《电磁学》第三章 电介质（3.3）介质中的静电场方程

§3介质中的静电场方程 、引言与准备 1、循环关系 欲求介质中E一则需E(∵E=E+E→需q(p,o)→需P 5F,=q,或p=一V,P、口=P)一需知E(:F=5x,E,返回, 出现循环 表明:极化原因(E:自由电荷激发的外场、E:总场)和极化效果(E’: 由束缚电荷q激发)之间有反馈联系。 般地,P未知,q也难以求出,实验中q不易测量,因而求其中任一物 理量皆困难,需另辟途径,见以下介质中的高斯定理。 如若通过另辟溪径求得了循环中的某一物理量,则整个问题将迎刃而解。 2、极化电荷q激发的场E 介质极化,反过来对极化场的影响归结为:q'→E’,即代表介质宏观作用, 计及了E就已考虑了介质的影响,因而q激发E'的规律中只能用E0,切不可重 复! 极化电荷也是电荷,静止时激发静电场E=∫,满足的场方程为 E’·ds E’·dl=0 介质中安培环路定理 介质中电场满足的环路定理为 JEo d +JE 表明:电介质的存在归结为增加了一些新场源q'(激发E’),而未改变场的无旋 性,故在介质中的静电场中仍可引用电势U描述(注:此U与E对应)

3－3－1 §3 介质中的静电场方程 一、引言与准备 1、循环关系 欲求介质中 E  则需 E  （∵ E = E + E    0 ） 需 q ( , ) 需 P  （ P ds q s  = −     ，或 P   = − 、 = Pn   ） 需知 E  （∵ P eE   =  0 ），返回， 出现循环。 表明: 极化原因（ E0  ：自由电荷激发的外场、E  ：总场）和极化效果（ E  ： 由束缚电荷 q  激发）之间有反馈联系。 一般地， P  未知， q  也难以求出，实验中 q  不易测量，因而求其中任一物 理量皆困难，需另辟途径，见以下介质中的高斯定理。 如若通过另辟溪径求得了循环中的某一物理量，则整个问题将迎刃而解。 2、极化电荷 q  激发的场 E  介质极化，反过来对极化场的影响归结为： q  → E  ，即代表介质宏观作用， 计及了 E  就已考虑了介质的影响，因而 q  激发 E  的规律中只能用 0  ，切不可重 复！ 极化电荷也是电荷，静止时激发静电场    = 2 4 0 1 r dq E   ，满足的场方程为        =    =   0 0 l s E dl q E ds      二、介质中安培环路定理 介质中电场满足的环路定理为    = +   l l E dl E E dl      ( ) 0 = 0  +  = 0 l l E dl E dl     表明：电介质的存在归结为增加了一些新场源 q  （激发 E  ），而未改变场的无旋 性，故在介质中的静电场中仍可引用电势 U 描述（注：此 U 与 E  对应）

三、介质中高斯定理 介质存在时,场源有两部分 q:自由电荷,激发E0 q':极化电荷,激发E ds lo 对应的场方程均有形式 ,而E=E0+E,则总场的闭面通量 fE=∑ 为 「E={(E+E)d=%+∑q 该式即介质中高斯定理。但该式的右端极化电荷q'不易实验上测量,惯常回避 之,间接地得到它。为此,运用 ∑q=-P 代入上式,得 f(sE+P)=∑% 引入辅助物理量:申位移矢量( electric displacement D≡EE+P 则高斯定理为 fD=∑ [讨论 1、5D→∑q表述的优越性 右侧不含极化电荷,D对高斯面S的通量=5D仅与其内自由电荷有 关:用D描述电场,D线起自正自由电荷,止于负自由电荷:当问题县有某种 对称性时,可由高斯定理求解,物理思路是 先求D→再求E→再追究极化电荷分布等

3－3－2 三、介质中高斯定理 介质存在时,场源有两部分 q E q E     ：极化电荷，激发 0：自由电荷，激发 0 对应的场方程均有形式       =   = 内 内 s s s s E ds q E ds q 0 0 0 0 1 1       ，而 E = E + E    0 ，则总场的闭面通量 为： ( ) 1 ( ) 0 0   =  0 +   =  +  s内 s内 s s E ds E E ds q q       该式即介质中高斯定理。但该式的右端极化电荷 q  不易实验上测量，惯常回避 之，间接地得到它。为此，运用    = −  s s q P ds   内 代入上式，得  +  = s内 s 0E P ds q0 ( )     引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement) D E P      0 + 则高斯定理为   = s内 s D ds q0   [讨论] 1、   = s内 s D ds q0   表述的优越性。 右侧不含极化电荷， D  对高斯面 S 的通量  =  S D D ds    仅与其内自由电荷有 关；用 D  描述电场， D  线起自正自由电荷，止于负自由电荷；当问题具有某种 对称性时，可由高斯定理求解，物理思路是： 先求 D  → 再求 E  → 再追究极化电荷分布等

2、D=0E+P是辅助物理量,无物理意义 D是E、P不同量之叠加,D与P同量纲 p仅由∑q0表示,并不意味着D仅与∑q有关,这因D与∑q并非直接 关系。 对于各向同性线性介质:P=EoXE,有 D=EoE+EXE=Eo(+ E=EoE,e=E e 式中 E=1+x……相对介电常数,无量纲,x≥0,E≥1; E=80Er 绝对介电常数,与E0同量纲 常用关系:P=0XE=(E-E0)E 除介质参数外,E,P,D三者知其一即可求出其它。 ①对于真空中 E,=1,E=60,故称E0为真空介电常数或电容率有D=D0=E0E0 对于导体中 因为E=0,故D=0。 3、E,的物理意义。 E、κ反映介质极化难易程度,即表示介质在一定场强下的极化能力。结 合均匀介质En(x,y)=E可从以下几方面认识 (1)从充满均匀介质电容器的电容看 C=E Co 电容增大6倍,E=C (2)从各向同性线性介质充满电场区域看 3-3-3

3－3－3 2、 D E P    =  0 + 是辅助物理量，无物理意义。 D  是 E  、 P  不同量之叠加， D  与 P  同量纲；  D 仅由  s内 q0 表示，并不意味着 D  仅与  s内 q0 有关，这因 D  与  s内 q0 并非直接 关系。 对于各向同性线性介质： P eE   =  0  ，有 D E eE e E rE E       =  +  =  +  =   =  0 0 0 0 (1 ) 式中  r =1+  e  相对介电常数，无量纲，  e  0， r 1 ；  =  0  r …绝对介电常数，与 0  同量纲。 常用关系： P E E D r e e       =  0  = ( − 0 ) = 。 除介质参数外， E P D    , , 三者知其一即可求出其它。 ① 对于真空中 0 0 0 0 0 r 1 , D D E     = ， =  ，故称 为真空介电常数或电容率 有 = =  ② 对于导体中 因为 E = 0, D = 0   故 。 3、 r  的物理意义。 r  、  e 反映介质极化难易程度，即表示介质在一定场强下的极化能力。结 合均匀介质 r r  (x, y,z) =  可从以下几方面认识： (1) 从充满均匀介质电容器的电容看 C rC0 =  电容增大 r  倍， C0 C  r = 。 (2) 从各向同性线性介质充满电场区域看

「D=fE=61E=∑ E·d=-( ∑ 或f=,Ed=∑q (均匀介质才成立) (非均匀介质也成立) 与5E=Σ+∑们)对比与5E。=∑对比 (介质中)此为一般式 (真空中) ↓(谈源) ↓(谈场) ∑qo 40+q E q0(∠qo 或:D=EE=D 即:∑(q0+q)E 表明:介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽表明:有介质时出现q 作用。上述右侧有q,而左侧有E,可见 它激发的E对E场 介质对场影响又可通过E.反映。 有部分抵消作用。 上述出现D=D,其物理意义为:介质中的D等于除去介质同样自由场源 分布产生的E的E。倍。 [强调指出 上述D=D是有条件的,并非一般,可归结为如下常见的几情况 ①要么均匀介质充满电场全空间; ②要么不同均匀介质区之间分界面是等势面 ③要么E连续变化,但￡的等值面处处与等势面重合。例如,如图3-11l 此时D仅与自由电荷有关。(一般地,是中仅与q有关,而D既与自由电

3－3－4   =   =   =  s内 s r s r s D ds E ds E ds q 0 0 0          ) 1 ( 1 0 0   =  r s内 s E ds q     或   =  s内 s rE ds q0 0 1     （均匀介质才成立） （非均匀介质也成立）   与 ( ) 1 0 0   =  +  s内 s内 s E ds q q    对比 与   =  s内 s E ds q0 0 0 1    对比 （介质中）此为一般式 （真空中）  （谈源）  （谈场） ( ) 1 1 0 0 q0 q q r s s  =  +   内  内 E rE   =  0 1 1  r   ，   内 内 〈 r s s q0 q0 1  或： D E D    0 =  = 即：  +    s内 s内 q0 q q0 ( )  r 1 E0  E 表明：介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽 表明：有介质时出现 q  ， 作用。上述右侧有 q  ，而左侧有 r  ，可见 它激发的 E   对 E0  场 介质对场影响又可通过 r  反映。 有部分抵消作用。 上述出现 D D0   = ，其物理意义为：介质中的 D  等于除去介质同样自由场源 分布产生的 E0  的 0  倍。 [强调指出] 上述 D D0   = 是有条件的，并非一般，可归结为如下常见的几情况： ① 要么均匀介质充满电场全空间； ② 要么不同均匀介质区之间分界面是等势面； ③ 要么 r  连续变化，但 r  的等值面处处与等势面重合。例如，如图 3-11。 此时 D  仅与自由电荷有关。（一般地，是  D 仅与 0 q 有关，而 D  既与自由电

荷有关、又与极化电荷有关)。 B E(x) R 0 图3-11 4、带电导体表面外D0=0n 如图3-12,在导体与介质分界面处作高斯面,运用fD=9得 D△s=aA D 图3-12 5、比较E、P、D三物理量的闭面通量 3-3-5

3－3－5 荷有关、又与极化电荷有关）。 图 3-11 4、带电导体表面外 D n   0 =  0 如图 3-12，在导体与介质分界面处作高斯面，运用 q0 D ds s  =    得 D s = s  0 ∴ D n   =  0 图 3-12 5、比较 E  、 P  、 D  三物理量的闭面通量 + 0 0 - R1 R2 R3 A B 0 x (x) r  r 2  r1  n  s  0 介 导 D导 = 0 

D·d= q0 (go +g) 其中 普适关系为:D=EnE+P D=aE=-p 特殊关系为 =(E-60)E=(1--)D 6、均匀介质内若无自由电荷,则不论极化均匀否,其体内无净束缚电荷, 极化电荷分布在介质表面(若介质一空气,则只一层;若介质1一介质2,则两 层) 证明: 在均匀介质内任取闭面S,因D=q=0,而有 Pd=-2c「D.d=0 又q=phn,S为任意,所以S内无净极化电荷分布。 7、一般地,介质非均匀,不能引入与D相应的势函数。 因为「E=0,所以可引入电势U:但因 8o 8 故不能引入与D对应的势函数。 8、退化情况 对于真空,D=4.,故D=4退化为:5E面=%,因而本节 内容包括真空而成为一般知识 四、例题 3-3-6

3－3－6           = +   = −   =    ( ) 1 0 0 0 E ds q q P ds q D ds q s s s        其中 普适关系为： D E P    =  0 + 特殊关系为： P E D D E P r e r       ) 1 ( 0 ) (1       = − = − = = 6、均匀介质内若无自由电荷，则不论极化均匀否，其体内无净束缚电荷， 极化电荷分布在介质表面（若介质—空气，则只—层；若介质 1—介质 2，则两 层）。 证明： 在均匀介质内任取闭面 S，因  = 0 = 0  D ds q s   ，而有  = −  = −  = 0  S r e s q P ds D ds       又   =  V q  dv ，S 为任意， 所以 S 内无净极化电荷分布。 7、一般地，介质非均匀，不能引入与 D  相应的势函数。 因为  = 0 l E dl   ，所以可引入电势 U ；但因  = 0   0  l r l D dl E dl       故不能引入与 D  对应的势函数。 8、退化情况 对于真空， D 0E0   =  ，故 q0 D ds s  =    退化为：   =  s内 s E ds q0 0 0 1    。因而本节 内容包括真空而成为一般知识。 四、例题

例1:q点荷周围充满均匀介质E,求E。 解:因D=E06,E,E1为常数,所以D与E具有相同的对称性。过场点作球 面高斯面S(以q为球心),应用5Dd=q,得 D= 4 E= E0,4Er26,4nE)2)=-E 即 Dn,或E=EE 上述结果理解为:q周围被极化电荷包围(σ’分布于qo邻近及无限大面上), 使激发场的有效场源削弱,E=E [讨论] (1)半径为R的导体球带电qo’球外充满ε均匀介质。介质中场的表示式同 上结果,为E=-90 4 (2)半径为R的导体球带电Q,球外介质分层均匀,同上计算D、E。 例2:平行板电容器极板带电Q,其内充满均匀介质E,求D、E、P及C 解:处在均匀外场E中的均匀介质必发生均匀极化,D分布如同E0、E仍 均匀。作高斯面如图3-13,用Dd=q0,得 S

3－3－7 例 1： 0 q 点荷周围充满均匀介质  ，求 E  。 解：因 D rE     = 0 ， r  为常数，所以 D  与 E  具有相同的对称性。过场点作球 面高斯面 S（以 0 q 为球心），应用 q0 D ds s  =    ，得 0 2 D  4r = q 2 0 4 r q D  = 2 0 0 0 2 0 0 1 ) 4 ( 1 4 E r q r D q E r r r         = = = = 即 D D0   = ，或 E rE   =  0 上述结果理解为： 0 q 周围被极化电荷包围（  分布于 0 q 邻近及无限大面上）， 使激发场的有效场源削弱， r E E  0   = 。 [讨论] (1)半径为 R 的导体球带电 0 q ，球外充满  均匀介质。介质中场的表示式同 上结果，为  = r r q E 2 0 0 4  。 (2)半径为 R 的导体球带电 Q，球外介质分层均匀，同上计算 D  、E  。 例 2：平行板电容器极板带电 Q ，其内充满均匀介质  ，求 D  、E  、P  及 C 。 解：处在均匀外场 E0  中的均匀介质必发生均匀极化， D  分布如同 E0  、E  仍 均匀。作高斯面如图 3-13，用 q0 D ds s  =    ，得 Ds = s  0 D i   =  0 + − s d x 0  p S

图3-13 e= D (∵En=-0i) 08 P=E0E=E0(E-1)E=(1--)o0l a′=P1=(1--)o0(左负、右正,E'的方向:←) (-1)E。=-(1 Q_S⊥E,00S E CO u Ed ed Eo 总结以上的解题过程,给出思路为:D→E→P→σ→≯其它。 [注意]恒O与恒U不同,会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸 (1)分层均匀 如图3-14,由高斯定理知各区仍有 D D=D=sE 自由电荷σ均匀分布,真空场E=。但各区的场E1、E2不同 80 DD E? sa8

3－3－8 图 3-13 r r r E i D E       0 0 0 0     = = = （∵ E i   0 0 0   = ） P E E i r e r     0 0 0 ) 1 ( 1) (1   =   =   − = − 0 ) 1 (1    r  = Px = − （左负、右正， E  的方向：  ） E E E E i r r      0 0 0 0 ) 1 1) (1 1 (      = − = − = − − 0 0 0 0 0 0 C E d s E d s Ed s U Q C r r r       = = = = = 总结以上的解题过程，给出思路为： D → E → P → ' →    其它。 [注意] 恒Q与恒U 不同，会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸—— (1)分层均匀 如图 3-14，由高斯定理知各区仍有 D =  0 ， D D0 0E0 = =  自由电荷  0 均匀分布，真空场 0 0 0   E = 。但各区的场 E1  、 E2  不同 ∵ 0 1 1 1 E    D D r = = ， 2 2  D E = + 0 − 0 1  2  d1 2 d

图3-1 50(6n-1)E1,P2=E0(E2-1) 总电压U=Ed+E2d2,故C=C串C2,有 CC2 C1+C2 其中C=53 (2)分区均匀 如图3-15,各区仍有结论:D1=o,但两区不同:D1=o1,D2=Gm2 图3-15 图3-16 ①若恒Q:则Ed=E2d,即E=E2=E0,有 & c D,=8D 此外

3－3－9 图 3-14 ∴ 1 0 1 ( 1) 1 P =   r − E ， 2 0 2 ( 1) 2 P =   r − E 总电压 U = E1d + E2d2 ，故 C = C1串C2 ，有 1 2 1 2 C C C C C + = 其中 1 1 1 d s C  = 、 2 2 2 d s C  = 。 (2) 分区均匀 如图 3-15,各区仍有结论: Di =  0i ，但两区不同： D1 =  01，D2 =  02。 图 3-15 图 3-16 ① 若恒 Q：则 E1d = E2d ，即 E1 = E2 = E0 ，有 0 01 02     = 01  02    = r ， 即 D1 rD2 =  此外 01 1 02 2 Q =  s + s + 01 − 01 + 02 − 02  0  1 s 1 2 s = s + s 2 s 2 1 1 c 2 c

由此可求出σo、σ2 ②若恒U:则Ed=E2d=U,E1=E2(结论与①不同)。 综合①、②情况,计算电容时,相当于两电容的并联,C=C,‖C C1+C2 8 S SoS2 dd 分区均匀时的电路图形可简化为图3-16所示。 例3:柱形电容器充满E均匀介质,设内极带电线密度为,求介质内的E及 a’分布 R 图3-17 解:作高斯面如图3-17所示,应用「Dd=9得 2m/D=l,D。2 27r P=(E-56)E n8 I RI=(E0-E)Erl R 2=P|k2=(-6)E川2=(-60) ER2 并且可以验证:012nR+a2·2mRl=0,即电荷守恒

3－3－10 由此可求出  01、 02 。 ② 若恒 U：则 E1d = E2d =U ， d U E1 = E2 = （结论与①不同）。 综合①、②情况，计算电容时，相当于两电容的并联， C = C1 ‖ C2 C = C1 +C2 d s1  = d s0 2  + 分区均匀时的电路图形可简化为图 3-16 所示。 例 3：柱形电容器充满  均匀介质，设内极带电线密度为  ，求介质内的 E  及  分布。 图 3-17 解：作高斯面如图 3-17 所示，应用 q0 D ds s  =    得 2rl D =  l ， r D   2 =  = r r E   2  ， P E   ( ) 0 =  − 1 1 1 0 0 2 ( ) ( ) 1 R P E r R r R R     = − =  −  =  −   2 2 2 0 2 0 2 ( ) ( ) R P E r R r R R      = =  −   =  −    并且可以验证： 1  2R1 l + 2  2R2 l = 0 ，即电荷守恒。 R1 R2   l r