 [ ( ) ] cos R x L x L + + + = 2 1 2 2 2 [ ( ) ] cos R x L x L + − + = [讨论] (1) 无限长螺线管轴线上场点：因 1 = 0, 2 = ，故 B nI = 0 。实际上，管
内为均匀场,非轴线上也具有此结果; (2)半无限长螺线管一端轴线上:因月1=,B2=丌,故B=山nl; (3)可外推至:方截面或其它截面长螺线管的场仍具此形式;多层螺线管参 见教材 (4)螺线管磁场与条形磁铁的磁场具有相似性 5-2-6
5－2－6 内为均匀场，非轴线上也具有此结果； (2) 半无限长螺线管一端轴线上：因 1 = , 2 = 2 ，故 B nI 0 2 1 = ； (3) 可外推至：方截面或其它截面长螺线管的场仍具此形式；多层螺线管参 见教材。 (4) 螺线管磁场与条形磁铁的磁场具有相似性