§3互感与自感 作为感生电动势的进一步讨论,本节就两线圈情况据磁通来源不同研究互感、自感 电动势。 、互感与自感现象 1、两载流线圈 如图6-19的任意形状载(变)流(1)、2(t)的回路,各N1N2匝 (t) 图6-19 (1)对于线圈L1 40)→B回路磁链v1=6自感电动势 L2回路磁链v12--512互感电动势 (2)对于线圈L2 2(1)→)By中产生v21--E2互感电动势 L2中产生v2--2自感电动势 E1、E2为1、2线圈中电流变化在各线圈自身引起的电动势,为自感现象 E12、E2为它线圈中电流变化在自线圈中引起的电动势,为互感现象。 2、一载流线圈(自感) 如图620(a),R与L的直流电阻相同,A、B为相同的灯泡,电键K合上:A先 亮、B后亮,渐同亮(自感作用) 如图6-20(b),L的电阻较小,原接通,灯泡不甚亮。K打开:灯猛亮然后熄灭(自
6－3－1 §3 互感与自感 作为感生电动势的进一步讨论，本节就两线圈情况据磁通来源不同研究互感、自感 电动势。 一、互感与自感现象 1、两载流线圈 如图 6-19 的任意形状载（变）流 ( ) 1 i t 、 ( ) 2 i t 的回路，各 1 2 N ,N 匝。 (1) 对于线圈 L1： 回路磁链 — — 互感电动势 回路磁链 — — 自感电动势 2 12 12 1 11 11 1 1 ( ) ( ) L L i t → B t (2) 对于线圈 L2 ： 中产生 — — 自感电动势 中产生 — — 互感电动势 2 22 22 1 21 21 2 2 ( ) ( ) L L i t → B t 11 、 22 为 1、2 线圈中电流变化在各线圈自身引起的电动势，为自感现象。 12 、 21 为它线圈中电流变化在自线圈中引起的电动势，为互感现象。 2、一载流线圈（自感） 如图 6-20(a) ，R 与 L 的直流电阻相同，A、B 为相同的灯泡，电键 K 合上：A 先 亮、B 后亮，渐同亮(自感作用)。 如图 6-20 (b)，L 的电阻较小，原接通，灯泡不甚亮。K 打开：灯猛亮然后熄灭(自 N1 N2 L1 L2 ( ) 1 i t ( ) 2 i t B(t) 图 6-19
感作用) B L L K K E E 图6-20 3、生活实例 变压器原、付边无电联系,传输能量靠互感现象。 日光灯镇流器一一自感,与起辉器配合起动日光灯,且稳流 二、互感系数M 1、互感M 两线圈L1、L2’见图6-19。现考虑一个线圈载流i),而另一不载流,分析互感磁 通及电动势 (1)L中载流l1(t i(1)→B(1)→v2由以下因素决定: L中电流i(t) L,L2匝数、形状、尺寸 当这些确定后, L1,L2相对位置 周围介质(非铁磁质) l1增大多少倍,v2亦增大多少倍,即 V12∝h1 引进互感系数M12,反映以上因素(除i外)对v2的影响,则有 (2)L2中载流L2(1) 同上理由,可得
6－3－2 感作用)。 3、生活实例 变压器原、付边无电联系，传输能量靠互感现象。 日光灯镇流器——自感，与起辉器配合起动日光灯，且稳流。 二、互感系数 M 1、互感 M 两线圈 L1、L2 ，见图 6-19。现考虑一个线圈载流 i(t) ，而另一不载流，分析互感磁 通及电动势。 (1) L1 中载流 ( ) 1 i t 1 1 12 i (t) → B (t) → 由以下因素决定： 周围介质（非铁磁质） 相对位置 匝数、形状、尺寸 中电流 1 2 1 2 1 1 , , ( ) L L L L L i t 当这些确定后， 1 i 增大多少倍， 12 亦增大多少倍，即 12 1 i 引进互感系数 M12 ，反映以上因素（除 1 i 外）对 12 的影响，则有 12 12 1 = M i (2) L2 中载流 ( ) 2 i t 同上理由，可得 A A L B E K R L K E R (a) (b) 图 6-20
y21=M212 可以证明(见教材附录):M,=M,≡M,称互感系数,简称互感,有 v12=Mi1,v21=Mi2 互感电动势 因为6=4y,其中并不区分是由何回路激发的,所以互感电动势E互为 dt dhi1 dt 21 3、讨论 (1)M的单位可由M=y,或M=-()y确定 SI制中:1韦伯=1伏秒 ≡1享利(H 安培安培 H=10mH=100H 1Wb=IT. m=lV. S (2)M的物理意义 M有两式定义,可如下两个方面理解 M=y:某回路中通有单位电流时,在另一回路中的磁通匝链。反映两通电线 圈互相提供磁通的耦合能力。当M为常量时,常用此式求M M=-E(a):某回路中电流变化一单位时,在另一回路中感生的电动势,描 述了一个线圈电流变化在另一线圈中感生电动势的能力。 (3)M可正可负,可大可小 M大表示为强耦合,实现无漏磁M达最大:M小为弱耦合; 当外来磁通与回路本身磁通指向相同,即场相互加强时,M>0; 当外来磁通与回路本身磁通指向相反,即场相互削弱时,M<0 (4)若回路周围磁介质为非铁磁性,则M与Ⅰ无关:又若两回路大小、形状、匝数 即相对位置不改变,则M为常数
6－3－3 21 21 2 = M i 可以证明（见教材附录）： M12 = M21 M ，称互感系数，简称互感，有 12 1 = M i ， 21 2 = M i 2、互感电动势 互 因为 dt d = − ，其中并不区分 是由何回路激发的，所以互感电动势 互 为 = − = − dt di M dt di M 2 21 1 12 3、讨论 (1) M 的单位可由 i M = ，或 1 ( ) − = − dt di M 确定 SI 制中： 亨利（ ） 安培 伏 秒 安培 韦伯 1 1 1 H = H mH H 3 6 1 =10 =10 1Wb = 1T m = 1V S 2 (2) M 的物理意义 M 有两式定义，可如下两个方面理解 i M = ：某回路中通有单位电流时，在另一回路中的磁通匝链。反映两通电线 圈互相提供磁通的耦合能力。当 M 为常量时，常用此式求 M ； 1 ( ) − = − dt di M :某回路中电流变化一单位时，在另一回路中感生的电动势，描 述了一个线圈电流变化在另一线圈中感生电动势的能力。 (3) M 可正可负，可大可小 M 大表示为强耦合，实现无漏磁 M 达最大； M 小为弱耦合； 当外来磁通与回路本身磁通指向相同，即场相互加强时， M >0； 当外来磁通与回路本身磁通指向相反，即场相互削弱时， M <0； (4) 若回路周围磁介质为非铁磁性，则 M 与 I 无关；又若两回路大小、形状、匝数 即相对位置不改变，则 M 为常数
互感电流的方向,可根据Lenz'sLaw确定,与互感电动势同向。 (5)电感符号:如图6-21 变压器 无铁芯 有铁芯 如图6-21 三、自感系数L 如图6-22,谈论一线圈:载流i(t)。同上述互感分析思路。 ()→B()=4单1O)dlxF →v1=|B·ds 在各几何尺寸、形状、位置及匝数一定下, B(1) v∝i,引入自感系数L,有 VL=Li 其中L可简称为自感(或电感)。自感电动势为 图 定φ正负 绕向 E2正方向 图6-23
6－3－4 互感电流的方向，可根据 Lenz’s Law 确定，与互感电动势同向。 (5) 电感符号：如图 6-21 三、自感系数 L 如图 6-22，谈论一线圈：载流 i(t) 。同上述互感分析思路。 → = → = B ds r i t dl r i t B t L L 3 0 ( ) 4 ( ) ( ) 在各几何尺寸、形状、位置及匝数一定下， i L ，引入自感系数 L ，有 Li L = 其中 L 可简称为自感（或电感）。自感电动势为 dt di L = −L i(t) B(t) L 图 6-22 L正方向 i 图 6-23 n ˆ 定 正负 绕向 L n ˆ → L 无铁芯 有铁芯 变压器 1 u 2 u 如图 6-21 • •
着重指出: (1)L的单位同于M:亨利(H); (2)E1中的负号表明:E1对电流的变化总起阻碍作用(电磁惯性); (3)L恒正,对应有关正方向如图6-23所示 (4)求L的方法 ①实验法测量L ②计算法求L:磁链法设→B→v(x1)→L=y(与I无关) 设→B→(0)→61(x)→>L=-6 dt 磁能法L=Wm Hdr 互感的计算方法类似上述 四、互感M与自感L的关系线圈串联的总自感 1、无漏磁理想情况 考虑两线圈中每一线圈产生的磁通量对于每一匝而言相同,且全部穿过另一线圈的 每一匝一—一理想无漏磁 设线圈L通电l1、N1匝,工作磁通为(即每匝磁通),则 v1=N1,W12=N2p1(无漏磁条件) N1%. M 另设线圈L2通电l2、N2匝,工作磁通为,则 y2=N22,v21=N1中2 N292 M=M 综合以上两分别通电情况,有 N2.Np2=L12 M2=M12M21=1,12
6－3－5 着重指出： (1) L 的单位同于 M ：亨利（H）； (2) L 中的负号表明： L 对电流的变化总起阻碍作用（电磁惯性）； (3) L 恒正，对应有关正方向如图 6-23 所示； (4) 求 L 的方法 ① 实验法测量 L 。 ② 计算法求 L ：磁链法 设 I I B I L → →( ) → = （与 I 无关）。 设 dt di L dt di i B t L L → →( ) → ( ) → = − 。 磁能法 2 2 1 i W L = m ， Wm = B HdV 2 1 互感的计算方法类似上述。 四、互感 M 与自感 L 的关系 线圈串联的总自感 1、无漏磁理想情况 考虑两线圈中每一线圈产生的磁通量对于每一匝而言相同，且全部穿过另一线圈的 每一匝——理想无漏磁。 设线圈 L1 通电 1 I 、 N1 匝，工作磁通为 1 （即每匝磁通），则 11 = N11， 12 = N21 （无漏磁条件） 1 1 1 1 11 1 I N I L = = ， 1 2 1 12 I N M M = = 另设线圈 L2 通电 2 I 、 N2 匝，工作磁通为 2 ，则 22 = N22 ， 21 = N12 2 2 2 2 I N L = ， 2 1 2 21 I N M M = = 综合以上两分别通电情况，有 1 2 2 1 2 1 2 1 12 21 2 L L I N I N M = M M = =
∴M=√LL2 其中的M仅指大小,不含正负。 2、有漏磁的一般情况 引入耦合系数K:0≤K≤1,则 M=K√L1L2 K=1对应无漏磁:K=0对应无耦合。一般地,K〈1,有 M〈√LL2 3、两线圈串联 两线圈串于一体,则整体总自感与原分立时各自的自感、互感之间的关系如下 (1)顺串 设原来未串时L1,L2和M,则顺串后同,且B相互加强 N 图6-24 如图6-24:1→2连接,或1→>2′连接。因为原未串联时 v1=v1+v21=L1 v2=v2+v12=L2I+M 所以,顺串后总磁通、总自感分别为 y=v1+v2=(L1+L2+2M L+L2+2M>L1+L2 (2)反串 如图6-24:→2连接,(或1-2连接),同理得L=L1+L2-2M(M>0)
6－3－6 ∴ M = L1L2 其中的 M 仅指大小，不含正负。 2、有漏磁的一般情况 引入耦合系数 K ：0 K 1 ，则 M = K L1L2 K = 1 对应无漏磁； K = 0 对应无耦合。一般地， K 1 ，有 M L1L2 3、两线圈串联 两线圈串于一体，则整体总自感与原分立时各自的自感、互感之间的关系如下 (1) 顺串 设原来未串时 1 2 L ,L 和 M ，则顺串后同 I ，且 B 相互加强。 如图 6-24：1 →2 连接 ，或 1→2 连接。因为原未串联时 = + = + = + = + L I MI L I MI 2 22 12 2 1 11 21 1 所以，顺串后总磁通、总自感分别为 (L L 2M)I =1 + 2 = 1 + 2 + L1 L2 2M L1 L2 I L = = + + + (2) 反串 如图 6-24：1 →2 连接，（或 1—2 连接），同理得 2 ( 0) L = L1 + L2 − M M 。 N1 N2 1 1 2 2 图 6-24
五、自感磁能和互感磁能 电容器储能:W=CU2 OU, 电感器也储能:储的是磁能,且电感还有一个功能,即限(扼)流 1、自感磁能 分析过程 线圈电感为L,电阻为R,如图6-25组成电路 i(1) E 2 图6-25 K→>1:接通电源,由于自感电动势E=-L的存在,而使电路中i不能立刻 0→Ⅰ=二(稳定值)要经一段时间,i渐大: i的存在:通过R产生焦耳热[2Ra Ez的存在:对电源而言是反电动势,电源需抵抗E1做额外的功,此 功即储于线圈内一一线圈储有磁(场)能。 K→2:上述过程达I后,让L放出磁能。此时i减少,E1的方向与上述相反,此 时它相当于电源(电阻的耗能) 计算公式 K→1:某瞬时1,1=1(.1=∠im时间,电源反抗E做功为 dA=-(E, idt)= Lidi 全过程中,电源做功为
6－3－7 五、自感磁能和互感磁能 电容器储能 ： QU C Q Wc CU 2 1 2 2 1 2 2 = = = ， 电感器也储能：储的是磁能，且电感还有一个功能，即限（扼）流。 1、自感磁能 [分析过程] 一线圈电感为 L，电阻为 R，如图 6-25 组成电路。 K →1 ：接通电源，由于自感电动势 dt di L = −L 的存在，而使电路中 i 不能立刻 R I 0 → = （稳定值）要经一段时间， i 渐大： i 的存在：通过 R 产生焦耳热 t i Rdt 0 2 L 的存在：对电源而言是反电动势，电源需抵抗 L 做额外的功，此 功即储于线圈内——线圈储有磁（场）能。 K →2 ：上述过程达 I 后，让 L 放出磁能。此时 i 减少， L 的方向与上述相反，此 时它相当于电源（电阻的耗能）。 [计算公式] K →1 ：某瞬时 t ， dt di i = i(t), L = −L 。历经 dt 时间，电源反抗 L 做功为 dA idt Lidi = −( L ) = 全过程中，电源做功为 R L i(t) K 1 2 图 6-25
a=dA= Lidi=-LI 以能量形式储于线圈内。 K→2:短接时,E做正功 f-2b=L=21 综上可见:线圈载流Ⅰ所储磁能,即自感磁能为 W,=-LI 该式对中间态也成立。 2、互感磁能 「分析过程 两相邻线圈L1,L2,如图6-26电路。 l2 K L3 L K2 82 图6-2 两线圈(R,L1)M(R2,L2),各自接电源E1,E2,在两线圈中建立电流,最终 达稳值 建立电流过程中,i(1),i2()均变化,产生三个方面的效果: (1)电阻上R1,R2产生热量 (2)两回路线圈中建立自感磁能W1,W2 (3)各在对方线圈内产生互感电动势E2、E21
6－3－8 = = = 2 0 2 1 A dA Lidi LI I 以能量形式储于线圈内。 K →2 ：短接时， L 做正功 = = = I A L idi Lidi LI 0 2 2 1 综上可见：线圈载流 I 所储磁能，即自感磁能为 2 2 1 W LI L = 该式对中间态也成立。 2、互感磁能 [分析过程] 两相邻线圈 1 2 L ,L ，如图 6-26 电路。 两线圈 ( , ) ( , ) R1 L1 R2 L2 ⎯M→ ，各自接电源 1 2 , ，在两线圈中建立电流，最终 达稳值 2 1 I I 。 建立电流过程中， ( ) , ( ) 1 2 i t i t 均变化，产生三个方面的效果： (1) 电阻上 1 2 R , R 产生热量； (2) 两回路线圈中建立自感磁能 1 2 W , W ； (3) 各在对方线圈内产生互感电动势 12 、 21 。 M 1 K1 L1 L2 R1 R2 2 K2 1 i 2 i 图 6-26
电源除完成(1)、()中所需能量外,还需克服E2E21再做功,以互感磁能的形式储于线 圈1、2中。 「公式推导 L中:0→1,L中40:01,并且E3=么、,全过程 d i 中,电源抵抗互感电动势做总功为 4+4=山-=M+) =M d(i2)=M, 此功储于线圈1、2中,互感磁能为 W=M12 3、总磁能 M=Wi+W=LI+l,l2+M, 其中自感磁能W恒正;互感磁能W可正负,正则磁通加强、负则削弱。 两个线圈总磁能公式的对称形式 L1+L212+M12+M1l2 总磁能公式的二般形式 Wm=∑L2+∑Mll 此为K个线圈总自能与总互能之和一一总磁能。 六、计算示例 例1:求自感和互感 (1)如图6-27,单层密绕长螺线管(长l,N匝,且S<<2,体积v=s1) 设通电Ⅰ,则B=μn/=μ-,通过每匝磁通φ=BS(工作磁通),螺线管磁链 N-IS
6－3－9 电源除完成(1) 、(2)中所需能量外，还需克服 12 21 , 再做功，以互感磁能的形式储于线 圈 1、2 中。 [公式推导] L1 中 1 0 1 i (t): → I ，L2 中 2 0 2 i (t): → I ，并且 dt di M dt di M 1 12 2 21 = − , = − 。全过程 中，电源抵抗互感电动势做总功为 ( ) 0 0 1 1 2 21 1 12 2 1 2 2 1 2 = + = − − = + I I A A A i dt i dt M i di i di = = 1, 2 0 1 2 1 2 ( ) I I M d i i MI I 此功储于线圈 1、2 中，互感磁能为 1 2 W MI I I = 3、总磁能 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 W W W L I L I MI I M = L + I = + + 其中自感磁能 WL 恒正；互感磁能 WI 可正负，正则磁通加强、负则削弱。 两个线圈总磁能公式的对称形式 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 W L I L I MI I MI I m = + + + 总磁能公式的一般形式 = = = + k i k i j i j m i i ij i j W L I M I I 1 ( ) , 1 2 2 1 2 1 此为 K 个线圈总自能与总互能之和——总磁能。 六、计算示例 例 1：求自感和互感。 (1) 如图 6-27，单层密绕长螺线管（长 l ， N 匝，且 2 s l ，体积 v = s l ） 设通电 I ，则 l NI B nI = 0 = 0 ，通过每匝磁通 = BS （工作磁通），螺线管磁链 l N IS N NBS 2 = = = 0
根椐定义,得 Ln-S L ()2·ls=pn2T E(t 体积V=Sl (t) 图6-27 图6-28 (2)承上,若设通入交变电()= lo sin o t,试求EL di L=-Lo Io coso t 把自感L代入,且令自感电动势幅值为 EL=HonVoIo 则有 EL=ESn(ot-90° 可见在相位上E比滞后90,波形图参见图628 注1另法求解:用E1=N「E2d计算 因为螺线管表面处 1aB E涡=-R一,B=40mi 2 at 又N=n,s=nR2,所以 aB L o coso t at 8,=2TRNE -Hovnolo coso t (3)承(1),其上另套密绕N2匝线圈2,求M。 将N改用N1匝,设1中通电l1,则 6-3-10
6－3－10 根椐定义，得 ls n V l N l N S I L 2 0 2 0 2 0 ( ) = = = = (2) 承上，若设通入交变电 i(t) I sin t = 0 ，试求 L 。 L I t dt di L = −L = − 0 cos 把自感 L 代入，且令自感电动势幅值为 0 2 0 E n V I L = 则有 sin( 90 ) 0 L = EL t − 可见在相位上 0 L比i滞后90 ，波形图参见图 6-28。 [注] 另法求解：用 = N E dl L 涡 计算。 因为螺线管表面处 B ni t B E R 0 , 2 1 = 涡 = − 又 2 N = nl, s = R ，所以 nI t t B = 0 0 cos RNE vn I t L 2 0 cos 2 = == − 0 (3) 承(1)，其上另套密绕 N2 匝线圈 2，求 M。 将 N 改用 N1 匝，设 1 中通电 1 I ，则 图 6-27 图 6-28 N S l 体积 V=Sl T i(t) (t) L t 0 I