§3介质中的静电场方程 、引言与准备 1、循环关系 欲求介质中E一则需E(∵E=E+E→需q(p,o)→需P 5F,=q,或p=一V,P、口=P)一需知E(:F=5x,E,返回, 出现循环 表明:极化原因(E:自由电荷激发的外场、E:总场)和极化效果(E’: 由束缚电荷q激发)之间有反馈联系。 般地,P未知,q也难以求出,实验中q不易测量,因而求其中任一物 理量皆困难,需另辟途径,见以下介质中的高斯定理。 如若通过另辟溪径求得了循环中的某一物理量,则整个问题将迎刃而解。 2、极化电荷q激发的场E 介质极化,反过来对极化场的影响归结为:q'→E’,即代表介质宏观作用, 计及了E就已考虑了介质的影响,因而q激发E'的规律中只能用E0,切不可重 复! 极化电荷也是电荷,静止时激发静电场E=∫,满足的场方程为 E’·ds E’·dl=0 介质中安培环路定理 介质中电场满足的环路定理为 JEo d +JE 表明:电介质的存在归结为增加了一些新场源q'(激发E’),而未改变场的无旋 性,故在介质中的静电场中仍可引用电势U描述(注:此U与E对应)
3－3－1 §3 介质中的静电场方程 一、引言与准备 1、循环关系 欲求介质中 E 则需 E （∵ E = E + E 0 ） 需 q ( , ) 需 P （ P ds q s = − ，或 P = − 、 = Pn ） 需知 E （∵ P eE = 0 ），返回， 出现循环。 表明: 极化原因（ E0 ：自由电荷激发的外场、E ：总场）和极化效果（ E ： 由束缚电荷 q 激发）之间有反馈联系。 一般地， P 未知， q 也难以求出，实验中 q 不易测量，因而求其中任一物 理量皆困难，需另辟途径，见以下介质中的高斯定理。 如若通过另辟溪径求得了循环中的某一物理量，则整个问题将迎刃而解。 2、极化电荷 q 激发的场 E 介质极化，反过来对极化场的影响归结为： q → E ，即代表介质宏观作用， 计及了 E 就已考虑了介质的影响，因而 q 激发 E 的规律中只能用 0 ，切不可重 复！ 极化电荷也是电荷，静止时激发静电场 = 2 4 0 1 r dq E ，满足的场方程为 = = 0 0 l s E dl q E ds 二、介质中安培环路定理 介质中电场满足的环路定理为 = + l l E dl E E dl ( ) 0 = 0 + = 0 l l E dl E dl 表明：电介质的存在归结为增加了一些新场源 q （激发 E ），而未改变场的无旋 性，故在介质中的静电场中仍可引用电势 U 描述（注：此 U 与 E 对应）
三、介质中高斯定理 介质存在时,场源有两部分 q:自由电荷,激发E0 q':极化电荷,激发E ds lo 对应的场方程均有形式 ,而E=E0+E,则总场的闭面通量 fE=∑ 为 「E={(E+E)d=%+∑q 该式即介质中高斯定理。但该式的右端极化电荷q'不易实验上测量,惯常回避 之,间接地得到它。为此,运用 ∑q=-P 代入上式,得 f(sE+P)=∑% 引入辅助物理量:申位移矢量( electric displacement D≡EE+P 则高斯定理为 fD=∑ [讨论 1、5D→∑q表述的优越性 右侧不含极化电荷,D对高斯面S的通量=5D仅与其内自由电荷有 关:用D描述电场,D线起自正自由电荷,止于负自由电荷:当问题县有某种 对称性时,可由高斯定理求解,物理思路是 先求D→再求E→再追究极化电荷分布等
3－3－2 三、介质中高斯定理 介质存在时,场源有两部分 q E q E ：极化电荷，激发 0：自由电荷，激发 0 对应的场方程均有形式 = = 内 内 s s s s E ds q E ds q 0 0 0 0 1 1 ，而 E = E + E 0 ，则总场的闭面通量 为： ( ) 1 ( ) 0 0 = 0 + = + s内 s内 s s E ds E E ds q q 该式即介质中高斯定理。但该式的右端极化电荷 q 不易实验上测量，惯常回避 之，间接地得到它。为此，运用 = − s s q P ds 内 代入上式，得 + = s内 s 0E P ds q0 ( ) 引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement) D E P 0 + 则高斯定理为 = s内 s D ds q0 [讨论] 1、 = s内 s D ds q0 表述的优越性。 右侧不含极化电荷， D 对高斯面 S 的通量 = S D D ds 仅与其内自由电荷有 关；用 D 描述电场， D 线起自正自由电荷，止于负自由电荷；当问题具有某种 对称性时，可由高斯定理求解，物理思路是： 先求 D → 再求 E → 再追究极化电荷分布等
2、D=0E+P是辅助物理量,无物理意义 D是E、P不同量之叠加,D与P同量纲 p仅由∑q0表示,并不意味着D仅与∑q有关,这因D与∑q并非直接 关系。 对于各向同性线性介质:P=EoXE,有 D=EoE+EXE=Eo(+ E=EoE,e=E e 式中 E=1+x……相对介电常数,无量纲,x≥0,E≥1; E=80Er 绝对介电常数,与E0同量纲 常用关系:P=0XE=(E-E0)E 除介质参数外,E,P,D三者知其一即可求出其它。 ①对于真空中 E,=1,E=60,故称E0为真空介电常数或电容率有D=D0=E0E0 对于导体中 因为E=0,故D=0。 3、E,的物理意义。 E、κ反映介质极化难易程度,即表示介质在一定场强下的极化能力。结 合均匀介质En(x,y)=E可从以下几方面认识 (1)从充满均匀介质电容器的电容看 C=E Co 电容增大6倍,E=C (2)从各向同性线性介质充满电场区域看 3-3-3
3－3－3 2、 D E P = 0 + 是辅助物理量，无物理意义。 D 是 E 、 P 不同量之叠加， D 与 P 同量纲； D 仅由 s内 q0 表示，并不意味着 D 仅与 s内 q0 有关，这因 D 与 s内 q0 并非直接 关系。 对于各向同性线性介质： P eE = 0 ，有 D E eE e E rE E = + = + = = 0 0 0 0 (1 ) 式中 r =1+ e 相对介电常数，无量纲， e 0， r 1 ； = 0 r …绝对介电常数，与 0 同量纲。 常用关系： P E E D r e e = 0 = ( − 0 ) = 。 除介质参数外， E P D , , 三者知其一即可求出其它。 ① 对于真空中 0 0 0 0 0 r 1 , D D E = ， = ，故称 为真空介电常数或电容率 有 = = ② 对于导体中 因为 E = 0, D = 0 故 。 3、 r 的物理意义。 r 、 e 反映介质极化难易程度，即表示介质在一定场强下的极化能力。结 合均匀介质 r r (x, y,z) = 可从以下几方面认识： (1) 从充满均匀介质电容器的电容看 C rC0 = 电容增大 r 倍， C0 C r = 。 (2) 从各向同性线性介质充满电场区域看
「D=fE=61E=∑ E·d=-( ∑ 或f=,Ed=∑q (均匀介质才成立) (非均匀介质也成立) 与5E=Σ+∑们)对比与5E。=∑对比 (介质中)此为一般式 (真空中) ↓(谈源) ↓(谈场) ∑qo 40+q E q0(∠qo 或:D=EE=D 即:∑(q0+q)E 表明:介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽表明:有介质时出现q 作用。上述右侧有q,而左侧有E,可见 它激发的E对E场 介质对场影响又可通过E.反映。 有部分抵消作用。 上述出现D=D,其物理意义为:介质中的D等于除去介质同样自由场源 分布产生的E的E。倍。 [强调指出 上述D=D是有条件的,并非一般,可归结为如下常见的几情况 ①要么均匀介质充满电场全空间; ②要么不同均匀介质区之间分界面是等势面 ③要么E连续变化,但￡的等值面处处与等势面重合。例如,如图3-11l 此时D仅与自由电荷有关。(一般地,是中仅与q有关,而D既与自由电
3－3－4 = = = s内 s r s r s D ds E ds E ds q 0 0 0 ) 1 ( 1 0 0 = r s内 s E ds q 或 = s内 s rE ds q0 0 1 （均匀介质才成立） （非均匀介质也成立） 与 ( ) 1 0 0 = + s内 s内 s E ds q q 对比 与 = s内 s E ds q0 0 0 1 对比 （介质中）此为一般式 （真空中） （谈源） （谈场） ( ) 1 1 0 0 q0 q q r s s = + 内 内 E rE = 0 1 1 r ， 内 内 〈 r s s q0 q0 1 或： D E D 0 = = 即： + s内 s内 q0 q q0 ( ) r 1 E0 E 表明：介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽 表明：有介质时出现 q ， 作用。上述右侧有 q ，而左侧有 r ，可见 它激发的 E 对 E0 场 介质对场影响又可通过 r 反映。 有部分抵消作用。 上述出现 D D0 = ，其物理意义为：介质中的 D 等于除去介质同样自由场源 分布产生的 E0 的 0 倍。 [强调指出] 上述 D D0 = 是有条件的，并非一般，可归结为如下常见的几情况： ① 要么均匀介质充满电场全空间； ② 要么不同均匀介质区之间分界面是等势面； ③ 要么 r 连续变化，但 r 的等值面处处与等势面重合。例如，如图 3-11。 此时 D 仅与自由电荷有关。（一般地，是 D 仅与 0 q 有关，而 D 既与自由电
荷有关、又与极化电荷有关)。 B E(x) R 0 图3-11 4、带电导体表面外D0=0n 如图3-12,在导体与介质分界面处作高斯面,运用fD=9得 D△s=aA D 图3-12 5、比较E、P、D三物理量的闭面通量 3-3-5
3－3－5 荷有关、又与极化电荷有关）。 图 3-11 4、带电导体表面外 D n 0 = 0 如图 3-12，在导体与介质分界面处作高斯面，运用 q0 D ds s = 得 D s = s 0 ∴ D n = 0 图 3-12 5、比较 E 、 P 、 D 三物理量的闭面通量 + 0 0 - R1 R2 R3 A B 0 x (x) r r 2 r1 n s 0 介 导 D导 = 0
D·d= q0 (go +g) 其中 普适关系为:D=EnE+P D=aE=-p 特殊关系为 =(E-60)E=(1--)D 6、均匀介质内若无自由电荷,则不论极化均匀否,其体内无净束缚电荷, 极化电荷分布在介质表面(若介质一空气,则只一层;若介质1一介质2,则两 层) 证明: 在均匀介质内任取闭面S,因D=q=0,而有 Pd=-2c「D.d=0 又q=phn,S为任意,所以S内无净极化电荷分布。 7、一般地,介质非均匀,不能引入与D相应的势函数。 因为「E=0,所以可引入电势U:但因 8o 8 故不能引入与D对应的势函数。 8、退化情况 对于真空,D=4.,故D=4退化为:5E面=%,因而本节 内容包括真空而成为一般知识 四、例题 3-3-6
3－3－6 = + = − = ( ) 1 0 0 0 E ds q q P ds q D ds q s s s 其中 普适关系为： D E P = 0 + 特殊关系为： P E D D E P r e r ) 1 ( 0 ) (1 = − = − = = 6、均匀介质内若无自由电荷，则不论极化均匀否，其体内无净束缚电荷， 极化电荷分布在介质表面（若介质—空气，则只—层；若介质 1—介质 2，则两 层）。 证明： 在均匀介质内任取闭面 S，因 = 0 = 0 D ds q s ，而有 = − = − = 0 S r e s q P ds D ds 又 = V q dv ，S 为任意， 所以 S 内无净极化电荷分布。 7、一般地，介质非均匀，不能引入与 D 相应的势函数。 因为 = 0 l E dl ，所以可引入电势 U ；但因 = 0 0 l r l D dl E dl 故不能引入与 D 对应的势函数。 8、退化情况 对于真空， D 0E0 = ，故 q0 D ds s = 退化为： = s内 s E ds q0 0 0 1 。因而本节 内容包括真空而成为一般知识。 四、例题
例1:q点荷周围充满均匀介质E,求E。 解:因D=E06,E,E1为常数,所以D与E具有相同的对称性。过场点作球 面高斯面S(以q为球心),应用5Dd=q,得 D= 4 E= E0,4Er26,4nE)2)=-E 即 Dn,或E=EE 上述结果理解为:q周围被极化电荷包围(σ’分布于qo邻近及无限大面上), 使激发场的有效场源削弱,E=E [讨论] (1)半径为R的导体球带电qo’球外充满ε均匀介质。介质中场的表示式同 上结果,为E=-90 4 (2)半径为R的导体球带电Q,球外介质分层均匀,同上计算D、E。 例2:平行板电容器极板带电Q,其内充满均匀介质E,求D、E、P及C 解:处在均匀外场E中的均匀介质必发生均匀极化,D分布如同E0、E仍 均匀。作高斯面如图3-13,用Dd=q0,得 S
3－3－7 例 1： 0 q 点荷周围充满均匀介质 ，求 E 。 解：因 D rE = 0 ， r 为常数，所以 D 与 E 具有相同的对称性。过场点作球 面高斯面 S（以 0 q 为球心），应用 q0 D ds s = ，得 0 2 D 4r = q 2 0 4 r q D = 2 0 0 0 2 0 0 1 ) 4 ( 1 4 E r q r D q E r r r = = = = 即 D D0 = ，或 E rE = 0 上述结果理解为： 0 q 周围被极化电荷包围（ 分布于 0 q 邻近及无限大面上）， 使激发场的有效场源削弱， r E E 0 = 。 [讨论] (1)半径为 R 的导体球带电 0 q ，球外充满 均匀介质。介质中场的表示式同 上结果，为 = r r q E 2 0 0 4 。 (2)半径为 R 的导体球带电 Q，球外介质分层均匀，同上计算 D 、E 。 例 2：平行板电容器极板带电 Q ，其内充满均匀介质 ，求 D 、E 、P 及 C 。 解：处在均匀外场 E0 中的均匀介质必发生均匀极化， D 分布如同 E0 、E 仍 均匀。作高斯面如图 3-13，用 q0 D ds s = ，得 Ds = s 0 D i = 0 + − s d x 0 p S
图3-13 e= D (∵En=-0i) 08 P=E0E=E0(E-1)E=(1--)o0l a′=P1=(1--)o0(左负、右正,E'的方向:←) (-1)E。=-(1 Q_S⊥E,00S E CO u Ed ed Eo 总结以上的解题过程,给出思路为:D→E→P→σ→≯其它。 [注意]恒O与恒U不同,会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸 (1)分层均匀 如图3-14,由高斯定理知各区仍有 D D=D=sE 自由电荷σ均匀分布,真空场E=。但各区的场E1、E2不同 80 DD E? sa8
3－3－8 图 3-13 r r r E i D E 0 0 0 0 = = = （∵ E i 0 0 0 = ） P E E i r e r 0 0 0 ) 1 ( 1) (1 = = − = − 0 ) 1 (1 r = Px = − （左负、右正， E 的方向： ） E E E E i r r 0 0 0 0 ) 1 1) (1 1 ( = − = − = − − 0 0 0 0 0 0 C E d s E d s Ed s U Q C r r r = = = = = 总结以上的解题过程，给出思路为： D → E → P → ' → 其它。 [注意] 恒Q与恒U 不同，会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸—— (1)分层均匀 如图 3-14，由高斯定理知各区仍有 D = 0 ， D D0 0E0 = = 自由电荷 0 均匀分布，真空场 0 0 0 E = 。但各区的场 E1 、 E2 不同 ∵ 0 1 1 1 E D D r = = ， 2 2 D E = + 0 − 0 1 2 d1 2 d
图3-1 50(6n-1)E1,P2=E0(E2-1) 总电压U=Ed+E2d2,故C=C串C2,有 CC2 C1+C2 其中C=53 (2)分区均匀 如图3-15,各区仍有结论:D1=o,但两区不同:D1=o1,D2=Gm2 图3-15 图3-16 ①若恒Q:则Ed=E2d,即E=E2=E0,有 & c D,=8D 此外
3－3－9 图 3-14 ∴ 1 0 1 ( 1) 1 P = r − E ， 2 0 2 ( 1) 2 P = r − E 总电压 U = E1d + E2d2 ，故 C = C1串C2 ，有 1 2 1 2 C C C C C + = 其中 1 1 1 d s C = 、 2 2 2 d s C = 。 (2) 分区均匀 如图 3-15,各区仍有结论: Di = 0i ，但两区不同： D1 = 01，D2 = 02。 图 3-15 图 3-16 ① 若恒 Q：则 E1d = E2d ，即 E1 = E2 = E0 ，有 0 01 02 = 01 02 = r ， 即 D1 rD2 = 此外 01 1 02 2 Q = s + s + 01 − 01 + 02 − 02 0 1 s 1 2 s = s + s 2 s 2 1 1 c 2 c
由此可求出σo、σ2 ②若恒U:则Ed=E2d=U,E1=E2(结论与①不同)。 综合①、②情况,计算电容时,相当于两电容的并联,C=C,‖C C1+C2 8 S SoS2 dd 分区均匀时的电路图形可简化为图3-16所示。 例3:柱形电容器充满E均匀介质,设内极带电线密度为,求介质内的E及 a’分布 R 图3-17 解:作高斯面如图3-17所示,应用「Dd=9得 2m/D=l,D。2 27r P=(E-56)E n8 I RI=(E0-E)Erl R 2=P|k2=(-6)E川2=(-60) ER2 并且可以验证:012nR+a2·2mRl=0,即电荷守恒
3－3－10 由此可求出 01、 02 。 ② 若恒 U：则 E1d = E2d =U ， d U E1 = E2 = （结论与①不同）。 综合①、②情况，计算电容时，相当于两电容的并联， C = C1 ‖ C2 C = C1 +C2 d s1 = d s0 2 + 分区均匀时的电路图形可简化为图 3-16 所示。 例 3：柱形电容器充满 均匀介质，设内极带电线密度为 ，求介质内的 E 及 分布。 图 3-17 解：作高斯面如图 3-17 所示，应用 q0 D ds s = 得 2rl D = l ， r D 2 = = r r E 2 ， P E ( ) 0 = − 1 1 1 0 0 2 ( ) ( ) 1 R P E r R r R R = − = − = − 2 2 2 0 2 0 2 ( ) ( ) R P E r R r R R = = − = − 并且可以验证： 1 2R1 l + 2 2R2 l = 0 ，即电荷守恒。 R1 R2 l r