《电磁学》第二章 导体周围的静电场（2.1）静电场中的导体

第二章导体周围的静电场 导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产 生许多新现象和新应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程, 本章是上一章的应用、继续和发展。 §1静电场中的导体 导体的特性 导体内存在着自由电荷,它们在电场作用下可以移动 对于金属导体,若不受外场作用,又不带净电荷,则自由电子均匀地迷漫于 正离子点阵间,从宏观上看,导体处处电中性,即净电荷体密度ρ=0。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 、导体的静电平衡条件 1、静电平衡的定义 带电体系中的电荷不作宏观运动,因而电场分布不随t而变的状态。 静电平衡的条件 所有场源(包括分布在导体上的电荷)共同产生的电场之合场在导体内处处 为零,即E=0。 [分析]一一当某原因使导体内存在电场E。(施感外场)时,E推动自由电 子作定向运动,引起自由电荷重新分布一一静电感应,出现感应 电荷而产生附加场E,此时导体内存在 E—一外场,驱使自由电子运动,但此场恒定。 E’——附加场,起因于电子定向运动的积累,阻止电子无 休止地定向运动,此为变场。 E0与E'方向相反,当达到E0与E'在导体内完全抵消时,即 Eo+E 无净电力作用于电子,则它停止定向运动,电荷重新分布过程 结束—一静电平衡

2－1－1 第二章 导体周围的静电场 导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产 生许多新现象和新应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程, 本章是上一章的应用、继续和发展。 §1 静电场中的导体 一、 导体的特性 导体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动。 对于金属导体，若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于 正离子点阵间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度  = 0。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 二、 导体的静电平衡条件 1、静电平衡的定义 带电体系中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随 t 而变的状态。 2、静电平衡的条件 所有场源（包括分布在导体上的电荷）共同产生的电场之合场在导体内处处 为零，即 E = 0  。 [分析]——当某原因使导体内存在电场 E0  （施感外场）时， E0  推动自由电 子作定向运动，引起自由电荷重新分布——静电感应，出现感应 电荷而产生附加场  E  ，此时导体内存在： E0  ——外场，驱使自由电子运动，但此场恒定。 E  ——附加场，起因于电子定向运动的积累，阻止电子无 休止地定向运动，此为变场。 E0  与 E  方向相反，当达到 E0  与 E  在导体内完全抵消时，即 E = E0 + E = 0    无净电力作用于电子，则它停止定向运动，电荷重新分布过程 结束——静电平衡

可见一一导体处在电场中达静电平衡,导体上总有一定感应电荷分布,否则 无E’;导体上感应电荷产生的场与外场的合场在导体内处处为零, 表明每单方面在导体内存在,但其合结果使导体内域成为电力线禁 区,即不能有电力线穿越。 示例一一导体球置于均匀外电场E0中。图2-1(a)为原问题,图2-1(b)为 静电平衡时的情形:导体内E与E反方,至E内=0止;导体外E 与E'叠加,场发生畸变,成为E=E。+E Eo NE-/+ 图2 3、推论 (1)导体静电平衡时,导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵导体内处处E=0, 导体上任两点电势差U=Ed=0,即U=U (2)导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵E与等势面正交,且导体表面为一等势面, ∴E=E(n为导体面外法向单位矢)。 [两点说明] (1)导体表面是一自然的或特殊的等势面,实用中通过改变或选择电极形状 来控制空间场分布 (2)关于本章研究问题的方法有特别之处:因p、E分布相互制约,故不 宜研究达静电平衡的过程,而是以达到平衡为基础进一步分析问题

2－1－2 可见——导体处在电场中达静电平衡，导体上总有一定感应电荷分布，否则 无 E  ；导体上感应电荷产生的场与外场的合场在导体内处处为零， 表明每单方面在导体内存在，但其合结果使导体内域成为电力线禁 区，即不能有电力线穿越。 示例 ——导体球置于均匀外电场 E0  中。图 2-1(a)为原问题，图 2-1(b)为 静电平衡时的情形：导体内 E0  与 E  反方，至 E内 = 0  止；导体外 E0  与 E  叠加，场发生畸变，成为 E = E + E    0 。 (a) (b) 图 2-1 3、推论 (1) 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处 E = 0  ， ∴ 导体上任两点电势差  =  = Q P PQ U E dl 0   ，即 UP = UQ 。 (2) 导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵ E  与等势面正交，且导体表面为一等势面， ∴ E En   = （ n  为导体面外法向单位矢）。 [两点说明] (1) 导体表面是一自然的或特殊的等势面，实用中通过改变或选择电极形状 来控制空间场分布。 (2) 关于本章研究问题的方法有特别之处：因  、E  分布相互制约，故不 宜研究达静电平衡的过程，而是以达到平衡为基础进一步分析问题

三、静电平衡时导体上电荷分布 处在静电场中的导体,不管它本来带净电与否,达静电平衡总有一定电荷分 布,问这些电荷分布在何处?怎样分布? 1、导体内电荷体密度p=0,电荷仅分布于导体表面。 针对此结论,分述情况研究和分析如下 (1)实心导体 在导体内取任意闭面S作为高斯面,如图2-2(a所示 E.ds=0 又因为S为任意的,所以 0 即静电平衡时导体内电荷体分布为零,电荷只能分布于导体V的表面上 图2-2 (2)空腔导体(腔内无荷) 导体有腔,Ⅴ为复通域,表面S1+S2,如图2-2(b所示,分述如下 ①导体内p=0情况(理由同上分析)。 ②腔体内表面上无电荷分布,电荷仅分布于外表面(S1)上

2－1－3 三、静电平衡时导体上电荷分布 处在静电场中的导体，不管它本来带净电与否，达静电平衡总有一定电荷分 布 ，问这些电荷分布在何处？怎样分布？ 1、导体内电荷体密度  = 0 ，电荷仅分布于导体表面。 针对此结论，分述情况研究和分析如下： (1) 实心导体 在导体内取任意闭面 s 作为高斯面，如图 2-2(a)所示 E内 = 0   ，   = 0  E ds S   内 ， 即 q内 = 0 又因为 s 为任意的，所以  = 0 即静电平衡时导体内电荷体分布为零，电荷只能分布于导体 V 的表面上。 (a) (b) 图 2-2 (2) 空腔导体（腔内无荷） 导体有腔，V 为复通域，表面 S1 + S2 ，如图 2-2(b)所示，分述如下： ① 导体内  = 0 情况（理由同上分析）。 ② 腔体内表面上无电荷分布，电荷仅分布于外表面( 1 S )上

证明:在导体内取高斯面S,由于E=0,而Ed=0,即腔内表面上电 量代数和∑q=0。此外,腔内表面上处处不能有电荷,否则必某处 正、另处负(等量异号),在腔内即有从一处至另一处的电力线,而 沿电力线电势逐点降低,则腔体非等势,与腔体为等势体相矛盾。 结论:腔内表面无电荷分布,腔内空间场强处处为零,导体及其所围空间区 域构成的整体为等势区,其电势等于外表面处的电势值。 (3)导体腔(腔内有带电体) ①导体内ρ=0(理由同前分析)。 ②导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。 证明:作高斯面S如图2-3所示, 0 En·d=0 若腔内带电体带电+q,则内壁表面带电-q,根据电荷守恒,壳外表面上 有电荷总量+q分布 g q + 图2-3静电感应 ③若导体壳本身还带Q电荷,则内壁电荷分布不变(内部的场也不变),而外 表面上分布电荷总量为Q+q

2－1－4 证明：在导体内取高斯面 s ，由于 E内 = 0  ，而   = S E ds 0   ，即腔内表面上电 量代数和 q = 0 。此外，腔内表面上处处不能有电荷，否则必某处 正、另处负（等量异号），在腔内即有从一处至另一处的电力线，而 沿电力线电势逐点降低，则腔体非等势，与腔体为等势体相矛盾。 结论：腔内表面无电荷分布，腔内空间场强处处为零，导体及其所围空间区 域构成的整体为等势区，其电势等于外表面处的电势值。 (3) 导体腔（腔内有带电体） ① 导体内  = 0 （理由同前分析）。 ② 导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。 证明：作高斯面 s 如图 2-3 所示， E内 = 0     = 0  E ds s   内 q = 0 若腔内带电体带电 + q ，则内壁表面带电 − q ，根据电荷守恒，壳外表面上 有电荷总量 + q 分布。 图 2-3 静电感应 ③ 若导体壳本身还带 Q 电荷,则内壁电荷分布不变(内部的场也不变),而外 表面上分布电荷总量为 Q + q

2、电荷面分布函数a(x,y,z) 导体静电平衡时,电荷分布于表面,但确定σ(x,y,=)是有一定难度的 (1)一般情况 形状 o(xy=)与导体带电总量 等因素有关。即使周围引入不带 周围其它电荷的场 电的其它导体也会改变σ(x,y,)分布(静电感应,达到新的平衡)。 (2)特例一一孤立导体 其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面σ分布(相对分布)只 与导体形状有关:凸的地方(曲率大),G大:凹的地方(曲率小),G小。 Q 例如:孤立带电Q、半径R的导体球(壳),外表面04mP,电荷球面对 称分布:孤立无限大导体平板带电Q、面积S,各面G=9 四、导体外的电场分布 1、σ与E的关系 导体表面外附近点的场强可求出如下 △S △h 导体 n 图2-4 如图24作高斯面:A,M,万。由E卤= se. ds+SE ds+jE.ds

2－1－5 2、电荷面分布函数  (x, y,z) 导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定  (x, y,z) 是有一定难度的。 (1) 一般情况  (x, y,z) 与导体        周围其它电荷的场 带电总量 形状 等因素有关。即使周围引入不带 电的其它导体也会改变  (x, y,z) 分布（静电感应，达到新的平衡）。 (2) 特例——孤立导体 其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面  分布（相对分布）只 与导体形状有关：凸的地方（曲率大），  大；凹的地方（曲率小），  小。 例如：孤立带电 Q、半径 R 的导体球（壳），外表面 2 4 R Q   = ，电荷球面对 称分布；孤立无限大导体平板带电 Q、面积 S，各面 S Q 2  = 。 四、导体外的电场分布 1、 与 E 的关系 导体表面外附近点的场强可求出如下： 图 2-4 如图 2-4 作高斯面: s h n   ,  , 。由   = S q E ds 0   内  ， 得 0   s E ds E ds E ds   +  +  = 外 侧 内      

或E E [说明 (1)若在一导体附近引入另一导体,则原导体表面附近的场公式形式不变, 只不过其中的σ已变,对应于已调节到使导体内E=0为终态的a (2)公式中已含所有电荷及其他影响之贡献 (3)公式与无限大均匀带电a的平板之场公式E=差倍的解释: 导体 图2-5 如图2-5。先在导体上取面元As:因p,p'两点分居面内外,而且极接近面元 故可视As为无限大,有 再看其余面(S-A)上电荷以及其他电荷(除A外)在p,p'点之场 于p,p'点极近,除A外的所有电荷在p,p'之场设为Es。 最后,用叠加原理:因为点在导体内,所以E合=E+Es=0,即 2-1-6

2－1－6 即 0   s E s   =  0  E = 或 E n    0  = 。 [说明] (1) 若在一导体附近引入另一导体,则原导体表面附近的场公式形式不变, 只不过其中的  已变，对应于已调节到使导体内 E = 0  为终态的  。 (2) 公式中已含所有电荷及其他影响之贡献。 (3) 公式与无限大均匀带电  的平板之场公式 2 0   E =  差倍的解释： 图 2-5 如图 2-5。先在导体上取面元 s ：因 p, p  两点分居面内外,而且极接近面元， 故可视 s 为无限大，有 Ep n   2 0   = 、 Ep n   2 0    = − 再看其余面（ s − s ）上电荷以及其他电荷（除 s 外）在 p, p  点之场：由 于 p, p  点极近，除 s 外的所有电荷在 p, p  之场设为 ES  。 最后，用叠加原理：   = p  + S = 0 p E p E E    因为 点在导体内，所以 合 ，即 ES Ep n Ep     = −  = = 2 0  

故面外p点合场强为: E 上述可形象地理解为:场大一倍之因在于无限大平板两侧发出的电力线(两 侧等量)、在导体情况下则集中于一侧(导体内E=0),使面外场加倍,而成为2 2、场图分布 借助于电力线、等势面等工具形象化描述导体存在时的场分布,主要是电力 线的应用,主要论证以下诸点: 「感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值 中性孤立导体的电势为零,表面电荷密度处处为零 中性导体B接近带正电的导体时,U升,U降(负电时反之) 孤立导体接地后,表面电荷密度处处为零。(非孤立时则不然) 例:如图2-6,q在内部的移动只影响腔内的场,不影响腔外的场,但q电 量的变化则影响内、外的场。内、外表面电荷分布在P点之场为 图2-6 外表面电荷在P点激发的场:9 内表面电荷在P点激发的场:9,这是因为腔内的q与 4IEo(r+d)

2－1－7 故面外 p 点合场强为： E Ep ES Ep n p      2 0 2   合 = + = = 上述可形象地理解为：场大一倍之因在于无限大平板两侧发出的电力线（两 侧等量）、在导体情况下则集中于一侧（导体内 E = 0  ），使面外场加倍，而成为 0   。 2、场图分布 借助于电力线、等势面等工具形象化描述导体存在时的场分布，主要是电力 线的应用，主要论证以下诸点：          . ; ; ; 孤立导体接地后，表面电荷密度处处为零。（非孤立时则不然） 中性导体 接近带正电的导体 时， 升， 降（负电时反之） 中性孤立导体的电势为零，表面电荷密度处处为零 感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值 B A UB U A 例：如图 2-6，q 在内部的移动只影响腔内的场，不影响腔外的场，但 q 电 量的变化则影响内、外的场。内、外表面电荷分布在 P 点之场为 图 2-6 外表面电荷在 P 点激发的场： 2 4 0 r q  ； 内表面电荷在 P 点激发的场 ： 2 0 4 (r d) q  + ，这是因为腔内的 q 与 q －q q r P .0 . 导体 d

q在P点的合场为0所致。其余讨论从略 五、几个实用问题的理论解释 尖端放电 导体尖端a大,E=℃亦大,易击穿空气而放电。空气中存有少量电子 正 在E中被加速,碰撞中性分子使之电离成离子,正、负离子可自由移动,空 气击穿而成导体 ①与尖端异号电荷被吸引至尖端而中和一一尖端放电; ②与尖端同号电荷被排斥远离一一形成“电风”。 尖端放电时,其附近隐隐笼罩光晕一一电晕,黑夜中高压线附近可见此景 尖端放电之利弊:利—一场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针等: 弊一一浪费电能、引发火灾、爆炸等。 2、库仑定律的精确验证 内无电荷的空腔导体的电荷分布在外表面,这是高斯定理之结果,而高斯定 理由库仑定律导来,故我们给腔内表面送电荷,静电平衡后,按上述结果应分布 在外表面。若实测内表面无荷,则间接地证明库仑定律正确。此实验精度比库仑 扭称精度高。 3、静电屏蔽 基于空腔导体在静电平衡时,腔外电荷位置、申量变化均不影响腔内场,故 腔内电荷分布只由腔内带电体、内表面形状及它们的相对位置决定;但腔内电荷 (a)外部不影响内部 (b)接地后,内、外互不影响 图2-7 要影响腔外场,故腔外场受腔内电荷大小变化的影响,一旦导体接地,则此影响

2－1－8 − q 在 P 点的合场为 0 所致。其余讨论从略。 五、几个实用问题的理论解释 1、尖端放电 导体尖端  大， 0   E = 亦大，易击穿空气而放电。空气中存有少量电子， 在 E  中被加速，碰撞中性分子使之电离成 负 正 离子，正、负离子可自由移动，空 气击穿而成导体： ① 与尖端异号电荷被吸引至尖端而中和——尖端放电； ② 与尖端同号电荷被排斥远离——形成“电风”。 尖端放电时，其附近隐隐笼罩光晕——电晕，黑夜中高压线附近可见此景。 尖端放电之利弊：利——场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针等； 弊——浪费电能、引发火灾、爆炸等。 2、库仑定律的精确验证 内无电荷的空腔导体的电荷分布在外表面，这是高斯定理之结果，而高斯定 理由库仑定律导来，故我们给腔内表面送电荷，静电平衡后，按上述结果应分布 在外表面。若实测内表面无荷，则间接地证明库仑定律正确。此实验精度比库仑 扭称精度高。 3、静电屏蔽 基于空腔导体在静电平衡时，腔外电荷位置、电量变化均不影响腔内场，故 腔内电荷分布只由腔内带电体、内表面形状及它们的相对位置决定；但腔内电荷 (a)外部不影响内部 (b) 接地后，内、外互不影响 图 2-7 要影响腔外场，故腔外场受腔内电荷大小变化的影响，一旦导体接地，则此影响

排除,内、外完全“隔离”。具体说明参见图2-7。 应用:精密电磁仪器装在金属罩内,防止外界电场干扰 高压设备外罩接地金属栅,不影响之外的测量仪器; 高压带电作业的均压服。等 范氏起电机、引雷针 用电荷分布于导体表面及尖端放电解释。 六、补充例题 例1:相距甚远的两导体球,半径分别为R4、RB,现用一根细导线将它 们相连,并使它们带电,求面电荷之比2A=?。 解:两球相距甚远,可将两球各自视作独立,导线相连则等势。因电荷分 布于有限区域,故可以 FoRA 其中qA、qB可作为预先假设。由U4=U2得 qB R, Tr q Ro R qBR R 例2:两平行金属平板A、B,面积均为S,板间距为d比板面的长、宽小得 多,令A、B分别带上q4、qB电量,求两板上电荷分布 解:略边缘效应,设四个面的电荷分布各为σ1、a2、3、G4 方法一:运用高斯定理、电荷守恒定律解答。参见图2-8

2－1－9 排除，内、外完全“隔离”。具体说明参见图 2-7。 应用：精密电磁仪器装在金属罩内，防止外界电场干扰； 高压设备外罩接地金属栅，不影响之外的测量仪器； 高压带电作业的均压服。等 4、范氏起电机、引雷针 用电荷分布于导体表面及尖端放电解释。 六、补充例题 例 1：相距甚远的两导体球，半径分别为 RA 、 RB ，现用一根细导线将它 们相连，并使它们带电，求面电荷之比 = B A   ？。 解：两球相距甚远，可将两球各自视作独立，导线相连则等势。因电荷分 布于有限区域，故可以 A A A R q U 4 0 = ， B B B R q U 4 0 = 其中 A q 、 B q 可作为预先假设。由 UA =UB 得 B A B A R R q q = ∴ A B A B B A B B A A B A R R R R q q R q R q = =  = 2 2 2 2 4 4     例 2：两平行金属平板 A、B，面积均为 S，板间距为 d 比板面的长、宽小得 多，令 A、B 分别带上 A q 、 B q 电量，求两板上电荷分布。 解：略边缘效应，设四个面的电荷分布各为  1、 2 、 3、 4 。 方法一：运用高斯定理、电荷守恒定律解答。参见图 2-8。 ∵      + = + = S q S q B A 3 4 1 2     ，  2 = − 3，1 = 4

∴σ1= qataR aqi 2S 2S 方法二:用场叠加原理、电荷守恒解答 基础公式为E 运用在导体内的合场为零进行分析,结论同 A B a b 导体球 4 图2-8 图2-9 例3:如图2-9所示,已知R、r、q及接地条件,求导体球上感应电荷q′=? 解:选0点进行考察。运用势叠加原理及接地条件,有 4 4 R 而 a'ds 0 R 其中<1

2－1－10 ∴ S qA qB 2 1 +  = ， S qA qB 2 2 −  = 方法二：用场叠加原理、电荷守恒解答。 基础公式为 2 0   E = ，运用在导体内的合场为零进行分析，结论同 上。 图 2-8 图 2-9 例 3：如图 2-9 所示，已知 R 、r 、q 及接地条件，求导体球上感应电荷 q  = ? 。 解：选 O 点进行考察。运用势叠加原理及接地条件，有 0 4 1 4 0 0 =  + S R ds r q      而 q ds S  =  ∴ = 0  + R q r q 即 q r R q  = − 其中  1 r R 。 q 0 S r R q' 导体球 A B a b S σ1 σ2 σ3 σ4 d