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大学物理 第四节理想气体中的统计规律 研究对象:大量近独立粒子组成的体系 E=∑E,不计入相互作用势能 近独立 但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡 子系:体系内的粒子<冬典描述 量子描述 第2页共28页
大学物理 第2页 共28页 第四节 理想气体中的统计规律 一. 研究对象： 大量近独立粒子组成的体系 子 系： 体系内的粒子 经典描述 量子描述 近独立： E =Ei 不计入相互作用势能 但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡
大学物理 二.研究的问题 1.讨论体系中粒子按能量的最概然分布 出现概率最大 例: 个粒子a,b,c位于同一容器中,设粒子处于 左半(A和右半(B各为一种状态,求可能出现 的占据方式和分布。 a B 第3页共28页
大学物理 第3页 共28页 出现概率最大 二. 研究的问题 1 . 讨论体系中粒子按能量的最概然分布 例： 三个粒子a, b, c 位于同一容器中，设粒子处于 左半(A)和右半(B)各为一种状态，求可能出现 的占据方式和分布。 a A B b c
大学物理 A B W Lbc 1/8 2 abc 1/8 3 ab ac 3/8 C a a bC ac 3/8 ab 可能出现的占据方式(微观态):8种 可能的分布(宏观态):4种 每种微观态出现概率相同—等概率原理 第4页共28页
大学物理 第4页 共28页 A B W 1 2 3 4 5 6 7 8 abc abc ab c ac b bc a a bc b ac c ab 可能出现的占据方式（微观态）：8 种 可能的分布（宏观态）： 4 种 一. 二. 三. 四. 3/8 3/8 1/8 1/8 每种微观态出现概率相同 —— 等概率原理
大学物理 每种微观态出现概率相同—等概率原理 包括微观态多的分布出现概率大 包括微观态最多的分布,出现概率最大——最概然分布 讨论最概然分布的意义: 当粒子数足够多时,实际上所观察到的宏观态 最概然分布 2.条件:粒子总数:N 可占据能级:1,E2,E1… 每能级中粒子数:N1,N2…N… 各能级中不同状态:g1,g2,g1 第5页共28页
大学物理 第5页 共28页 每种微观态出现概率相同——等概率原理 包括微观态多的分布出现概率大， 包括微观态最多的分布，出现概率最大——最概然分布 讨论最概然分布的意义： 当粒子数足够多时，实际上所观察到的宏观态—— 最概然分布。 2.条件： 粒子总数： N 可占据能级： 1 , 2 , i 每能级中粒子数： N1 , N2 , Ni 各能级中不同状态： g1 , g2 , gi
大学物理 例: 经典粒子:E相同,L可不同~不同状态 粒子数守恒N=∑N=恒量 条件 能量守恒E∑N=恒量 即:N个粒子在E守恒条件下,如何分布在各能级、 各状态中,其实现的可能性最大? 第6页共28页
大学物理 第6页 共28页 例： 经典粒子： E 相同 p, L可不同 ~ 不同状态 条件 粒子数守恒 = = 恒量 i N Ni 能量守恒 = i = 恒量 i E Ni 即： N个粒子在 E 守恒条件下，如何分布在各能级、 各状态中, 其实现的可能性最大？
大学物理 3.思路: (1)求将N个粒子,按N2N2…N…这样的分布 放入各能级(1,62…E1…)的状态(g1,g 2 中去可能出现的占据六数目2=? (2)求2取极大值的分布:最概然分布 (3)在最概然分布下 每个能级上的粒子数= 能级中每个状态被占据的概率(E) N ? 第7页共28页
大学物理 第7页 共28页 3.思路： （1） ( ) i i i g g g N N N N , , , , , 1 2 1 2 1 2 放入各能级（ ， ）的状态 求 将 个粒子，按 这样的分布 中去可能出现的占据方式数目Ω =？ （2） 求Ω取极大值的分布：最概然分布 （3） 在最概然分布下 每个能级上的粒子数 = ? Ni 能级中每个状态被占据的概率 ( ) = = ? i i i g N f
大学物理 三.麦克斯韦—玻尔兹曼分布(MB分布) 特点:经典统计粒子彼此是可区分的 每个状态的粒子数没有限制 1.将N个可区分粒子分为能量组的可能方式 彼此对应 N,,N…N 2 M! (N-M1)! N1!(N-N1) (N-M1-N2)! (N-N1-N2) N3!(N-N1-N2-N3) 第8页共28页
大学物理 第8页 共28页 三. 麦克斯韦—玻尔兹曼分布（M—B分布） 特点： 经典统计 粒子彼此是可区分的 每个状态的粒子数没有限制 1. 将 N 个可区分粒子分为能量组的可能方式 !( )! ! 1 1 1 N N N N C N N − = !( )! ( )! 2 1 2 2 1 1 N N N N N N C N N N − − − − = !( )! ( )! 3 1 2 3 3 1 2 1 2 N N N N N N N N C N N N N − − − − − − − = 彼此对应 N1 , N2 Ni 1 , 2 i
大学物理 总分组方式(相容统计独立事件) N! N-N N-NI-N2 2.i 2每一能量组将N1个可区分粒子放入8 个状态中去的可能方式 例:将2个可区分粒子放入3个不同状态中去的可能 方式 32=9种 第9页共28页
大学物理 第9页 共28页 总分组方式（相容统计独立事件） = − − − = i i N N N N N N N N N N N N N N C C C ! ! ! ! ! 1 2 3 1 2 2 1 1 2.每一能量组将 Ni 个可区分粒子放入 i g 个状态中去的可能方式 例：将2个可区分粒子放入3个不同状态中去的可能 方式 3 2 = 9 种
大学物理 将2个可区分粒子放入3个不同状态的可能方式:32 将N1个可区分粒子放入g个不同状态的可能方式g1 将N2个可区分粒子放入g2个不同状态的可能方式g2 将N个可区分粒子放入g个不同状态的可能方式gA 将N12N2…N…个可区分粒子放入g12g2…g…个状态中 去的可能方式:g”g2…gx…=g 3.将N个粒子按N12…N…分组,并分别放入g1…8…个状态 中去的方式 N! 第10页共28页
大学物理 第10页共28页 将2个可区分粒子放入3个不同状态的可能方式： 2 3 1 1 1 1 N 将N 个可区分粒子放入g 个不同状态的可能方式：g 2 2 2 2 N 将N 个可区分粒子放入g 个不同状态的可能方式：g Ni 将Ni 个可区分粒子放入gi 个不同状态的可能方式：gi 去的可能方式： 将 N1 ,N2 Ni 个可区分粒子放入g1 , g2 gi 个状态中 = i N i N i N N i i g g g g 1 2 1 2 3. 中去的方式 将N个粒子按N1 ,Ni 分组，并分别放入g1 ,gi 个状态 = i N i i i i g N N Ω ! !